梯度的幾何意義

嚴(yán)質(zhì)彬

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)(深圳)理學(xué)院，廣東 深圳 518055)

1 引 言

數(shù)學(xué)教學(xué)和研究中, 追求幾何意義, 一般是指借助幾何對(duì)象, 來解釋數(shù)學(xué)概念及數(shù)學(xué)命題的形象化的直觀的含義.目前在數(shù)學(xué)分析和高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)中, 梯度作為向量, 解釋其幾何意義一般是引入等高線(等值面)這個(gè)幾何對(duì)象[1-3]: 梯度向量的方向是等高線的法方向(指向高度上升的那一側(cè))；梯度向量的大小是該方向的方向?qū)?shù).這當(dāng)然是一個(gè)很好的幾何解釋, 能增加對(duì)梯度概念的形象化的認(rèn)識(shí).關(guān)于梯度的教學(xué), 近年來也還有一些有趣的研究[4-5].

在進(jìn)行多元微積分的教學(xué)時(shí), 已經(jīng)學(xué)習(xí)過向量與矩陣.與一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相對(duì)應(yīng)的多元函數(shù)的概念不是偏導(dǎo)數(shù), 而是梯度.多元函數(shù)的梯度, 或者一般地, 多元向量值函數(shù)的雅可比矩陣, 是一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的高維類比[2].這個(gè)思想在數(shù)學(xué)分析和高等數(shù)學(xué)的教學(xué)實(shí)踐中在不斷地強(qiáng)化.

一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切線的斜率.斜率聯(lián)系著傾斜角這個(gè)非常形象直觀的幾何對(duì)象.既然梯度是導(dǎo)數(shù)的高維類比, 那么梯度的幾何意義能不能也結(jié)合切平面, 傾斜角這些幾何對(duì)象來說明呢? 除了用等高線這個(gè)幾何對(duì)象以外, 還能不能用其他幾何對(duì)象來解釋梯度的幾何意義呢?

2 平面傾斜度的向量刻畫

回憶立體幾何中二面角的概念.二面角是指三維空間中, 從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形.這條直線叫做二面角的棱, 這兩個(gè)半平面叫做二面角的面.以棱上的一點(diǎn)為端點(diǎn), 在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線, 這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.二面角的平面角的角度大小, 簡(jiǎn)稱為二面角的角度大小.引入二面角的角度大小的概念, 可以將一個(gè)平面相對(duì)于另一個(gè)平面的位置關(guān)系用數(shù)量化的方法來描述.下面來解釋, 只用二面角的角度大小這一個(gè)數(shù)量指標(biāo), 是不能完全刻畫兩個(gè)平面的相對(duì)位置關(guān)系的.

先觀察平面上兩條直線的相對(duì)位置關(guān)系的刻畫.在平面解析幾何中, 有直線的“點(diǎn)斜式”方程.設(shè)直線l過點(diǎn)(x0,y0), 直線l的上升方向(可用直線l的位于x軸上方的那一半射線來代表)和x軸正方向的夾角為θ(不考慮θ為直角的情形), 直線l相對(duì)于x軸的斜率定義為k=tanθ.于是直線的“點(diǎn)斜式”方程為y=y0+k(x-x0).因此, 一條直線可以由兩個(gè)要素來完全定位: 它上面的一個(gè)點(diǎn), 以及它相對(duì)于給定參考直線的斜率.

再來觀察三維直角坐標(biāo)空間中的一個(gè)平面, 它與xOy坐標(biāo)平面既不平行也不垂直.該平面位于xOy坐標(biāo)平面上方的那個(gè)半平面與xOy坐標(biāo)平面構(gòu)成兩個(gè)互補(bǔ)的二面角, 記其中的一個(gè)為θ.盡管tanθ能夠在一定程度上反映該平面相對(duì)于xOy坐標(biāo)平面的傾斜度, 但顯然不能通過兩個(gè)要素(平面上的一點(diǎn), 及tanθ)來完全定位該平面: 這兩個(gè)要素只能將平面確定到相差一個(gè)旋轉(zhuǎn)的程度.總結(jié)這個(gè)事實(shí), 說三維空間中, 一個(gè)平面相對(duì)于xOy坐標(biāo)平面的二面角的正切值, 不是二維平面中, 一條直線相對(duì)于x軸的斜率這個(gè)概念的正確類比.那么, 正確的類比是什么呢?

定義1給定三維空間中的平面Λ, 它與xOy坐標(biāo)平面既不平行也不垂直.考慮Λ的位于xOy坐標(biāo)平面上方的半平面與xOy坐標(biāo)平面所成的角度大小為銳角的那個(gè)二面角.該二面角的角度大小記為θ；垂直于該二面角的棱, 位于該二面角的水平的面內(nèi)的射線記為l.則以tanθ為長度大小, 以射線l為方向的xOy坐標(biāo)平面內(nèi)的二維向量稱為平面Λ相對(duì)于xOy坐標(biāo)平面的斜率, 記為k.

注1 若平面Λ與xOy坐標(biāo)平面平行, 則Λ相對(duì)于xOy坐標(biāo)平面的斜率規(guī)定為xOy坐標(biāo)平面內(nèi)的二維零向量(注意零向量沒有方向); 若平面Λ與xOy坐標(biāo)平面垂直, 則Λ相對(duì)于xOy坐標(biāo)平面的斜率無定義.

任何一個(gè)不垂直于水平面的平面, 可以由它上面的一個(gè)點(diǎn), 及它的斜率向量, 這兩個(gè)要素來唯一確定.為了后面討論梯度的需要, 用解析幾何的語言來陳述這個(gè)事實(shí).

定理1給定空間中的一個(gè)平面Λ.則Λ具有方程

z=z0+a(x-x0)+b(y-y0)

(1)

的充要條件是

(i)點(diǎn)(x0,y0,z0)∈Λ；

(ii)Λ的斜率k的直角坐標(biāo)為(a,b).

下面的引理可用立體幾何知識(shí)證明, 這里從略.

引理給定三維空間中的平面Λ, 它與xOy坐標(biāo)平面既不平行也不垂直.則Λ的任一條法線在xOy坐標(biāo)平面的投影垂直于Λ與xOy坐標(biāo)平面的交線.

為方便起見, 向量k的直角坐標(biāo)為(a,b)這個(gè)事實(shí)簡(jiǎn)記為k=(a,b).

定理1的證明充分性 首先, 由條件(ii)知Λ有斜率向量, 于是由定義1及注1知Λ不垂直于xOy坐標(biāo)平面.

若k=(a,b)=(0,0), 則由注1知Λ平行于xOy坐標(biāo)平面, 再由條件(i)知Λ有方程z=z0, 從而結(jié)論成立.

若k=(a,b)≠(0,0), 則由定義1知Λ不平行于xOy坐標(biāo)平面.首先, 由定義1, 位于xOy坐標(biāo)平面內(nèi), 與k=(a,b)垂直的平面向量, 例如(-b,a), 平行于Λ與xOy坐標(biāo)平面的交線(定義1中所說的二面角的棱), 從而平行于平面Λ.平面向量(-b,a)置于三維空間中, 就是(-b,a,0).另一方面, 在定義1中, 射線l繞端點(diǎn)向上旋轉(zhuǎn)θ角得到的射線位于平面Λ內(nèi).由條件(ii), 這里θ滿足

(-b,a,0)×(a,b,a2+b2)=(a(a2+b2),b(a2+b2),-(a2+b2)).

即為平面Λ的一個(gè)法向量.由此及條件(i)寫出平面Λ的點(diǎn)法式方程, 整理即得方程(1).

必要性x=x0,y=y0,z=z0滿足方程(1), 因此(i)成立.若(a,b)=(0,0), 由方程(1),Λ平行于xOy坐標(biāo)平面, 從而由注1,(ii)成立.下設(shè)(a,b)≠(0,0).由方程(1),(-a,-b,1)是Λ平面的指向上方的一個(gè)法矢量.由立體幾何易知, 定義1中所說的二面角的角度θ等于Λ的指向上方的一個(gè)法矢量與z軸正方向矢量(0,0,1)的夾角.因此

(2)

又由引理1, 知Λ的指向下方一個(gè)法矢量, 如(a,b,-1), 在xOy坐標(biāo)平面內(nèi)的投影向量(a,b,0)與定義1中所說的射線l有相同的指向.因此按定義1, 斜率向量k與xOy坐標(biāo)平面內(nèi)的向量(a,b)有相同的方向.另一方面,(2)式說明k與向量(a,b)有相同的長度大小.因此k=(a,b).證畢.

注2 按照定義1和定理1, 當(dāng)把平面相對(duì)于xOy坐標(biāo)平面的斜率理解為向量時(shí), 就可以完全合理地稱方程(1)為平面的“點(diǎn)斜式”方程.

于是, 斜率向量k的坐標(biāo)為

因此由定理1的充分性, 平面Λ的方程為

3 與直線斜率的聯(lián)系

細(xì)心的讀者可能已經(jīng)注意到, 定義1中的二面角取的是xOy坐標(biāo)平面上方的兩個(gè)二面角中角度為銳角的那個(gè).而平面解析幾何中, 定義直線的斜率的那個(gè)角可以是鈍角的: 直線位于x坐標(biāo)軸上方的射線與x軸正半軸射線的夾角.現(xiàn)在來解釋這個(gè)不一致性.

若坐標(biāo)平面上的一條直線l的斜率為-3, 按通常的理解, 就是指l的位于x坐標(biāo)軸上方的射線(指向l的上升方向)與x軸正半軸射線的夾角為π-arctan|-3|, 它是鈍角.現(xiàn)在按照定義1的精神, 把斜率-3理解為一維實(shí)空間中的向量, 則它的長度大小為|-3|=3, 方向單位向量為-1, 也就是指向一維實(shí)空間x坐標(biāo)軸負(fù)方向的單位向量.這樣銳角arctan|-3|就是l的上升方向與x坐標(biāo)軸上的這個(gè)單位向量的夾角了.一句話, 按照把斜率理解為向量的精神, 直線的斜率應(yīng)理解為一維向量, 由于作為參考方向的一維單位向量可能是1, 也可能是-1, 因此, 平面上直線相對(duì)于的x坐標(biāo)軸的傾斜角也總可以理解為銳角.

由于一維實(shí)空間只有有限個(gè)(兩個(gè))單位向量, 所以人們很容易從一開始就不加思索地選擇固定的一個(gè)(x軸上的正向單位矢量)作參考來度量任意一條直線的傾斜程度.平面上有無窮多個(gè)單位矢量, 選擇一個(gè)以不變應(yīng)萬變的單位向量作參考, 來度量任意平面的傾斜程度, 直覺告訴我們, 這是行不通的.這大概是“平面的斜率”這么初等的思想, 到目前為止, 文獻(xiàn)中還沒有用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語言陳述過的心理學(xué)障礙吧.本文的工作表明, 把斜率理解為向量, 即使是直線的斜率也理解為向量(一維空間中的向量), 就能越過這個(gè)障礙.

4 梯度的幾何意義

定理2二元函數(shù)z=f(x,y)在(x0,y0)處可微.則z=f(x,y)在(x0,y0)處的梯度(f′x(x0,y0),f′y(x0,y0))等于z=f(x,y)的圖像在點(diǎn)(x0,y0,f(x0,y0))處的切平面相對(duì)于xy坐標(biāo)平面的斜率.

證由切平面的方程為

z=f(x0,y0)+f′x(x0,y0)(x-x0)+f′y(x0,y0)(y-y0),

定義1, 及定理1即得.證畢.

5 結(jié) 論

完整地描述空間中一個(gè)平面相對(duì)參考平面的傾斜度的數(shù)學(xué)概念是斜率向量.二元函數(shù)的梯度是切平面相對(duì)于水平面的斜率向量.

致謝感謝審稿人對(duì)本文的仔細(xì)閱讀和提出的修改意見.