指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)易錯(cuò)點(diǎn)剖析

■鄭 欣

易錯(cuò)點(diǎn)1:利用分段函數(shù)的單調(diào)性時(shí),忽略分段點(diǎn)

例 1 已 知 函 數(shù)f(x) =若f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )。

A.(0,1) B.(2,3]

C.(1,2) D.(2,+∞)

錯(cuò)解:由題意可知,函數(shù)y=(a-2)x+1在(-∞,1]上為增函數(shù),則a-2>0,解得a>2;函數(shù)y=logax在(1,+∞)上為增函數(shù),則a>1。綜上所述,a>2。應(yīng)選D。

剖析:分段函數(shù)在R 上單調(diào)遞增,在每一段都是遞增的,在分段點(diǎn)處也是遞增的。

正解:由題意可知,函數(shù)y=(a-2)x+1在(-∞,1]上為增函數(shù),則a-2>0,解得a>2;函數(shù)y=logax在(1,+∞)上為增函數(shù),則a>1。

在分段點(diǎn)x=1處,由a-3≤loga1=0,解得a≤3。

綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,3]。應(yīng)選B。

易錯(cuò)點(diǎn)2:求單調(diào)區(qū)間時(shí),忽略函數(shù)的定義域

例2函數(shù)f(x)=lg(x2-2x-8)的單調(diào)遞增區(qū)間是( )。

A.(-∞,-2) B.(-∞,1)

C.(1,+∞) D.(4,+∞)

錯(cuò)解:因?yàn)閮?nèi)層函數(shù)u=x2-2x-8 在區(qū)間(-∞,1)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增,外層函數(shù)y=lgu為增函數(shù),所以復(fù)合函數(shù)f(x)=lg(x2-2x-8)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞)。應(yīng)選C。

剖析:求函數(shù)的單調(diào)性往往容易忽略定義域。要使函數(shù)f(x)=lg(x2-2x-8)有意義,需要x2-2x-8>0,在優(yōu)先考慮定義域的前提下,才能討論函數(shù)f(x)=lg(x2-2x-8)單調(diào)性。

正解:對(duì)于函數(shù)f(x)=lg(x2-2x-8),由x2-2x-8>0,解得x<-2或x>4,所以函數(shù)f(x)=lg(x2-2x-8)的定義域?yàn)?-∞,-2)∪(4,+∞)。

內(nèi)層函數(shù)u=x2-2x-8在區(qū)間(-∞,-2)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(4,+∞)上單調(diào)遞增,外層函數(shù)y=lgu為增函數(shù),結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,可得函數(shù)f(x)=lg(x2-2x-8)的單調(diào)遞增區(qū)間為(4,+∞)。應(yīng)選D。

A.(-∞,2] B.[2,+∞)

C.[2,6] D.[-2,2]