代數(shù)恒等變形在代數(shù)求值中的應(yīng)用

江西省臨川二中 (344100) 黃衛(wèi)民

數(shù)學(xué)解題就是一系列連續(xù)的化歸、變形與轉(zhuǎn)化，把未知的、陌生的轉(zhuǎn)化為已知的、熟悉的，把復(fù)雜的情形變形為簡單的情形．變形應(yīng)當(dāng)具備一定的目的性、方向性和針對性，往目標(biāo)進行有目的地變形，有利于形成有效的有序邏輯推理，本文以代數(shù)條件恒等式為例，談?wù)勅绾卧诖鷶?shù)恒等式變形里實施有序邏輯推理．

本題見文[1]的第52頁，原作者是用三角換元證明的，其實可以直接給出證明．

例2 已知a(y+z)=x,b(z+x)=y,c(x+y)=z，求證：∑ab+2abc=1．

本題見文[2]的第13頁，可用分離變元，消元等方法來證明．

本題是文[3]中第210頁的一道習(xí)題．

該問題常規(guī)的解題方法為三角換元法，見文，但本題還可通過代數(shù)恒等變形來處理．

點評：本題的證明利用了題設(shè)條件和證明目標(biāo)均為輪換對稱式，將同種類型的代數(shù)式結(jié)合在一起，構(gòu)成新的輪換對稱式，通過合理的變形，達到快速解題的目的．

例5 已知a2+b2=1，c2+d2=1，ac+bd=0，求證：a2+c2=1，b2+d2=1，ab+cd=0．

本題為一道經(jīng)典的代數(shù)恒等變形求值題，出自文的第175頁．

證明：由于a2+b2=1，c2+d2=1，ac+bd=0，則0=(a2+b2-1)2+(c2+d2-1)2+2(ac+bd)2=(a4+b4+1+2a2b2-2a2-2b2)+(c4+d4+1+2c2d2-2c2-2d2)+2(a2c2+b2d2+2abcd)=(a4+c4+1+2a2c2-2a2-2c2)+(b4+d4+1+2b2d2-2b2-2d2)+2(a2b2+c2d2+2abcd)=(a2+c2-1)2+(b2+d2-1)2+2(ab+cd)2因此a2+c2=1，b2+d2=1，ab+cd=0．

點評：本證明是從條件出發(fā)，構(gòu)造非負(fù)關(guān)系式，再通過配方的技巧，構(gòu)造新的非負(fù)關(guān)系式，對問題進行例整體處理，體現(xiàn)了從分到合、再到分的數(shù)學(xué)思想方法．

解題的過程就是對數(shù)學(xué)關(guān)系式實施變形和轉(zhuǎn)化的過程．對參變元的消元，可以起到減少變元的作用，達到“化多為少”、“化復(fù)為簡”的效果．解題的目標(biāo)意識，減少和消除差異，消元變更，對輪換對稱式進行合理地拆分和合并都是實現(xiàn)代數(shù)恒等變形的有效邏輯．