有關乘積群線性表示的若干結(jié)果及其應用

陳 智， 肖多晨

(合肥工業(yè)大學 數(shù)學學院，合肥 230601)

1 引 言

研究乘積群一直是研究群的重要手段之一，并且乘積群的線性表示已經(jīng)成為進一步學習數(shù)學和其他諸多自然科學領域的知識的必備工具.這是因為一些乘積群的線性表示的結(jié)果已經(jīng)不僅僅出現(xiàn)在數(shù)學領域，它還在其它理科中有著廣泛的應用.目前，有限群表示的乘積理論已經(jīng)被人所熟知了，如文獻[2]與文獻[3]；但是無限群表示的張量積的相關結(jié)果的文章還很少.文中的證明加上一個自然的條件，就可以得到兩個無限群作直積后的不可約表示是兩個無限群的不可約表示的張量積.在此，感謝在論文寫作過程中汪永杰教授提出的寶貴意見.

2 主要定理

本文僅考慮群的復線性表示.

定理1[1]設G是有限群，它包含有限群G1和G2作為子群，G=G1×G2，且ρ1∶G1→GL(V1)和ρ2∶G2→GL(V2)分別是G1和G2的線性表示，若ρ1和ρ2都是不可約的，則ρ1?ρ2是G1×G2的不可約表示.

下面對這一定理進行推廣，當G=G1×G2，其中G,G1,G2均為可數(shù)無限群且V是可數(shù)無限維，再加上一個自然的條件，那么就能保證結(jié)論仍成立.

證先證充分性.若V?V1?V2，其中V1，V2分別為G1和G2的不可約表示，為了后面敘述方便令此同構(gòu)映射為τ.現(xiàn)在任取v2∈V2，則有V1?v2?V1?V2，即V1?v2是V1?V2的子表示.又因為τ∶V→V1?V2是同構(gòu)映射，故τ-1(V1?v2)就是V的一個子表示.

任取g1∈G1，由于

g1·(τ-1(V1?v2))=τ-1((g1·V1)?v2)=τ-1(V1?v2)，

{uj?ws|j∈J,s=1,2,3,…}；

作映射

φ∶V→W′?W，gj·wsuj?ws，

則φ是一個線性同構(gòu)映射，于是可以利用映射φ從G=G1×G2在V上的作用得到一個G=G1×G2在W′?W上的作用.

將上述G1在W上的作用記為ρ1，即ρ1∶G1→End(W)，此時上述作用可改寫為

下面介紹舒爾引理：

引理2(舒爾引理) 若F為代數(shù)閉域，V是群G的不可約F表示，f∶V→V是同態(tài)映射，則存在常數(shù)λ∈F，使得f=λ·idv.

此時要分兩種情況討論：

① 若k∈J，則λh·gk·w∈V；

② 若k?J，先定義：在I={i1,i2,i3,…,in,…}中，對于任意的is,it∈I，若is排在it的前面，則稱is

(*)

ψiα∶W→W，wwiα，

故ψiα是G1同態(tài)映射.由舒爾引理可知wiα=λiα·w，λiα為常數(shù).綜上，可得到

因此可類似定義G2在W?W′上作用

將上述G2在W′上的作用記為ρ2，即ρ2∶G2→End(W′)；此時G2在W?W′上作用可以寫成

故

因此ρ2是G2的一個表示.

于是得到了G1×G2在W?W′上的表示，記為ρ1?ρ2.

下證映射

φ∶V→W?W′，gj·ww?uj，

又因為φ顯然是既單又滿，因此φ是G模同構(gòu)映射，即V?W?W′.

此時容易看出，以下引理成立：

引理3設G是無限群，它包含可數(shù)無限群G1和G2作為子群，G=G1×G2，(ρ,V)是G的可數(shù)無限維不可約表示，且V?W?W′，其中(ρ1,W)是G1的表示，(ρ2,W′)是G2的表示.則ρ1、ρ2均為不可約表示.

根據(jù)上述引理可知，(ρ1,W)是G1的不可約表示，(ρ2,W′)是G2的不可約表示，又因為G=G1×G2，V?W′?W可得：ρ=ρ1?ρ2,必要性得證.故定理得證.

根據(jù)上述定理，還可以得到一個推論：

v1?V2?V1?V2，

即v1?V2是V1?V2的子表示.又τ∶V→V1?V2是同構(gòu)映射，故τ-1(v1?V2)就是V的一個子表示.任取g2∈G2，由于

g2·(τ-1(v1?V2))=τ-1(v1?(g2·V2))=τ-1(v1?V2)，

3 結(jié) 論

本文把有限群不可約表示張量積的定理通過加上一個自然條件推廣到了任意可數(shù)無限群和無限維表示情形.本證明依賴于列舉出一組表示的基，以及列舉出陪集，所以不適用于不可數(shù)無限群和不可數(shù)無限維表示情形.這些更復雜的情形可作為進一步考慮的問題.此外，與有限群相比關于無限群的表示結(jié)論較少，還沒有一套完整的理論.希望本文主要定理及推論有助于理解可數(shù)無限群表示這一前沿課題.

致謝作者非常感謝相關文獻對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.