巧思維，妙應(yīng)用
———二分法

■晏 江

二分法,又稱分半法,是求方程的近似解的常用方法。二分法簡便而又應(yīng)用廣泛,對函數(shù)沒有要求,任何方程都可以用二分法求相應(yīng)的近似解,這就為函數(shù)知識的拓展與應(yīng)用提供了一個更好的、更新的必需工具。

一、求方程的近似解問題

例1已知函數(shù)f(x)=x3+x2-2x-2的一個正數(shù)零點附近的函數(shù)值用二分法逐次計算,參考數(shù)據(jù)如表1所示。

表1

那么方程x3+x2-2x-2=0的一個近似解(精確度為0.05)為( )。

A.1.5 B.1.375

C.1.438 D.1.25

分析:先利用函數(shù)零點的存在定理確定零點所在的區(qū)間,再結(jié)合零點所在區(qū)間的精確度確定零點區(qū)間的端點即為方程的近似解。

解:因為f(1.4065)=-0.052<0,f(1.438)=0.165>0,所以f(1.4065)·f(1.438)<0。根據(jù)函數(shù)零點的存在定理知零點在區(qū)間(1.4065,1.438)內(nèi),即該方程的根在區(qū)間(1.4065,1.438)內(nèi)。

因為|1.4065-1.438|=0.0315<0.05,所以方程的近似解為1.4065或1.438。應(yīng)選C。

利用二分法求方程近似解時,首先需要有初始區(qū)間,即一個存在解的區(qū)間(要用到此區(qū)間的兩端點),其次需要有迭代,即循環(huán)運算的過程,具體表現(xiàn)在不斷“二分”區(qū)間,最后需要有一個運算結(jié)束的標(biāo)志,即當(dāng)最終區(qū)間的兩端點的精確度均滿足題設(shè)要求時(兩端點的近似值相同),運算終止。

二、零點的應(yīng)用問題

例2圖1是函數(shù)f(x)的圖像,它與x軸有4個不同的公共點。給出的下列四個區(qū)間之中,存在不能用二分法求出的零點,該零點所在的區(qū)間是( )。

圖1

A.[-2.1,-1] B.[4.1,5]

C.[1.9,2.3] D.[5,6.1]

分析:利用二分法,確定零點所在區(qū)間的兩個端點所對應(yīng)的函數(shù)值必須異號,由此判斷函數(shù)的零點所在的區(qū)間。

解:結(jié)合圖像,可知選項A,B,D 中每個區(qū)間的兩個端點的函數(shù)值異號,可用二分法求出零點。選項C中區(qū)間的兩個端點的函數(shù)值同號,不能用二分法求零點。應(yīng)選C。

利用二分法求函數(shù)零點的依據(jù)是函數(shù)零點的存在定理,這也是利用二分法解決問題的必備條件。只有在滿足函數(shù)零點的存在定理的前提下,才能利用二分法求函數(shù)的零點或方程的近似解。

三、次數(shù)的判斷問題

A.3 B.4 C.5 D.6

分析:利用二分法求二等分次數(shù)時,每次二等分后的區(qū)間長度為原來的,借助近似值滿足的精確度,合理構(gòu)建相應(yīng)的不等式,從而求得二等分的次數(shù)。

解:設(shè)對區(qū)間(1,2)至少二等分n次,此時區(qū)間長為1。

利用二分法解決問題時,每經(jīng)過一次操作,區(qū)間長度就變?yōu)樵瓉淼囊话?。借助二分法解決問題的思想方法,對于解決一些數(shù)學(xué)問題、現(xiàn)實生活問題等,都有很好的幫助與指導(dǎo)意義。

四、實際應(yīng)用問題

例4華羅庚是上世紀(jì)我國偉大的數(shù)學(xué)家,以華氏命名的數(shù)學(xué)科研成果有“華氏定理”“華氏不等式”“華王方法”等。除了數(shù)學(xué)理論研究,他還在生產(chǎn)一線大力推廣了“優(yōu)選法”和“統(tǒng)籌法”?！皟?yōu)選法”是指研究如何用較少的試驗次數(shù),迅速找到最優(yōu)方案的一種科學(xué)方法。在防疫取得重要進(jìn)展的時刻,為應(yīng)對機(jī)場帶來的境外輸入,某機(jī)場海關(guān)在對入境人員進(jìn)行檢測時采用了“優(yōu)選法”提高檢測效率:每16 人為一組,把他們的鼻咽拭子分泌物混合檢查,如果為陰性則全部放行;若為陽性,則對該16 人再次抽檢確認(rèn)感染者。某組16人中恰有一人感染(鼻咽拭子樣本檢驗將會是陽性),若逐一檢測可能需要15 次才能確認(rèn)感染者?，F(xiàn)在先把這16人均分為2組,選其中一組8人的樣本混合檢查,若為陰性則認(rèn)定感染者在另一組;若為陽性,則認(rèn)定感染者在本組。繼續(xù)把認(rèn)定的這組的8人均分為2 組,選其中一組4 人的樣本混合檢查……以此類推,最終從這16人中認(rèn)定那名感染者需要經(jīng)過的檢測次數(shù)為( )。

A.3 B.4 C.6 D.7

分析:根據(jù)題設(shè)條件,由16 人進(jìn)行二分法處理減少到8人,逐步減少到4人,2人,最后確定感染者。

解:先把這16 人均分為2 組,選其中一組8 人的樣本混合檢查,若為陰性則認(rèn)定在另一組;若為陽性,則認(rèn)定在本組,此時進(jìn)行了1次檢測;

繼續(xù)把認(rèn)定的這組的8 人均分為2 組,選其中一組4 人的樣本混合檢查,若為陰性則認(rèn)定在另一組;若為陽性,則認(rèn)定在本組,此時進(jìn)行了2次檢測;

繼續(xù)把認(rèn)定的這組的4 人均分為2 組,選其中一組2 人的樣本混合檢查,若為陰性則認(rèn)定在另一組;若為陽性,則認(rèn)定在本組,此時進(jìn)行了3次檢測;

選認(rèn)定的這組的2人中一人進(jìn)行樣本檢查,若為陰性,則認(rèn)定是另一個人;若為陽性,則認(rèn)定為此人,此時進(jìn)行了4次檢測。

所以最終從這16 人中認(rèn)定那名感染者需要經(jīng)過4次檢測。應(yīng)選B。

二分法體現(xiàn)了現(xiàn)代信息技術(shù)與數(shù)學(xué)知識的整合,將數(shù)學(xué)知識與信息技術(shù)緊密結(jié)合,恰當(dāng)滲透算法思想和科學(xué)型計算器等,可以解決現(xiàn)實生活中的一些實際應(yīng)用問題。

提示:因為f(1)=-2<0,f(2)=ln2-1<0,又f(x)在(0,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),所以在(1,2)上f(x)無零點。同理,可以判斷在區(qū)間和(e,+∞)上f(x)無零點。因為,所以f(2)·f(3)<0,所以f(x)在(2,3)上有一個零點。應(yīng)選B。