基于高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)解題方法與技巧研究

◎李軍焰 （江蘇省儀征中學(xué)，江蘇 揚(yáng)州 211400）

三角函數(shù)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中屬于難點(diǎn)問題，在高考中屬于重點(diǎn)知識，分值高，所以學(xué)生三角函數(shù)解題的準(zhǔn)確性將直接影響他們的高考成績．因此，在高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)教學(xué)中，對學(xué)生的解題方法以及技巧進(jìn)行培養(yǎng)，降低解題的難度，提高學(xué)生解題的效率和精準(zhǔn)性等受到了廣大師生的青睞．本文針對高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)解題方法與技巧進(jìn)行了研究，筆者對自己在多年教學(xué)當(dāng)中的心得進(jìn)行了闡述，以供參考．

一、探究高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)多元解題方法的價值分析

學(xué)生在初中階段就已經(jīng)開始學(xué)習(xí)函數(shù)問題了，但是是相對比較簡單的內(nèi)容，學(xué)生理解起來比較容易．三角函數(shù)與之相比更加抽象難懂，對于學(xué)生的思維、推理能力等要求比較高，例如三角函數(shù)需要學(xué)生在一定條件下對兩個集合對應(yīng)的關(guān)系進(jìn)行描述，并且學(xué)生需要更加全面地分析與挖掘題干內(nèi)容．高中生的智力已經(jīng)健全，但是他們的生活經(jīng)驗(yàn)比較少，在理解事物方面存在一定的局限性，所以學(xué)生在三角函數(shù)知識的學(xué)習(xí)中常會表現(xiàn)為理解問題不充分，并且在頭腦中也沒有構(gòu)建起健全的知識體系，解決數(shù)學(xué)問題的固定思維模式也會對學(xué)生產(chǎn)生很大的影響，從而影響了最終的解題效果．

三角函數(shù)在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占據(jù)了十分重要的地位，可以很好地鍛煉學(xué)生的邏輯思維、推理能力、分析問題與解決問題的能力．三角函數(shù)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要部分，可以從多個方面考查學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，要求學(xué)生嚴(yán)格地按照解題步驟和要求作答，所以學(xué)生在解題之前要徹底地明白題意，明確解題思路，并從多個角度分析問題．在三角函數(shù)教學(xué)中，教師首先應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成多方面思考問題的習(xí)慣，具有創(chuàng)新精神和創(chuàng)新意識，這樣可以更好地提升學(xué)生解決問題的效率和質(zhì)量．

數(shù)學(xué)是一門培養(yǎng)邏輯思維的學(xué)科，三角函數(shù)問題的解決需要學(xué)生一步一步地推導(dǎo)和驗(yàn)證，這個過程對學(xué)生的思維能力進(jìn)行了很好的訓(xùn)練．高中數(shù)學(xué)中，三角函數(shù)可以通過各種題型呈現(xiàn)，知識體系相對龐大，很多問題中隱藏性的知識點(diǎn)比較多，學(xué)生需要根據(jù)已知條件分析和挖掘知識點(diǎn)，這時就需要學(xué)生具備嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S和推理能力．因此，在日常的學(xué)習(xí)中學(xué)生應(yīng)該多練習(xí)，多思考，并能夠從多個角度去思考問題，不將答案局限在規(guī)定的公式和推導(dǎo)方法上．從不同的方向和角度去看待問題，有利于學(xué)生深入分析問題，有利于學(xué)生高效地掌握三角函數(shù)的知識點(diǎn)，從而提高學(xué)生解決問題的能力．

二、高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)教學(xué)中存在的問題分析

（一）教學(xué)方法單一

在高中數(shù)學(xué)中三角函數(shù)是一個非常難的問題，加之學(xué)生對問題的理解和分析不到位，這是導(dǎo)致學(xué)生三角函數(shù)學(xué)習(xí)效果不佳的重要因素．所以，在三角函數(shù)這部分知識點(diǎn)的教學(xué)中，教師需要采取靈活的教學(xué)方式，啟發(fā)學(xué)生的思維，將抽象的知識點(diǎn)簡單化，但實(shí)際上，部分高中數(shù)學(xué)教師的教學(xué)方法相對單一，以講授為主，學(xué)生在課堂上被動地聽講和回答問題，主動性不足，思維也沒有得到很好的訓(xùn)練，其根本原因是課堂的時間有限，教學(xué)壓力比較大，教師和學(xué)生都沒有過多的時間思考和反思．因此，在三角函數(shù)這一部分知識點(diǎn)的教學(xué)中，教師要豐富教學(xué)方法，避免單一性教學(xué)方式的應(yīng)用，更好地滿足學(xué)生多樣化學(xué)習(xí)需求，這樣才能夠更好地適應(yīng)學(xué)科新課標(biāo)的要求．

（二）學(xué)生課堂上的主動性不強(qiáng)

數(shù)學(xué)在高中階段非常重要，而傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)以知識教學(xué)、成績提升為主，對學(xué)生主體性的發(fā)展關(guān)注不多，部分教師主觀認(rèn)為學(xué)生參與積極與否并不重要．而三角函數(shù)知識點(diǎn)多、抽象、理解起來困難，教師無法給學(xué)生預(yù)留足夠的時間，這導(dǎo)致學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)中的積極性不足，主動性不高，被迫接受知識，學(xué)生對知識的理解不充分，致使問題的解決效果不佳．

（三）教師的教學(xué)應(yīng)變力不足

新課程標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)施已經(jīng)有一段時間了，高中三角函數(shù)的內(nèi)容也進(jìn)行了一定的更新，很多內(nèi)容被逐漸精簡，教學(xué)要求也隨之降低．但是有一部分教師的教學(xué)應(yīng)變能力不足，沒有將改革后的內(nèi)容與學(xué)生的實(shí)際情況進(jìn)行很好的結(jié)合，課內(nèi)與課外知識也沒有很好地融合到一起，對于自身教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的依賴性過強(qiáng)，采取的仍然是傳統(tǒng)和單一的教學(xué)方式，對于新課程標(biāo)準(zhǔn)的分析也不充分．此外，還有一部分高中教師對三角函數(shù)的知識點(diǎn)掌握不夠深入，在教學(xué)中存在忽視和馬虎的情況．這在很大程度上增加了三角函數(shù)教學(xué)的難度，導(dǎo)致學(xué)生無法很好地掌握和理解這部分知識點(diǎn)．可見，數(shù)學(xué)教師存在的問題也是導(dǎo)致三角函數(shù)學(xué)習(xí)難的因素之一．

（四）概念和錯題總結(jié)不足

三角函數(shù)之所以學(xué)習(xí)起來困難，主要是因?yàn)槠渖婕暗闹R點(diǎn)比較多，學(xué)生需要具有一定的函數(shù)基礎(chǔ)．但從大部分高中生三角函數(shù)學(xué)習(xí)情況來看，他們對于三角函數(shù)的概念、意義、如何使用等理解都不是很充分，這就導(dǎo)致學(xué)生在面對復(fù)雜的問題時無從下手，不知道怎么解決．此外，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中錯題的歸納和總結(jié)也是非常重要的，歸納和總結(jié)錯題是檢驗(yàn)學(xué)生學(xué)習(xí)情況、教師教學(xué)情況的有效方式之一，學(xué)會總結(jié)和歸納錯題，對于提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效果十分重要．因此，在三角函數(shù)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)概念知識的學(xué)習(xí)，扎實(shí)基礎(chǔ)，并做好錯題的歸納和總結(jié)，學(xué)會從錯題中吸取經(jīng)驗(yàn)，降低解題的出錯率．

三、高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)的解題技巧

（一）深化概念理解，打牢基本功

三角函數(shù)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性不言而喻，所以對三角函數(shù)的概念以及定義進(jìn)行深化理解，強(qiáng)化學(xué)生對于課堂學(xué)習(xí)內(nèi)容的反思，做好重難點(diǎn)知識的掌握，定期復(fù)習(xí)，反復(fù)鞏固，打牢學(xué)生的基本功底，會讓學(xué)生的學(xué)習(xí)效果得到不斷提升．三角函數(shù)屬于實(shí)踐類的問題，主要對學(xué)生的思維以及解題能力進(jìn)行考查，所以學(xué)生在課堂上學(xué)習(xí)好基本的概念問題，做好筆記，鞏固知識點(diǎn)，可以扎實(shí)自己的基本功．學(xué)生對三角函數(shù)習(xí)題進(jìn)行不斷練習(xí)，科學(xué)地選擇解決問題的素材和方法，能夠有效地提升數(shù)學(xué)解題準(zhǔn)確性．同時，我們還需要注意的是要對三角函數(shù)的題型進(jìn)行拓展，使學(xué)生更好地適應(yīng)三角函數(shù)多樣化的公式和定理，在三角函數(shù)問題的解答過程中采取定義法理解問題、解決問題，做好內(nèi)容的推理和證明，會進(jìn)一步夯實(shí)學(xué)生對于這一部分知識的理解．此外，在三角函數(shù)解題方法的探尋過程中，我們還要采取結(jié)合法，也就是將不同的方法結(jié)合到一起，對問題進(jìn)行思考和想象，將三角函數(shù)涉及的多個問題結(jié)合到一起，實(shí)施一題多解，換位思考，多加想象，有效分析，最終得到提升解題準(zhǔn)確性的目的．

（二）打開學(xué)生的解題思路，學(xué)會換位思考

高中數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)十分復(fù)雜，其中涉及了非常多的內(nèi)容，最重要的就是函數(shù)的概念等，所以在三角函數(shù)問題的解決過程中會不斷地牽扯出正弦、余弦、正切、余切等知識點(diǎn)，但是這些都無法直接地達(dá)到解題的目的，我們還需要進(jìn)行反復(fù)的推理和證明．所以，學(xué)生只有對相關(guān)的概念和定理進(jìn)行深刻理解和掌握之后，才能實(shí)現(xiàn)學(xué)以致用的效果．在高中三角函數(shù)解題技巧和方法的探究中，我們要堅(jiān)持專題專用的方法，將問題分成具體的類型，之后專門習(xí)題專門解決，時刻堅(jiān)持實(shí)事求是的解決問題理念，不能夠敷衍了事，要及時對學(xué)習(xí)當(dāng)中出現(xiàn)的問題進(jìn)行查漏補(bǔ)缺，通過不斷練習(xí)來強(qiáng)化自身對問題的理解，鍛煉思維能力．

三角函數(shù)問題的解決可以利用數(shù)形轉(zhuǎn)化和結(jié)合的方式，將抽象的三角函數(shù)知識點(diǎn)利用圖形的方式展現(xiàn)出來，這樣學(xué)生利用圖形和已知的信息就可以更加快速地找到問題的解決思路和最終的答案．在三角函數(shù)問題當(dāng)中區(qū)間是最重要的性質(zhì)，所以教師要對區(qū)間問題的教學(xué)多加關(guān)注，更加準(zhǔn)確地掌握區(qū)間遞增或者遞減，對不同區(qū)間單調(diào)性問題進(jìn)行明確．三角函數(shù)的類型不同，所呈現(xiàn)出的單調(diào)區(qū)間也是不同的，所以學(xué)生在解決問題時非常容易混淆．教師需要通過數(shù)形結(jié)合的方式讓學(xué)生對不同的三角函數(shù)區(qū)間進(jìn)行深刻理解，這對提升最終的解題效果有重要的幫助．

比如，已知的三角函數(shù)圖像是在y＝sinx基礎(chǔ)上演變來的，所以教師要引導(dǎo)學(xué)生對這一基本函數(shù)的特點(diǎn)進(jìn)行精準(zhǔn)掌握，對其演變的規(guī)律進(jìn)行把握．教師可以在已知函數(shù)基礎(chǔ)上演變，演變之后的圖像在區(qū)間和值域上都會發(fā)生變化．在圖像發(fā)生變化之后我們經(jīng)常應(yīng)用的是平移的方法，并在平移基礎(chǔ)上進(jìn)行伸縮．但是無論如何進(jìn)行演變，變換的過程對于x來說主要看變量．

可見，高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)知識點(diǎn)主要對學(xué)生的邏輯思維能力進(jìn)行考查，要求學(xué)生具有縝密的思維模型和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S過程．而且數(shù)學(xué)是一門十分鍛煉人思維的一門學(xué)科，所以在三角函數(shù)問題的解決上學(xué)生要時刻保持謹(jǐn)慎小心，跟著教師的講課進(jìn)程，保證解題準(zhǔn)確性．

（三）拓展習(xí)題類型，強(qiáng)化解題能力

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)非常重要的一部分，在高考中所占分值是很大的，所以在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師應(yīng)該從常見的習(xí)題類型入手，強(qiáng)化學(xué)生解題技巧的培養(yǎng)和解題能力．

填空題中的三角函數(shù)．在高中數(shù)學(xué)中填空題經(jīng)常會涉及三角函數(shù)，大部分的填空類的三角函數(shù)都是從學(xué)生學(xué)習(xí)過的知識點(diǎn)入手的，重點(diǎn)考查學(xué)生的基本功，但是也具有一定的難度，解決起來是比較復(fù)雜的．從多年來高考三角函數(shù)的填空題來看，其所涉及的知識點(diǎn)多而且雜，解題思路也在不斷變化，對于很多高中生來說固定思維是解決不了的，學(xué)生在解題過程中必須在思維和方法上靈活變化．從實(shí)際情況來看，很多學(xué)生在三角函數(shù)填空上都失分了，主要是因?yàn)檎也坏街攸c(diǎn)和突破口．不管多復(fù)雜三角函數(shù)的填空題，其實(shí)都是有共性的，需要學(xué)生利用基礎(chǔ)知識進(jìn)行解決．因此，學(xué)生想要解決三角函數(shù)的填空題，就需要有扎實(shí)的基本功，對三角函數(shù)所涉及的基礎(chǔ)知識點(diǎn)了如指掌，這樣才可以保證解題的效果．

比如，某試卷中三角函數(shù)填空題如下：已知在一個三角形當(dāng)中a是內(nèi)角之一，且給出了sina＋cosa＝，請問這是一個（ ）三角形．這個填空題重點(diǎn)考查的是學(xué)生運(yùn)用三角函數(shù)的情況，所以在解題時學(xué)生需要將已經(jīng)學(xué)習(xí)到的基礎(chǔ)知識提取出來．學(xué)生掌握了基礎(chǔ)知識，就可以對a的數(shù)值進(jìn)行設(shè)定，之后利用基本的計(jì)算公式展開運(yùn)算，最終得出這是一個鈍角三角形．可見，在解決填空類三角函數(shù)題時，只要學(xué)生基本功打得牢靠，就可以很快地得到答案，提高解題效率．

計(jì)算題中的三角函數(shù)．在三角函數(shù)教學(xué)中教師要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況適當(dāng)?shù)卦龃罅?xí)題量，讓學(xué)生接觸不同類型的習(xí)題，鍛煉他們的思維方式，打開他們的解題思路，讓他們意識到解答三角函數(shù)問題不能只采用一種解題方式，多樣化思維的相互轉(zhuǎn)化才能夠得到達(dá)到提升解題效果的最終目的．同時，教師還要引導(dǎo)學(xué)生在遇到三角函數(shù)問題時，仔細(xì)地審題，從題目當(dāng)中找到最重要的信息點(diǎn)，并將這些信息點(diǎn)串聯(lián)到一起，結(jié)合自己已經(jīng)學(xué)習(xí)過的基礎(chǔ)知識進(jìn)行轉(zhuǎn)化，最終找到正確的解題思路和方法．

比如，已知直角三角形的內(nèi)角分別是abc，每一個角所對應(yīng)的邊是ABC，并知A＝csinb，請解出a的值．在這個計(jì)算題當(dāng)中，我們需要明確的是三角函數(shù)的基礎(chǔ)定理問題，所涉及的知識點(diǎn)與正弦和余弦相關(guān)，學(xué)生掌握了基本的公式，就可以很快地解決這一問題了．

對于三角函數(shù)問題來說，只掌握基礎(chǔ)知識和定理定義是不夠的，學(xué)生還需要擁有豐富的解題技巧，解決不同類型的問題，所以教師要在課本內(nèi)容的基礎(chǔ)上向外延伸．從近年來高考題型來看，很多習(xí)題都是以課本為基礎(chǔ)向外延伸的，教師要適當(dāng)?shù)匮由旖滩闹R廣度，但是要注意分寸，不要過分地練習(xí)而忽視了基礎(chǔ)知識．在課后習(xí)題的練習(xí)和布置上，教師可以給學(xué)生安排不同類型的題目，拓展學(xué)生的思維，延伸他們的解題思路，最終提升解題效果．

四、結(jié)束語

綜上所述，三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中十分重要的一部分內(nèi)容，但是也是難度很大的一部分知識，對于很多學(xué)生來說，一遇到三角函數(shù)類問題就逃避、退縮，最終不僅沒有真正地掌握三角函數(shù)的解題方法，還會影響到他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績．三角函數(shù)涉及的知識點(diǎn)多而且相互之間具有緊密的關(guān)聯(lián)性和邏輯性，所以要求學(xué)生在解題過程中有較高的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S，將自己掌握的知識點(diǎn)循序漸進(jìn)地應(yīng)用到問題當(dāng)中去．此外，教師還需要注意引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成正確的審題習(xí)慣，將題目中的已知條件和隱藏條件都找出來，形成獨(dú)立自主的解題思維和靈活多變的解題技巧，多用思辨的方法和數(shù)形結(jié)合的方式思考問題，這不僅可以為學(xué)生現(xiàn)有的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，還能夠引導(dǎo)他們養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提高數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)．