小議對數(shù)中的求值問題

■金海平

對數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的重要知識點(diǎn),對數(shù)中的求值問題是同學(xué)們?nèi)菀壮鲥e(cuò)的地方,解這類問題的關(guān)鍵是弄清題意,選準(zhǔn)公式,細(xì)心計(jì)算。

一、利用兩個(gè)同底的對數(shù)相等求值

例1設(shè)lga+lgb=2lg(a-2b),則的值為____。

解:因?yàn)閘ga+lgb=2lg(a-2b),所以a>0,b>0,a-2b>0,所以ab=(a-2b)2,即a2-5ab+4b2=0,解得a=4b或a=b(舍去),所以

利用兩個(gè)同底的對數(shù)相等,得到真數(shù)相等,再通過轉(zhuǎn)化即可求值,但要注意對數(shù)的真數(shù)恒為正。

二、利用對數(shù)的性質(zhì)求值

例2計(jì)算:=____。

利用對數(shù)恒等式logaaN=N(a>0,且a≠1,N∈R),alogaN=N(a>0,且a≠1,N>0)時(shí),一定要注意公式的結(jié)構(gòu),當(dāng)指數(shù)的底數(shù)和對數(shù)的底數(shù)是同一個(gè)數(shù)時(shí),才能用此公式。

三、利用對數(shù)與指數(shù)的轉(zhuǎn)化關(guān)系求值

例3若2a=5b=10,則的值為____。

解:因?yàn)?a=5b=10,所以a=log210,b=log510,所以

對數(shù)源于指數(shù),對數(shù)與指數(shù)互為逆運(yùn)算。對數(shù)與指數(shù)之間的關(guān)系:當(dāng)a>0,且a≠1 時(shí),ax=N?x=logaN。

四、利用對數(shù)的換底公式求值

例4若xlog38=1,則8x+8-x的值為_____。

解:因?yàn)閤log38=1,所以x=log83,所以對數(shù)換底公式為logab=且a≠1,b>0,c>0 且c≠1)。特 別 地,logab·logba=1(a>0且a≠1,b>0且b≠1)。

五、利用分段函數(shù)的性質(zhì)求值

解答本題的關(guān)鍵是判斷2+log23 是 大 于4 還 是 小 于4,再把2+log23代入分段函數(shù)的解析式中。解題時(shí)容易出錯(cuò)的地方是直接把2+log23代入中進(jìn)行計(jì)算。

六、利用韋達(dá)定理求值

例6設(shè)logac,logbc是方程x2-3x+1=0的兩個(gè)根,則的值為____。

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1、x2與系數(shù)的關(guān)系為

七、利用函數(shù)的性質(zhì)求值

例7若函數(shù)f(x)=logax(a>0,且a≠1)在區(qū)間[a,2a]上的最大值是最小值的3倍,則a的值為____。

解:當(dāng)0

當(dāng)a>1 時(shí),f(x)=logax是定義域?yàn)?0,+∞)的增函數(shù),所以f(x)min=logaa=1,f(x)max=loga2a,所以3=loga2a,所以a3=2a。因?yàn)閍>1,所以

綜上可得,滿足條件的a的值為或。

對數(shù)函數(shù)f(x)=logax(a>0且a≠1)的單調(diào)性與底數(shù)a有關(guān),因此要注意分類討論。

八、利用函數(shù)的周期性求值

例8設(shè)f(x)是定義在R 上的函數(shù),且f(x+2)=f(x+1)-f(x),若f(1)=,f(2)=lg15,則f(2023)=____。

由已知條件和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),找出函數(shù)值的變化規(guī)律,即可得到函數(shù)的最小正周期,利用周期可求得結(jié)果。