具有粗糙核的雙線性Hardy算子交換子在λ－中心Morrey空間中的有界性

徐琪,喻曉,馬江山*

(1.東華理工大學(xué) 理學(xué)院,江西 南昌 330013;2.上饒師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,江西 上饒 334001)

1 引言及主要結(jié)論

設(shè)f是R＋上的非負(fù)局部可積函數(shù),則Hardy算子H定義為:

顯而易見(jiàn),Hf(x)≤Mf(x),其中Mf(x)是Hardy－Littlewood極大函數(shù),其定義如下:

這里的I為包含x的任意方體。

對(duì)Hardy算子H而言,我們有如下著名的積分不等式[1]:

其中1＜p＜∞,且常數(shù)是(1)式右端的最佳常數(shù)。

令f是Rn上非負(fù)局部可積函數(shù),則高維Hardy算子定義為:

對(duì)任意的λ≠0,若函數(shù)Ωx()滿足Ωλ(x)＝Ωx(),則稱(chēng)Ωx()為零次齊次函數(shù)。假設(shè)Sn－1為Rn上的單位球面,當(dāng)時(shí),具有粗糙核的高維Hardy算子定義如下:

Hardy型算子在函數(shù)空間中的有界性引起了數(shù)學(xué)工作者的極大興趣,介紹此類(lèi)算子在函數(shù)空間中的有界性之前,我們引入下列幾類(lèi)重要的函數(shù)空間。

并且他們證明了此算子在λ－中心Morrey空間中的有界性。

雙線性Hardy算子及具有粗糙核的Hardy算子交換子都引起了數(shù)學(xué)工作者的極大重視,受上述文獻(xiàn)啟發(fā),本文將討論如下具有粗糙核的雙線性Hardy算子交換子,其定義為:

其中:

本文主要結(jié)論如下:

注記1.2 本文主要結(jié)論推廣了文獻(xiàn)[7－9]中的相關(guān)對(duì)應(yīng)結(jié)果。

2 主要結(jié)果的證明

接下來(lái)分別估計(jì)Ⅰ和Ⅱ。

對(duì)于Ⅰ,令Ck＝{x|2k－1≤|x|＜2k}(k∈Z),可對(duì)Ⅰ做如下分解:

對(duì)于Ⅰ′,我們有:

因?yàn)?

所以有:

接下來(lái)對(duì)Ⅱ進(jìn)行估計(jì),有:

類(lèi)似于(9),有:

至此,利用Ⅰ和Ⅱ的估計(jì)結(jié)果以及定理1.1的條件,我們有:

再依據(jù)λ－中心Morrey空間的定義,可得(3)式。最終定理1.1得證。