形式三角矩陣環(huán)上的Gorenstein 平坦模

楊曉燕，李 清

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅 蘭州 730070)

0 引言

1 預(yù)備知識(shí)

類似地，右T-模范疇中的對(duì)象可以用三元組W=(W1,W2)φW來表示，其中W1是右A-模，W2是右B-模，φW:W2?BU→W1是A-模同態(tài).任意兩個(gè)右T-模(W1,W2)φW和(X1,X2)φX之間的態(tài)射是二元組(g1,g2)，其中g(shù)1:W1→X1是A-模同態(tài),g2:W2→X2是B-模同態(tài),并且滿足交換圖

2 Gorenstein 平坦模

定義1一個(gè)完全平坦分解是平坦R-模的正合列

P: …→P1→P0→P0→P1→…,

使得對(duì)任意的內(nèi)射右R-模I,有I?RP正合.

稱左R-模M是Gorenstein平坦模,若存在一個(gè)完全平坦分解P,使得M?Ker(P0→P1).

定義2稱U是相對(duì)于平坦分解的相容左B右A-雙模,若以下兩個(gè)條件成立：

(C1)若P是完全左B-模平坦分解,則HomA(U,E)?P正合,其中E為內(nèi)射右A-模.

(C2)若F是平坦左A-模的正合列,則U?AF是正合的.

例1設(shè)U是左B右A-雙模,fd(UA)<∞.若fd(BU)<∞,則U是相對(duì)于平坦分解的相容雙模.

證明設(shè)Q是平坦左A-模的正合列.考慮右A-模U的平坦分解

0→Fn→Fn-1→…→F1→F0→U→0,

其中F1是平坦的,i∈Z,則F1?AQ是正合的.因?yàn)镕i是平坦的,所以得到復(fù)形的正合列

于是U?Q正合,故U滿足條件(C2).若fd(BU)=m<∞,E是內(nèi)射右A-模,則由文獻(xiàn)[10]知,對(duì)任意右B-模Y,有

所以id(HomA(U,E))≤m<∞.設(shè)P是完全左B-模平坦分解,則由文獻(xiàn)[5]知,HomA(U,E)?P正合.因此U滿足條件(C1),所以U是相對(duì)于平坦分解的相容雙模. 】

(1)M是Gorenstein平坦左T-模;

(2)M1是Gorenstein平坦左A-模,Coker(φM)是Gorenstein平坦左B-模且φM是單同態(tài).

證明(1)?(2).因?yàn)镸是Gorenstein平坦左T-模,所以存在完全左T-模平坦分解

其中M1=Ker(?0).

設(shè)λ1:M1→F0和λ2:M2→P0.考慮交換圖

因?yàn)閁是相對(duì)于平坦分解的相容雙模,所以U?AF正合.于是1U?λ1是單同態(tài).由文獻(xiàn)[7]知,φ0是單同態(tài).于是由交換圖知,φM是單同態(tài).對(duì)?i∈Z,有如下交換圖：

因?yàn)榈谝涣泻偷诙姓?所以得到平坦左B-模的正合列

由文獻(xiàn)[10]知,Coker(φM)?Ker(α0).設(shè)G是內(nèi)射右B-模,則有左B-模的正合列

0→U?AFi→Pi→Coker(φi)→0,

從而得到正合列

所以

因?yàn)?0,G)是內(nèi)射右T-模,所以G?S?(0,G)?TH正合,于是S是完全左B-模平坦分解,因此Coker(φM)是Gorenstein平坦左B-模.

設(shè)E是內(nèi)射右A-模,則存在右T-模的正合列

于是有復(fù)形正合列

因?yàn)?E,HomA(U,E))是內(nèi)射右T-模,所以復(fù)形(E,HomA(U,E))?TH是正合的.又因?yàn)閁是相對(duì)于平坦分解的相容雙模,所以HomA(U,E)?S正合.于是

正合.故由文獻(xiàn)[10]知,(E,0)?TH?E?AF正合.因此F是完全左A-模平坦分解,所以M1是Gorenstein平坦左A-模.

(2)?(1).因?yàn)棣誐:U?AM1→M2是單同態(tài),所以存在左T-模的正合列

使得M1=Ker(?0),由條件(C2)知,U?AF正合.于是存在平坦左T-模的正合列

0→(E1,0)→(E1,E2)→(0,E2)→0.

因?yàn)?/p>

所以

使得Coker(φM)=Ker(d0).于是存在平坦左T-模的正合列

因?yàn)?E,HomA(U,E))是內(nèi)射右T-模,所以

(E,HomA(U,E))?TΩ?HomA(U,E)?BP.

證明由例1知,U是相對(duì)于平坦分解的相容雙模,所以結(jié)論成立. 】

證明因?yàn)镽RR是相對(duì)于平坦分解的相容雙模,所以結(jié)論成立. 】