淺談分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

◎曾祥均 （綿陽普明中學(xué)，四川 綿陽 621000）

一、分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題中的作用和地位

在近年高考中，有一類題因題目已知條件存在一些不確定因素，無法用統(tǒng)一的方法解答，我們往往將問題劃分為若干類，或若干個(gè)局部問題來解決，這就是數(shù)學(xué)中重要的一種數(shù)學(xué)思想——分類討論思想．

在新課標(biāo)的指引下，這一思想已經(jīng)成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)．分類討論的試題覆蓋文理科，試題題型包括選擇題、填空題、解答題，知識(shí)面覆蓋廣，幾乎涵蓋了高中所有章節(jié)．?dāng)?shù)學(xué)作為選拔人才的考試科目之一，必定會(huì)突出對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查，分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，這種思想方法對(duì)于簡化研究對(duì)象、發(fā)展人的思維起到重要的幫助作用．分類是為了明確題設(shè)條件中所蘊(yùn)含的邏輯關(guān)系和因果關(guān)系，化整為零，形成解決問題的方案，進(jìn)而從局部問題開始探究，逐個(gè)擊破，最后綜合各類結(jié)果，形成系統(tǒng)的研究結(jié)論．

二、分類討論的原則

第一，同一性原則．在分類的時(shí)候我們要注意分類的標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)當(dāng)是統(tǒng)一的．對(duì)整體進(jìn)行統(tǒng)一分類，采用相同的標(biāo)準(zhǔn)，這樣才能使得分類更加科學(xué)合理，避免出現(xiàn)錯(cuò)誤．

第二，互斥性原則．如果各部分相互包含，就會(huì)造成部分之間的關(guān)系混亂，容易出現(xiàn)錯(cuò)誤．

第三，相稱性原則．劃分后的部分內(nèi)容在考慮和計(jì)算時(shí)，應(yīng)當(dāng)進(jìn)行分類討論，不能超出之前的范圍．

第四，分層次原則．通過多次分層，直到找到解決問題的方法，滿足解題的要求，在分類時(shí)要避免層次之間的混亂，最后通過整合得到正確答案．

三、分類標(biāo)準(zhǔn)和原則

對(duì)問題進(jìn)行分類討論時(shí)，我們必須按同一標(biāo)準(zhǔn)分類，且做到不重不漏．解題時(shí)，分類討論通常分為四步：第一，明確目標(biāo)且確定目標(biāo)的取值范圍；第二，采用合適的分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類；第三，逐類、逐段分類討論；第四，歸納概括．

四、解題中分類討論思想應(yīng)用策略

第一，圖形的形狀不同．若圖形存在不同的形狀，則需要討論可能出現(xiàn)的形狀，做到不重不漏．

例1平面內(nèi)有兩定點(diǎn)A、B，直線AB的垂線上有一動(dòng)點(diǎn)M，垂足為N．若（λ為常數(shù)），確定動(dòng)點(diǎn)M的軌跡形狀．

分析此題涉及曲線的軌跡方程和軌跡的對(duì)應(yīng)關(guān)系，考查分類討論思想以及計(jì)算能力．建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A、B坐標(biāo)，以及M坐標(biāo)，利用向量運(yùn)算建立動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，然后由λ的取值范圍判斷曲線類型．

解將AB所在直線作為x軸，AB中垂線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)M（x，y），A（-a，0），B（a，0）；因?yàn)椋詙2＝λ（x＋a）（a-x），即λx2＋y2＝λa2，則：

（1）當(dāng)λ＝1 時(shí)，軌跡是圓；

（2）當(dāng)λ＞0 且λ≠1，是橢圓的軌跡方程；

（3）當(dāng)λ＜0 時(shí)，是雙曲線的軌跡方程；

（4）當(dāng)λ＝0 時(shí)，是直線的軌跡方程．

第二，圖形的位置無法確定．若圖形的位置可能有多種情況并且會(huì)對(duì)問題的結(jié)果產(chǎn)生影響，則必須分類討論．學(xué)生要對(duì)各種可能出現(xiàn)的位置關(guān)系全面考慮，合理分類，逐一驗(yàn)證，做到不重不漏．

例2已知圓O和定點(diǎn)A，動(dòng)點(diǎn)P是圓上任意一點(diǎn)，線段AP的垂直平分線和直線OP相交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q的軌跡可以是下列圖形中的（）．

①點(diǎn) ②直線 ③圓 ④橢圓 ⑤雙曲線 ⑥拋物線

分析本題主要考查求動(dòng)點(diǎn)的軌跡，考查與圓、橢圓、雙曲線有關(guān)的軌跡問題，關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合、分類討論思想的應(yīng)用．我們分類討論點(diǎn)A與圓O及點(diǎn)Q的關(guān)系，根據(jù)圓、橢圓、雙曲線的定義，可得結(jié)果．

解設(shè)圓O的半徑為r，連接AQ、OA．

（1）當(dāng)點(diǎn)A在圓O外時(shí)，｜QA-QO｜＝｜QP-QO｜＝OP＝r＜OA，則點(diǎn)Q的軌跡是以兩定點(diǎn)O、A為焦點(diǎn)，r為實(shí)軸長的雙曲線．

（2）當(dāng)點(diǎn)A在圓O內(nèi)時(shí)，QA＋QO＝QP＋QO＝OP＝r＞OA，則點(diǎn)Q的軌跡是以兩定點(diǎn)O、A為焦點(diǎn)，r為長軸長的橢圓．

（3）當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)O重合時(shí)，點(diǎn)Q為OP的中點(diǎn)，OQ＝，則點(diǎn)Q的軌跡是以定點(diǎn)O為圓心，為半徑的圓．

（4）當(dāng)點(diǎn)A在圓O上時(shí)，OP＝OA，線段AP的垂直平分線和直線OP相交于點(diǎn)O，則點(diǎn)Q的軌跡是定點(diǎn)O．

綜上所述，點(diǎn)Q的軌跡可以是點(diǎn)、圓、橢圓或雙曲線．

第三，解題時(shí)采用的各種方法，比如化簡、求值或論證，都離不開運(yùn)算．我們?cè)诓煌瑮l件下進(jìn)行運(yùn)算會(huì)引起分類討論，比如利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的極值．

例3設(shè)函數(shù)f（x）＝（1-a）lnx-x＋，求函數(shù)f（x）的極值．

分析求導(dǎo)過后f′（x）中存在參數(shù)a，因此令f′（x）＝0得到的函數(shù)零點(diǎn)中同樣存在參數(shù)a，考慮三個(gè)問題：

（1）零點(diǎn)是否存在；

（2）零點(diǎn)是否在定義域內(nèi)；

（3）零點(diǎn)之間的大小關(guān)系．

這三個(gè)問題涉及了對(duì)參數(shù)a的取值范圍的討論，即按照這一原則把a(bǔ)的取值精準(zhǔn)地分成多個(gè)區(qū)間，做到對(duì)參數(shù)a的取值不重不漏，然后按照區(qū)間分情況討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

解函數(shù)定義域?yàn)椋?，＋∞），對(duì)f（x）求導(dǎo)f′（x）＝，令f′（x）＝0，得

（1）若a＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）遞增，區(qū)間（1，＋∞）遞減，所以f（1）為極大值．

（2）若a＝0，則f′（x）＝，此時(shí)函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）遞增，區(qū)間（1，＋∞）遞減，所以f（1）為極大值．

（3）若0＜a＜，此時(shí)函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）遞增，區(qū)間遞減，區(qū)間遞增，所以f（1）為極大值，為極小值．

（6）若1≤a，此時(shí)函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）遞減，區(qū)間（1，＋∞）遞增，所以f（1）為極小值．

第四，在概率解題時(shí)的應(yīng)用．在解答概率問題時(shí)，我們也可以采用分類討論的方法，通過分類討論解決一些常見的概率問題．在概率題目當(dāng)中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)“最多”“最少”等相關(guān)的關(guān)鍵詞，在遇到這些相關(guān)的詞語時(shí)，教師可以讓學(xué)生利用分類討論的方法結(jié)合題目當(dāng)中的具體問題進(jìn)行解答，提高學(xué)生的解題效率．在解答問題之前，學(xué)生應(yīng)當(dāng)準(zhǔn)確推斷出概率的類型，然后根據(jù)題目的要求對(duì)情況進(jìn)行分類，最后在綜合分類討論的情況得出結(jié)論．

例4甲乙兩個(gè)人參加同一場知識(shí)競賽，競賽當(dāng)中共有十道題目，包括六道選擇題和四道判斷題，如果兩人各抽取一道題目，求最少有一個(gè)人抽到判斷題的概率．

在解答這道問題時(shí)學(xué)生需要仔細(xì)閱讀題目，理解題目當(dāng)中“最少有一個(gè)人”信息的含義，在分析這一問題時(shí)可以進(jìn)行分類討論，把“最少有一個(gè)人”分為三種情況．學(xué)生可以綜合這三種情況進(jìn)行分類討論，通過分析得出三種不同分類的結(jié)果，然后綜合三種結(jié)果，得出最終的答案．

第五，在數(shù)列解題中的應(yīng)用．在解答數(shù)列的相關(guān)問題時(shí)，我們也可以采用分類討論的方法．?dāng)?shù)列是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容，學(xué)生在解決一些數(shù)列問題時(shí)，采用分類討論的方法也能快速解決問題，同時(shí)能避免出現(xiàn)紕漏．在解決問題時(shí)，學(xué)生應(yīng)當(dāng)根據(jù)具體的內(nèi)容對(duì)給出的信息進(jìn)行分類，這樣才能提高解答的準(zhǔn)確度．此外，如果在數(shù)列求解公差、公比的取值范圍時(shí)，并沒有給出具體的取值范圍，學(xué)生也需要進(jìn)行分類討論，考慮到取值范圍的各種情況，這樣才能考慮全面，得出準(zhǔn)確的結(jié)果．

例5設(shè)數(shù)列｛an｝是公比為q的等比數(shù)列，Sn＞0，求公比q的取值范圍．

在解答這道問題時(shí)，我們就需要分類討論，根據(jù)題目當(dāng)中給出的條件，Sn＞0，可以得出a1＞0，q≠0．這時(shí)候?qū)W生需要思考討論q＝1 和q≠1 兩種情況，采用分類討論的思想解答問題，得出q的取值范圍．

第六，在函數(shù)解題中的應(yīng)用．教師可以利用分類討論的方法幫助學(xué)生解決學(xué)習(xí)的重難點(diǎn)問題．函數(shù)問題經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)參數(shù)值變化的情況，這時(shí)函數(shù)的一些參數(shù)就會(huì)存在不同的取值情況，學(xué)生可以對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論．在解答問題時(shí)，學(xué)生要明確分類的思想，全面考慮問題，這樣才能提高準(zhǔn)確率．學(xué)生要從具體的條件出發(fā)，考慮具體的情況，要學(xué)會(huì)靈活應(yīng)變．

例6已知函數(shù)f（x）＝-x2＋2ax＋1-a在x∈［0，1］內(nèi)有最大值2，求a的值．

這一問題就存在不確定性的參數(shù)．這道函數(shù)題中已經(jīng)給出了函數(shù)的定義域，學(xué)生需要結(jié)合二次函數(shù)的特點(diǎn)，確定函數(shù)最值的取值范圍．在取到最大值時(shí)，學(xué)生要考慮極值和定義域的端點(diǎn)．而二次函數(shù)的極值點(diǎn)和它的對(duì)稱軸有密切的聯(lián)系，學(xué)生需要結(jié)合具體的問題進(jìn)行討論，考慮在定義域內(nèi)是否存在二次函數(shù)的對(duì)稱軸．學(xué)生采用分類討論的思想，根據(jù)給出的條件進(jìn)行分類思考，從而計(jì)算出a的取值．

以上幾種情形是近幾年高考中的熱點(diǎn)類型，除了這幾種情形還有以下幾種：

概念分段定義．絕對(duì)值屬于分段定義概念，類似的還有偶次根式、線面角、分段函數(shù)、直線斜率等，它們都屬于分段定義概念．定義本身決定了在解決包含這些概念的題目時(shí)要進(jìn)行分類討論．

公式分段表達(dá)．解題會(huì)用到數(shù)學(xué)公式和定理，如果公式或定理本身有附加的限制條件，那么必須分段表達(dá)，學(xué)生在應(yīng)用這些公式時(shí)，需要分類討論，比如反比例函數(shù)解析式中k的正負(fù)決定了函數(shù)本身的單調(diào)性．

參數(shù)系數(shù)參與引起分類討論．問題中如果包含了參數(shù)系數(shù)，則會(huì)使問題結(jié)果出現(xiàn)多種情況，必須分類討論．例如集合間的基本關(guān)系會(huì)因其中參數(shù)值的改變而發(fā)生變化．圓錐曲線中曲線類型是根據(jù)離心率的取值范圍進(jìn)行劃分的．

條件不唯一導(dǎo)致分類討論．條件不唯一直接導(dǎo)致方程類型不確定、曲線種類不確定、位置關(guān)系不確定等情況出現(xiàn)，解題關(guān)鍵是對(duì)分析情況合理分類，正確討論．

五、分類討論思想的注意點(diǎn)

在采用分類討論思想解答問題時(shí)，教師要讓學(xué)生學(xué)會(huì)分類，以免討論時(shí)出現(xiàn)遺漏的情況，這樣才能在考試中取得理想分?jǐn)?shù)．在解題時(shí)要注意幾點(diǎn)：第一，要學(xué)會(huì)劃定范圍．一些學(xué)生在劃定范圍時(shí)存在困難，導(dǎo)致解題受到阻礙無法解出最終的答案．因此教師要注意培養(yǎng)學(xué)生劃定范圍的能力．如果題目當(dāng)中沒有給出明確的范圍，教師可以讓學(xué)生通過分析題目當(dāng)中的其他信息進(jìn)行分析計(jì)算，在學(xué)習(xí)過程中理清思路．第二，學(xué)會(huì)大范圍分類討論．在掌握了劃定范圍的能力后，一些學(xué)生在細(xì)分范圍時(shí)不知道如何進(jìn)行分類，教師需要幫助學(xué)生解決這類問題，培養(yǎng)學(xué)生的分類能力，要讓學(xué)生明白分類的依據(jù)，結(jié)合題目當(dāng)中的條件進(jìn)行分析，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，讓學(xué)生認(rèn)真讀題，理清解題的思路，然后對(duì)問題進(jìn)行分類匯總．第三，重視培養(yǎng)學(xué)生的解題敏感度，分類討論思想是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想，需要學(xué)生重點(diǎn)掌握．在訓(xùn)練過程中，學(xué)生要提高解題速度和準(zhǔn)確度．在解決需要分類討論的問題時(shí)，一些學(xué)生往往想不到采用分類討論的方法，缺乏對(duì)于題目的敏感性，因此教師需要重視學(xué)生的訓(xùn)練，讓學(xué)生多做一些相關(guān)的習(xí)題，找出相關(guān)習(xí)題的規(guī)律和解題方法，這樣才能有效地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)成績．

六、總結(jié)

高中數(shù)學(xué)幾乎所有板塊都涉及了分類討論思想，因此培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用分類討論思想去解決問題是非常有必要的，它可以幫助學(xué)生找到解題思路，化繁為簡，提高解題效率，幫助學(xué)生形成科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，進(jìn)而強(qiáng)化邏輯推理能力，提升數(shù)學(xué)核心能力，推動(dòng)學(xué)生綜合素質(zhì)的提升．教師要著眼于引導(dǎo)學(xué)生感受其思想精髓，學(xué)會(huì)運(yùn)用分類討論思想解決問題，以此來培養(yǎng)學(xué)生綜合分析問題的能力，使學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)觀，幫助學(xué)生高效地解決數(shù)學(xué)問題．