數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用探討

◎李 亭 （甘肅省平?jīng)鍪袥艽h汭豐鎮(zhèn)中心小學(xué)，甘肅 平?jīng)?744300）

引言

數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用主要是讓學(xué)生運(yùn)用圖形將所學(xué)的知識表現(xiàn)出來，并實(shí)現(xiàn)知識之間的相互轉(zhuǎn)化．學(xué)生可以將抽象的數(shù)學(xué)知識運(yùn)用圖形的方式展示出來，然后通過對圖形的分析，使復(fù)雜的知識得到更好的梳理，更好地理解這些復(fù)雜的知識．與此同時，學(xué)生在數(shù)形結(jié)合的過程中，還能充分發(fā)揮空間想象力，給學(xué)生更多的感性認(rèn)識，發(fā)展學(xué)生的抽象思維．因此，我們不難得知，數(shù)形結(jié)合思想對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有著實(shí)際的作用和意義，同時讓學(xué)生學(xué)會舉一反三，學(xué)以致用．但是在實(shí)際的教學(xué)和應(yīng)用的過程中還存在一些問題．基于此，筆者根據(jù)自身的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，首先對數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用原則進(jìn)行淺談，再談一談數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略，希望能夠?qū)πW(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有一定的作用．

一、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用方式

（一）體現(xiàn)主體性，分層教學(xué)

在新課改的不斷深入下，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該更加注重發(fā)揮學(xué)生的主體作用，因此在數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用過程中也要堅持體現(xiàn)主體性．在實(shí)際的教學(xué)過程中，教師要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況合理地應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想．有些學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較的薄弱，他們對于數(shù)形結(jié)合的理解和應(yīng)用還有一定的欠缺，不能真正地理解數(shù)形結(jié)合的真正含義，也就不能發(fā)揮數(shù)形結(jié)合思想的作用．而數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較好的學(xué)生，他們不僅能夠解決更多的數(shù)學(xué)問題，還可以利用數(shù)形結(jié)合思想發(fā)揮學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新精神．因此在利用數(shù)形結(jié)合的過程中，教師要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況展開教學(xué)活動，發(fā)揮數(shù)形結(jié)合教學(xué)的作用和價值，使每個不同層次和水平的學(xué)生都能夠熟練地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，解決學(xué)習(xí)過程中的實(shí)際性問題．

（二）注重科學(xué)性，落實(shí)實(shí)效

數(shù)學(xué)的科學(xué)性主要是不同的數(shù)學(xué)知識內(nèi)容決定的．比如，對于數(shù)學(xué)知識中的概念、公式、計算定理等，這些知識點(diǎn)非常抽象，學(xué)生們理解起來有一定的難度，因此教師在教學(xué)的過程中不能讓學(xué)生對這些定理和概念進(jìn)行生搬硬套．教師可以根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想，讓知識點(diǎn)更加直觀化，讓學(xué)生探索和了解其中涵蓋的本質(zhì)和規(guī)律，才能實(shí)現(xiàn)有效的教學(xué)．而對于比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識內(nèi)容，教師可以利用數(shù)形結(jié)合思想使知識點(diǎn)更加簡單化，而不能將數(shù)形結(jié)合思想流于形式和表面功夫．同時在利用數(shù)形結(jié)合思想的過程中，教師可以利用多樣化的教學(xué)手段，展開探究性的教學(xué)活動，展開啟發(fā)式、體驗(yàn)式的教學(xué)活動，充分發(fā)揮學(xué)生在學(xué)習(xí)活動中的主體作用．教師在這一過程中，發(fā)展學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，使學(xué)生的思維由形象思維向抽象思維過渡，發(fā)展學(xué)生的思維能力．

二、數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略

（一）以形助數(shù)，直觀表達(dá)

以形助數(shù)，顧名思義，指的是在教學(xué)過程中通過圖形來幫助學(xué)生更好地了解數(shù)與數(shù)之間的內(nèi)在關(guān)系．對于小學(xué)數(shù)學(xué)知識點(diǎn)來說，主要是讓學(xué)生認(rèn)識數(shù)，并研究這些數(shù)量之間的內(nèi)在關(guān)系．但是對于小學(xué)生而言還有一定的難度，特別是對于一些思維能力有限的學(xué)生，他們更是舉步維艱．面對這種情況，教師不能急功近利，要一步一個腳?。處熆梢宰寣W(xué)生多看教材，特別是針對教材中的圖表，然后讓學(xué)生不斷地比較和分析圖形，讓學(xué)生通過對圖形的感知獲得更多的形象認(rèn)識，做到以形助數(shù)．?dāng)?shù)形結(jié)合思想還可以培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)量關(guān)系的感知能力，使學(xué)生更快地找到解決問題的辦法．比如，在學(xué)習(xí)“面積”的過程中，由于學(xué)生總是對“面積”的概念難以理解，教師可以結(jié)合生活實(shí)際，引入“面”的概念．教師在教學(xué)過程中可以出示兩組封閉圖形，讓學(xué)生對封閉圖形的大小進(jìn)行比較．在實(shí)際的操作過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生用重疊比較與數(shù)方格的比較方法，從而幫助學(xué)生總結(jié)出面積的意義．再比如學(xué)生在學(xué)習(xí)四年級數(shù)學(xué)的“相遇”問題時，“相遇”問題考驗(yàn)的是學(xué)生對速度、路程、時間這三個數(shù)量之間的內(nèi)在聯(lián)系，這種題型一般以解決問題的形式出現(xiàn)．在這類題型中，由于學(xué)生很容易犯迷糊，教師可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，幫助學(xué)生厘清這三個數(shù)量之間的關(guān)系．例如，兩列火車同時從兩地相對開出，甲火車每小時行86 千米，乙火車每小時行102 千米，經(jīng)過5 小時兩車在途中相遇，求兩地相距多少千米？ 這道題看似繞口，我們畫出一段路程，分別標(biāo)出甲火車、乙火車的速度，“經(jīng)過5 小時”說明他們都走了5 個小時，因此他們所用的時間都是5 小時，甲列火車走的速度乘以時間＝甲火車走的路程；乙列火車走的速度乘以時間＝乙列火車走的路程，兩者相加就是整個路程的總和．通過圖形的展示，學(xué)生可以對其中的數(shù)量關(guān)系有更好的感知，馬上就有了解題思路，輕松地解決了關(guān)于數(shù)學(xué)中的“相遇”問題．

（二）以數(shù)解形，精準(zhǔn)量化

數(shù)形結(jié)合包含兩個方面，一是通過幾何中的圖形來直觀地解讀數(shù)之間的內(nèi)在關(guān)系，二是通過數(shù)的精確性來解讀形的特點(diǎn)．對于第一種，更加符合學(xué)生的思維模式，學(xué)生運(yùn)用起來也比較得心應(yīng)手．但是讓學(xué)生通過數(shù)來解讀幾何圖形中的規(guī)律和特點(diǎn)，還有一定的難度．筆者認(rèn)為可以從以下方面著手：（1）引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會描述圖形的特征以及它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而更好地理解圖形．（2）對數(shù)與數(shù)之間、數(shù)量與數(shù)量之間的規(guī)律進(jìn)行探究，并學(xué)會運(yùn)用圖形來表示；圖形雖然直觀，但是其中所表達(dá)的含義仍然需要用簡單的數(shù)學(xué)語言來進(jìn)行描述和表達(dá)，從而做到“以數(shù)解形”．比如，我們在學(xué)習(xí)長方形、正方形、梯形、平行四邊形的周長和面積的過程中，僅僅通過對圖形的觀察還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，還需要運(yùn)用公式和原理對這些圖形的面積和周長進(jìn)行總結(jié)和概括．比如，在學(xué)習(xí)長方形的面積公式中，教師通常會運(yùn)用數(shù)格子的方法，來探究長方形面積與長方形的長與寬之間的關(guān)系，從而最終獲得長方形的面積公式，使學(xué)生對長方形的面積有一個深刻的認(rèn)識．同時在學(xué)習(xí)真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)的過程中，教師可以讓學(xué)生經(jīng)過涂色對分?jǐn)?shù)進(jìn)行表示，并與單位圓做比較，從而讓學(xué)生更好地區(qū)分真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)．

（三）形數(shù)互變，構(gòu)建模型

形數(shù)互變的本質(zhì)就是將以形助數(shù)與以數(shù)解形融合在一起．學(xué)生要對這兩種思維模式進(jìn)行隨時轉(zhuǎn)換，這考驗(yàn)了學(xué)生的知識靈活應(yīng)用能力．與此同時，學(xué)生還要掌握算理．教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)探究過程中抓住數(shù)學(xué)知識中所涵蓋的規(guī)律和實(shí)質(zhì)．?dāng)?shù)形結(jié)合思想是新課改下創(chuàng)新的教學(xué)思路和方法．在實(shí)際教學(xué)滲透和應(yīng)用的過程中，教師在展現(xiàn)圖形時要多與學(xué)生進(jìn)行互動，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行感知和體會，避免圖形過于簡單化，充分地將“數(shù)”與“形”等價轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合思想的作用，并幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型．“雞兔同籠”問題是數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要探究問題，教師可以幫助學(xué)生更好地解讀教材中的圖畫法．假設(shè)8 個頭都是雞，這樣一共是16 條腿，那與題目中的26 條腿不符，因此要進(jìn)行置換，多出來的10 條腿可以“補(bǔ)”在5 個的頭上，因此應(yīng)該有兔5 只，雞有3 只；那假設(shè)8 個頭都是兔的，這樣一共就有32 條腿，與題目中的“26 條腿”相矛盾，通過置換，多出來的6 條腿要從3 個頭上抹去，因此兔有5 只，雞有3 只．教材中分別采用了列表法、圖解法和假設(shè)法，這些方法各有區(qū)別，但又有聯(lián)系，既有缺點(diǎn)，又有各自的長處．?dāng)?shù)形結(jié)合的方法可以提高學(xué)生的觀察、比較和分析能力．與此同時，教師還可以利用這一思想，引導(dǎo)學(xué)生解讀“龜鶴問題”“長方形的組合圖形”問題以及“租船”問題等．因此，我們不難發(fā)現(xiàn)，雞兔變成了一種模型，成了這一類題型的代名詞，假設(shè)法是這類題型的重要解題辦法，而其中的數(shù)形結(jié)合思想為假設(shè)法提供了很好的表象支撐．這種數(shù)與形的轉(zhuǎn)換，大大地擴(kuò)展了學(xué)生的解題思路，充分發(fā)展了學(xué)生的解題水平和能力．

（四）數(shù)形結(jié)合，協(xié)調(diào)思維

新課改下的數(shù)學(xué)教學(xué)的核心之處在于促進(jìn)學(xué)生素質(zhì)的提高和發(fā)展．思維是學(xué)生對客觀事物的分析、總結(jié)和歸納的過程．在這一過程中，我們的認(rèn)知在不斷變化，并逐漸變得更加深刻．而數(shù)學(xué)作為一個發(fā)展學(xué)生思維能力的學(xué)科，其教學(xué)更應(yīng)如此．教師需要展開探究式的教學(xué)活動，讓學(xué)生進(jìn)行觀察、比較、分析等實(shí)踐活動，使學(xué)生對其中的數(shù)學(xué)概念、公式有深刻的了解，從而對抽象的知識進(jìn)行充分的理解和認(rèn)識．在探究式的教學(xué)活動中，教師首先讓學(xué)生進(jìn)行觀察，然后讓學(xué)生對數(shù)的概念進(jìn)行推理和總結(jié)，并對數(shù)的概念進(jìn)行訓(xùn)練和鞏固，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)的概念進(jìn)行理解和記憶．在這一過程中，學(xué)生的思維也得到了相應(yīng)的發(fā)展．這樣一來，學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合發(fā)展了自己的思維和學(xué)習(xí)水平．在學(xué)生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了一定的分析能力以后，教師一定要讓學(xué)生積極地參與到問題的研究和解決過程中，讓學(xué)生用自己現(xiàn)有的知識水平和能力，促進(jìn)對新知識的學(xué)習(xí)和探究，使學(xué)生真正掌握解決問題的辦法．對于小學(xué)階段的學(xué)生而言，他們正處于形象思維高速發(fā)展的階段，并向抽象思維過渡的階段．在這一過程中，學(xué)生的形象思維與數(shù)學(xué)知識點(diǎn)中的抽象思維發(fā)生了沖突，給學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來了一定的困難．因此在教學(xué)中，教師需要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，將數(shù)的問題與形的問題展示出來，讓學(xué)生不僅能夠獨(dú)立地解決數(shù)學(xué)問題，還能靈活地應(yīng)用這些數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)語言，促進(jìn)學(xué)生的形象思維和抽象思維得到共同發(fā)展．

比如，在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識以及分?jǐn)?shù)的計算及運(yùn)理的過程中，首先，教師可以引入生活中的實(shí)際情境，如將一個蘋果平均分為2 個小朋友，讓學(xué)生思考：每個小朋友所獲得的這一半個蘋果所代表的分?jǐn)?shù)是多少，并用圖展示出來；再如將8 塊蛋糕看成一個整體，5 塊蛋糕所代表的是什么呢？ 教師可以通過涂色、折紙等教學(xué)活動，來探討學(xué)生對分?jǐn)?shù)的認(rèn)識．其次，在對分?jǐn)?shù)的計算過程中，教師可以用七巧板拼成一個正方形，并讓學(xué)生們觀察其中兩個大三角形的和占了整個正方形的幾分之幾呢？ 此時學(xué)生們很清楚地看到是正方形的一半，也就是，那一個三角形就是整個正方形的，因此，讓學(xué)生通過七巧板的觀察，將分?jǐn)?shù)的意義與分?jǐn)?shù)的計算結(jié)合在一起，使學(xué)生對簡單的同分母的分?jǐn)?shù)相加進(jìn)行有效學(xué)習(xí)．在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的過程中，教師通過情境教學(xué)創(chuàng)設(shè)和七巧板模型的應(yīng)用，給學(xué)生帶來更多的形象認(rèn)識，并讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中動手操作、觀察和分析，來加深對分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)的計算及運(yùn)算運(yùn)理進(jìn)行理解和記憶，更好地實(shí)現(xiàn)學(xué)生由形象思維向抽象思維的轉(zhuǎn)變．?dāng)?shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生不僅知道數(shù)學(xué)知識，還知道其中所涵蓋的本質(zhì)和規(guī)律．

結(jié) 語

綜上所述，隨著新課改的不斷深入，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要進(jìn)行學(xué)科的知識傳遞，還要發(fā)展學(xué)生的思維．而數(shù)形結(jié)合思維作為一種創(chuàng)新型的教學(xué)方法，將數(shù)學(xué)中的數(shù)和數(shù)量的關(guān)系以更加生動、直觀的方法表現(xiàn)出來，實(shí)現(xiàn)數(shù)量與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，并巧妙地將這兩種思維結(jié)合起來，使學(xué)生的解題思路更加清晰、開闊，促進(jìn)學(xué)生獲得更多解題的技巧和方法，這對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有著很大的作用和意義．因此在實(shí)際的教學(xué)過程中，教師需要為學(xué)生打造創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境—實(shí)物—數(shù)量的感知—數(shù)量分析—運(yùn)算的教學(xué)模式，讓學(xué)生來積極探索數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，并滲透數(shù)形結(jié)合的思想，分別做到以形助數(shù)、以數(shù)解形、形數(shù)互變、數(shù)形結(jié)合，實(shí)現(xiàn)學(xué)生由形象思維向抽象思維的過渡和發(fā)展，促進(jìn)學(xué)生綜合素質(zhì)的有效提高．筆者針對數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)際應(yīng)用進(jìn)行相關(guān)的探討，提出上述的看法，希望能夠?qū)πW(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有一定的幫助．