箭圖表示的絕對(duì)Clean性質(zhì)①

孫情，楊剛

蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，蘭州 730070

20世紀(jì)70年代，Gabriel、Auslander和Reiten建立了箭圖表示理論． 經(jīng)過近50年的發(fā)展，箭圖表示理論不僅趨于完善，而且與群表示論、李代數(shù)和量子群、代數(shù)幾何、數(shù)學(xué)物理等其他學(xué)科有深刻的聯(lián)系．

并研究了表示范疇中余撓對(duì)的遺傳性． 文獻(xiàn)[4]研究了箭圖的表示范疇中的余撓對(duì)(Φ(A)，Φ(A)⊥)和(⊥Ψ(B)，Ψ(B))的完全性．

絕對(duì)Clean模類作為R-模范疇中一類特殊有限表現(xiàn)模類，關(guān)于Ext函子的右正交子范疇在同調(diào)代數(shù)的研究中有著重要應(yīng)用． 文獻(xiàn)[5]引入了絕對(duì)Clean的概念，從而引入了GorensteinAC投射模和GorensteinAC內(nèi)射模的概念，并研究了Gorenstein同調(diào)理論是如何擴(kuò)展到任意環(huán)R上的． 后來，文獻(xiàn)[6]定義了絕對(duì)Clean復(fù)形，并且進(jìn)一步研究了相關(guān)的Gorenstein同調(diào)理論．

1 準(zhǔn)備知識(shí)

定義1令n≥0是整數(shù)． 如果存在正合列

其中每個(gè)Fi是有限生成的投射模(i=1，2，…，n)，則稱模M是n有限表現(xiàn)模． 特別地，當(dāng)n=1時(shí)，則稱M為有限表現(xiàn)模． 如果存在正合列

使得每個(gè)Fi是有限生成的投射模(i=1，2，…)，則稱M是超有限表現(xiàn)模．

定義2設(shè)C是范疇A中的對(duì)象類，且A中存在足夠多的投射對(duì)象(內(nèi)射對(duì)象)． 如果C包含所有投射(內(nèi)射)對(duì)象，并且C關(guān)于擴(kuò)張和滿同態(tài)的核(單同態(tài)的余核)封閉，則稱C是可解(余可解)的．

2 n有限表現(xiàn)表示與絕對(duì)Clean表示

定義3令i≥0是整數(shù)，M∈Rep(Q，M)． 如果存在正合列

其中Fi是Rep(Q，M)中有限生成的投射表示(i=1，2，…，n)，則稱M是n有限表現(xiàn)表示． 特別地，當(dāng)n=1時(shí)，稱M是有限表現(xiàn)表示． 如果存在正合列

使得每個(gè)Fi是有限生成的投射表示(i=1，2，…)，則稱M是超有限表現(xiàn)表示．

定理1設(shè)M∈Rep(Q，M)． 則M是n有限表現(xiàn)表示當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)Mi是n有限表現(xiàn)模(i=1，2，…，m)．

證必要性 因?yàn)镸是n有限表現(xiàn)表示，所以存在正合列

其中Fj是有限生成的投射表示(j=1，2，…，n)，即存在行正合的交換圖

其中Pi，j是有限生成的投射模． 根據(jù)定義1知每個(gè)Mi是n有限表現(xiàn)模．

其中Fj是有限生成的投射表示(j=1，2，…，n)． 這便證得M是n有限表現(xiàn)表示．

定理2設(shè)M∈Rep(Q，M)． 則M是超有限表現(xiàn)表示當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)Mi是超有限表現(xiàn)模(i=1，2，…，m)．

證類似于定理1可證．

證必要性 顯然成立．

(1)

即有列正合的交換圖

用HomRep(Q，M)(-，X)作用正合列(1)，可得長正合列

由歸納假設(shè)和條件可知

依次類推可得Kerdi，X1，X2，…，Xm都是絕對(duì)Clean模．

證類似于定理2可證．

證充分性顯然成立，下證必要性． 設(shè)M是超有限表現(xiàn)表示． 則存在正合列

依次類推，利用維數(shù)轉(zhuǎn)移可以得到

命題2絕對(duì)Clean表示構(gòu)成的類是余可解類．

又因?yàn)槿我鈨?nèi)射表示是絕對(duì)Clean表示，所以絕對(duì)Clean表示構(gòu)成的類是余可解類．