四種半張量積及其代數(shù)關(guān)系

馮俊娥 李怡靚 趙建立

(1.山東大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，山東 濟南 250100； 2.聊城大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 聊城 252059)

0 引言

矩陣半張量積最早是由程代展研究員提出的一種新的矩陣乘積[1]，我們稱之為1-型矩陣半張量積.1-型矩陣半張量積克服了傳統(tǒng)矩陣乘積對維數(shù)的限制，因此，1-型矩陣半張量積在許多領(lǐng)域都有著重要的應(yīng)用，例如：邏輯網(wǎng)絡(luò)[2-4]，博弈論[5-7]，模糊系統(tǒng)[8-10]等，并且矩陣半張量積在工程中亦有重要的應(yīng)用[11].

本文我們將給出這四種矩陣乘積的定義，研究這四種矩陣乘積之間的代數(shù)關(guān)系，并將兩種矩陣與向量的半張量積形式上推廣到矩陣與矩陣的半張量積，這里我們稱之為3-型矩陣半張量積與4-型矩陣半張量積.容易驗證3-型矩陣半張量積與4-型矩陣半張量積不滿足矩陣乘法的結(jié)合律，但可以把它們看做是矩陣與一些列向量集合的乘積，并且3-型矩陣半張量積以及4-型矩陣半張量積與1-型矩陣半張量積和2-型矩陣半張量積也有一定代數(shù)關(guān)系，因此通過研究它們之間的關(guān)系，可以更深入地掌握幾種矩陣半張量積的代數(shù)性質(zhì).

本文將用到的一些記號：

(1)In：n維單位矩陣；

(2) 1m×n：元素全為1的m×n維列矩陣；

(3) 1n：元素全為1的n維列向量；

(4)Rowi(A)(Coli(A))：矩陣A的第i行(列)；

(5) 矩陣Am×n,Bp×q的Kronecker積定義為

1 矩陣半張量積及其推廣

首先引入1-型矩陣半張量積與2-型矩陣半張量積[12].

定義1給定矩陣Am×n,Bp×q,定義兩個矩陣的1-型矩陣半張量積與2-型矩陣半張量積分別為

其中l(wèi)=[n,p]表示兩個正整數(shù)n與p的最小公倍數(shù)，而?表示兩個矩陣的張量積(也稱Kronecker積)，Iw表示w維單位矩陣.

當(dāng)兩個矩陣Am×n,Bp×q的維數(shù)相容時，即n=p時，1-型矩陣半張量積與2-型矩陣半張量積皆為傳統(tǒng)的矩陣乘積，并且它們都滿足矩陣的結(jié)合律等性質(zhì)，具體可以參見文獻[12].

下面我們給出1-型MV半張量積與2-型MV半張量積[12].

定義2給定矩陣Am×n與向量xp，定義1-型MV半張量積與2-型MV半張量積分別為

其中1w表示w維各元素全為1的列向量.顯然，當(dāng)n=p時，1-型MV半張量積與2-型MV半張量積皆為傳統(tǒng)的矩陣與向量的乘積.

受定義2啟發(fā)，我們將1-型MV半張量積與2-型MV半張量積推廣到矩陣與矩陣相乘的情形，我們稱之為3-型矩陣半張量積與4-型矩陣半張量積.

定義3給定矩陣Am×n,Bp×q,定義兩個矩陣的3-型矩陣半張量積與4-型矩陣半張量積分別為

顯然當(dāng)矩陣B為列向量時，3-型矩陣半張量積與4-型矩陣半張量積即為1-型MV半張量積與2-型MV半張量積.上面的3-型矩陣半張量積與4-型矩陣半張量積是良定的，但它們并不滿足矩陣的結(jié)合律等性質(zhì).我們可以把3-型矩陣半張量積與4-型矩陣半張量積定義中的矩陣B看成是一些列向量的集合，此時定義3自然是定義2的一個推廣.不僅如此，定義3與定義1也有一定的代數(shù)關(guān)系，因此它的定義也有助于我們進一步地研究1-型矩陣半張量積與2-型矩陣半張量積的代數(shù)性質(zhì).

2 幾種矩陣半張量積的代數(shù)性質(zhì)

本節(jié)討論幾種矩陣半張量積的代數(shù)性質(zhì)，這里本文主要考慮三種情形：(1) 矩陣與向量的半張量積；(2) 矩陣與矩陣的半張量積；(3) 向量與向量的半張量積.

2.1 矩陣與向量的半張量積

首先討論矩陣與列向量的1-型MV半張量積與2-型MV半張量積和1-型矩陣半張量積之間的關(guān)系，我們有下面的定理.

定理1給定矩陣Am×n與列向量xp，且l=[n,p]，則有下面的結(jié)論成立

(1)

(2)

證明首先證明結(jié)論(1)，利用1-型MV矩陣半張量積的定義，直接計算可得

經(jīng)過簡單計算可得

由1-型矩陣半張量積的定義即得(1)式右邊.

下面證明結(jié)論(2)，利用2-型MV矩陣半張量積的定義得

上式經(jīng)過簡單計算可得

由1-型矩陣半張量積的定義即得(2)式的右邊.定理得證.

由定理1的結(jié)論直接可得1-型MV半張量積與2-型MV半張量積之間的代數(shù)關(guān)系.

推論1給定矩陣Am×n與向量xp，且l=[n,p]，則有

下面討論1-型矩陣半張量積與2-型矩陣半張量積作用于矩陣與列向量時的代數(shù)關(guān)系.

定理2給定矩陣Am×n與向量xp，且l=[n,p]，則有

證明利用2-型矩陣半張量積的定義，計算可得

經(jīng)過簡單計算，可由上式得

進一步，上式可化簡為

由1-型矩陣半張量積的定義即得定理2.定理證畢.

2.2 矩陣與矩陣的半張量積

本小節(jié)討論兩個矩陣的3-型矩陣半張量積與4-型矩陣半張量積和1-型矩陣半張量積與2-型矩陣半張量積之間的關(guān)系.

由3-型矩陣半張量積與4-型矩陣半張量積的定義以及定理1，直接有下面的結(jié)論.

定理3給定矩陣Am×n與Bp×q，且l=[n,p]，則有

(3)

(4)

由2-型矩陣半張量積的定義與定理3的結(jié)果可得1-型矩陣半張量積與2-型矩陣半張量積之間的代數(shù)關(guān)系.

定理4給定矩陣Am×n與Bp×q，且l=[n,p]，則有

(5)

證明由2-型矩陣半張量積的定義得

由定理3的(3)即得定理4結(jié)論.定理證畢.

2.3 向量與向量的半張量積

本小節(jié)討論兩個向量的1-型MV矩陣半張量積與2-型MV矩陣半張量積和1-型矩陣半張量積與2-型矩陣半張量積之間的關(guān)系.

首先討論兩個列向量的幾種矩陣半張量積之間的關(guān)系.

定理5給定列向量xn與yp，則有

(6)

(7)

證明(6)式由1-型MV矩陣半張量積，1-型矩陣半張量積以及張量積的定義直接可得.這里只證明(7)式，

定理證畢.

當(dāng)兩個向量為行向量時，我們有下面的結(jié)論.

定理6給定行向量xn與yp，則有

x×1y=y?x.

(8)

(9)

(10)

證明(8)式由1-型矩陣半張量積以及張量積的定義直接可得.這里只給出(9)式(10)式的證明.

(10) 由2-型矩陣半張量積定義，計算可得

定理證畢.

本文所討論的幾種矩陣半張量積都是左半張量積[1,12],相應(yīng)地，我們也可以定義幾種矩陣半張量積的右半張量積形式[12].對于矩陣的右半張量積也有類似的性質(zhì)，這里不再贅述.

3 結(jié)束語

本文分矩陣與矩陣，矩陣與向量，向量與向量三種情形，研究了幾種矩陣半張量積的代數(shù)關(guān)系.同時將1-型MV半張量積與2-型MV半張量積推廣到矩陣與矩陣的乘積情形，即3-型矩陣半張量積與4-型矩陣半張量積，本文得到的所有結(jié)論都可以推廣到矩陣的右半張量積的情形.