幾何畫板視角下一道中考數(shù)學(xué)試題的變式探究*

內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 (641100) 張森祥 余小芬

幾何畫板作為一個(gè)適用于幾何教學(xué)和學(xué)習(xí)的工作軟件平臺(tái)，可通過繪圖、度量、變換等基本功能完成對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)圖形的繪制、動(dòng)態(tài)問題的探究，不僅能有效輔助教師課堂教學(xué)，也幫助學(xué)生更直觀、深刻地理解圖形或問題.同時(shí)，利用幾何畫板實(shí)驗(yàn)探究功能對(duì)數(shù)學(xué)問題展開變式拓展，可衍生出系列關(guān)聯(lián)問題，以此為學(xué)生提供探究性的學(xué)習(xí)環(huán)境，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解能力和創(chuàng)新意識(shí).本文以2019年四川省南充市中考數(shù)學(xué)第25題為例，運(yùn)用幾何畫板展開變式探究.

一、原題呈現(xiàn)

試題(2019年南充市中考數(shù)學(xué)25題)如圖1，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(-1,0)，點(diǎn)B(-3,0)，且OB=OC．

圖1

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)P在拋物線上，且∠POB=∠ACB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)拋物線上兩點(diǎn)M、N，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為m+4．點(diǎn)D是拋物線上M、N之間的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作y軸的平行線交MN于點(diǎn)E.①求DE的最大值；②點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)E的對(duì)稱點(diǎn)為F，當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形MDNF為矩形．

二、對(duì)問題(2)的變式

問題(2)是拋物線動(dòng)點(diǎn)問題.解決的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形，利用對(duì)邊成比例求解動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo).考查勾股定理、三角形面積、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，涉及等面積法、坐標(biāo)法等基本方法，滲透化歸轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想.

變式1 點(diǎn)P在拋物線上，且∠PAB=2∠ACB，求點(diǎn)P坐標(biāo).

圖2

三、對(duì)問題(3)①的變式

變式2 將條件(3)中點(diǎn)N橫坐標(biāo)改變?yōu)閙+3，其余條件不變，求DE的最大值.由此你能猜想出當(dāng)N點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)閙+a(a≠0)時(shí)，DE的最大值嗎？

根據(jù)以上幾何畫板的探究，不難得到當(dāng)DE為最大值時(shí)，不論點(diǎn)M在拋物線上如何變化，ΔMDN的面積為一定值，故而考慮利用面積定值求解線段長(zhǎng)度的動(dòng)態(tài)問題，得到變式3.

變式3 在(3)條件基礎(chǔ)上，過點(diǎn)E作EG垂直于DM于點(diǎn)G，試求點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過程中EG長(zhǎng)度的最大值.

當(dāng)然，除了求線段EG的最大值，同理可設(shè)置問題求點(diǎn)N到線段MD的最大值.同時(shí)，利用幾何畫板作出DM、DN兩邊的高，拖動(dòng)點(diǎn)M可發(fā)現(xiàn)所作兩高與DE存在相交于一點(diǎn)的情形，并且此時(shí)FG與MN相互平行，故又可利用等腰三角形性質(zhì)、三角形高交于一點(diǎn)等知識(shí)得到如下變式4.

變式4 在(3)條件基礎(chǔ)上，過點(diǎn)N作NF垂直于MD于點(diǎn)F，過點(diǎn)M做MG垂直于DN于點(diǎn)G，當(dāng)NF、MG與DE相交于一點(diǎn)，試判斷FG與MN的位置關(guān)系并求FG.

四、對(duì)問題(3)②的變式

問題(3)②以矩形的性質(zhì)為知識(shí)載體，考查動(dòng)點(diǎn)問題的求解.事實(shí)上，平面上四點(diǎn)要構(gòu)成矩形也即是四點(diǎn)共圓.于是考慮引入圓，利用圓中相關(guān)知識(shí)產(chǎn)生變式.

在(3)②條件基礎(chǔ)上，通過利用幾何畫板構(gòu)造出以點(diǎn)E為圓心，MN為直徑的圓(如圖3)，可以發(fā)現(xiàn)，圖中存在多對(duì)相等角及三角形相似情形.由此，利用圓周角定理等知識(shí)，可得到如下變式.

圖3

變式5 如圖4，在(3)條件基礎(chǔ)上，以點(diǎn)E為圓心，MN為直徑作圓，圓E與y軸交于點(diǎn)Q，當(dāng)m為何值時(shí)，∠DMN=∠DQN.

圖4

在變式5中，若記DQ與MN交于點(diǎn)S，易觀察得到ΔMDS與ΔNQS相似，進(jìn)而得到如下變式6.

圖5

上述探究中，若改變圓心位置，又能產(chǎn)生哪些新的變式呢？為此，以點(diǎn)M為圓心，ME為半徑構(gòu)造圓，并過點(diǎn)D作該圓的切線DS，通過拖動(dòng)點(diǎn)M位置發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過程中存在如圖6所示的特殊位置，則可根據(jù)切線長(zhǎng)定理，得到如下變式7.

圖6

本文利用幾何畫板對(duì)原試題展開了圖形重構(gòu)、問題探究，得到了幾個(gè)問題變式，幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)觀察、猜想的意識(shí)，增強(qiáng)問題分析、解決的能力，提升直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)科素養(yǎng).