例談指數(shù)、對數(shù)比較大小問題的處理策略

杜成珍

摘要：比較大小問題是每年高考必考內(nèi)容之一，指數(shù)和對數(shù)的比大小問題是比較大小問題中的一個熱點問題。這類問題題號靠后，難度較大，對思維能力要求高，成為了近幾年高考的一些拉檔題。筆者通過整理近幾年高考試題及模擬試題淺析指數(shù)、對數(shù)比較大小問題的解題策略，與大家共同交流。

關(guān)鍵詞：指數(shù);對數(shù);比較大小

中圖分類號：G4 文獻標識碼：A

本文就指數(shù)與對數(shù)的大小比較提出以下幾種方法，下面就一些常見題型及其解法作如下分析。

一、純指數(shù)式比較大小

1.設(shè)，試比較的大小關(guān)系.

分析：與可為同底數(shù)的指數(shù)形式，可利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較，易得，對于發(fā)現(xiàn)與指數(shù)相同，進而形成兩種比較思維：①.利用冪函數(shù)的單調(diào)遞增可得：利用不同底的指數(shù)函數(shù)底數(shù)變化規(guī)律，利用與的圖像與直線的交點高低進行大小比較可得：，進而得到：

已知，則的大小關(guān)系是：

分析：與為同底數(shù)的指數(shù)形式，可利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較，易得，與不同底不同指，可采用中間量1，易得進而得到：

總結(jié)：指數(shù)式大小比較方法

①單調(diào)性法;②中間量法;③分類討論法。

二、純對數(shù)式比較大小

1.設(shè)，，，試比較的大小.

分析：與底數(shù)可利用化為同底數(shù)，則，，故，又，故，即.這種辦法可稱為同步升（降）次法.

2.（2013新課標）設(shè)，試比較的大小

分析：對于均可以去掉常數(shù)，，，

，可利用對數(shù)底數(shù)變化規(guī)律，對同真數(shù)的對數(shù)比較大小，易得，這種辦法可稱為去常數(shù)化比較大小.

三、指數(shù)、對數(shù)混合比較大小

1.（2014安徽）設(shè)，，，則（ ? ）

A. B.

C. D.

分析：因為，，，所以，選B

2.（2012天津）已知，，，則的大小關(guān)系為（ ? ）

A. B.

C. D.

分析：因為，所以，，所以，選A.

四、附帶條件的比較大小問題

1.（2020全國Ⅲ理12）已知.設(shè)，則 （ ? ）

A. B.

C. D.

分析：由題意可知，

則則，對于繼續(xù)考慮用基本不等式，發(fā)現(xiàn)不等式傳遞方向不符合，也是命題人設(shè)計的數(shù)據(jù)難點，因此考慮指數(shù)與對數(shù)轉(zhuǎn)化，進而使用題目中給出的已知的大小關(guān)系，

路線一：對數(shù)化指數(shù)比較大小，由得，由得，即;由，得，由，得，，可得綜上所述，.故選A.

路線二：指數(shù)化對數(shù)比較大小，由兩邊取以8為底的對數(shù)得即

，由 ?兩邊取以為底的對數(shù)得即

2.（2017·全國Ⅰ）設(shè)、、為正數(shù)，且，則（ ? ?）

A. B.

C. D.

分析：（1）設(shè)，因為為正數(shù)，所以，則，，，考慮作商法，則，通過換底公式則，排除A、B;則只需比較與，，則，選D.

因為、、為正數(shù)，則若令，則，取對數(shù)可得，，，所以，，，因為，所以只需要比較的大小，在這里引入一個經(jīng)典的函數(shù)，求導(dǎo)易得在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，所以，進而，即.

以上，就是關(guān)于指數(shù)，對數(shù)比較大小的方面的一些方法，不足之處還請讀者指正。