023年高考函數的奇偶性、單調性、周期性問題聚焦

■陳軍麗

2023年高考對函數性質的考查,主要圍繞“以常見函數為載體考查函數的奇偶性、單調性,與不等式、方程等結合考查函數的單調性、奇偶性、周期性”,凸顯直觀想象、邏輯推理、分類討論思想、數形結合思想的應用及數學運算的核心素養(yǎng)。

聚焦一:函數奇偶性的應用

例1(2023年高考全國卷)已知f(x)是偶函數,則a=( )。

A.-2 B.-1 C.1 D.2

體驗:利用奇函數滿足f(-x)=-f(x)或偶函數滿足f(-x)=f(x)是解題的關鍵。要注意的是:若能確定奇函數的定義域中包含0,則直接根據f(0)=0,求出參數的值。

變 式 1: 若 函 數f(x) =為奇函數,則參數a的值為____。

提 示: 因 為 函 數f(x) =為奇函數,所以f(-1)=-f(1),所以-a2-1=-(a+1),即a(a-1)=0,可 得a=0 或a=1。當a=0 時,不是奇函數,即a=0 不合題意;當a=1時,是奇函數,適合題意。綜上可得,a=1。

聚焦二:函數周期性的應用

例2(2023年新高考卷)若函數f(x)的定義域為R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1,則f(k)=( )。A.-3 B.-2 C.0 D.1

由f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),令x=1,y=0,可得2f(1)=f(1)f(0),所以f(0)=2。令x=0,可得f(y)+f(-y)=2f(y),即f(y)=f(-y),所以函數f(x)為偶函數。令y=1,可得f(x+1)+f(x-1)=f(x)f(1)=f(x),即f(x+2)+f(x)=f(x+1),從而可得f(x+2)=-f(x-1),所以f(x-1)=-f(x-4),所以f(x+2)=f(x-4),可得f(x)=f(x+6),所以函數f(x)的一個周期為6。

因為f(2)=f(1)-f(0)=1-2=-1,f(3)=f(2)-f(1)=-1-1=-2,f(4)=f(-2)=f(2)=-1,f(5)=f(-1)=f(1)=1,f(6)=f(0)=2,所以f(1)+f(2)+…+f(6)=0。因為22=3×6+4,所以=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1-1-2-1=-3。應選A。

體驗:若f(x+a)=-f(x),則f(x+2a)=f[(x+a)+a]=-f(x+a)=f(x),所以周期T=2a。若f(x+a)=f(x-a),令x-a=t,x=t+a,則f(t)=f(t+2a),所以周期T=2a。在解決具體問題時,要注意結論:若T是函數的周期,則kT(k∈Z 且k≠0)也是函數的周期。

變式2:已知f(x)是定義域為(-∞,+∞)的奇函數,滿足f(1-x)=f(1+x)。若f(1)=2,則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=_____。

提示:因為f(x)是定義域為(- ∞,+∞)的奇函數,且f(1-x)=f(1+x),所以f(1+x)=-f(x-1),所以f(3+x)=-f(x+1)=f(x-1),所以f(x+4)=f(x),所以T=4。因此f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)。因為f(3)=-f(1),f(4)=-f(2),所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0。又因為f(2)=f(0)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=f(1)=2。

聚焦三:函數的奇偶性與單調性的應用

例3(2023 年高考全國卷)已知函數f(x)=e-(x-1)2。記,則( )。

A.b>c>aB.b>a>c

C.c>b>aD.c>a>b

令函數g(x)=-(x-1)2,則g(x)的圖像開口向下,對稱軸方程為x=1。

又因為y=ex為增函數,所以ac>a。應選A。

體驗:函數單調性的判斷,可依據常見的初等函數的性質,結合復合函數“同增異減”法則得到結論。復雜的解析式給出的函數,可借助奇偶性判斷對稱區(qū)間上的單調性。

變式3:設函數f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,則f(x)( )。