基于MATLAB軟件的周期符號(hào)糾纏函數(shù)構(gòu)造的新混沌系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析

羅宏偉++張建剛++杜文舉++安新磊++盧加榮

摘要：使用周期符號(hào)函數(shù)對(duì)兩個(gè)穩(wěn)定的子系統(tǒng)進(jìn)行糾纏，構(gòu)造了一個(gè)新三維混沌控制系統(tǒng)，理論分析了新三維控制系統(tǒng)的耗散性、有界性、平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和Hopf分岔的條件，通過計(jì)算得到了系統(tǒng)在平衡點(diǎn)的第一Lyapunov指數(shù)，進(jìn)一步分析了分岔的方向和穩(wěn)定性。通過MATLAB軟件，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值模擬，驗(yàn)證了理論分析的正確性。

關(guān)鍵詞：糾纏函數(shù)；混沌；Hopf分岔；平衡點(diǎn)；Lyapunov 指數(shù)

中圖分類號(hào)：O415.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1007-9416（2017）03-0054-04

混沌現(xiàn)象的特征即蝴蝶效應(yīng)，具有對(duì)初值敏感而表現(xiàn)出的不可預(yù)測的、類似隨機(jī)性的運(yùn)動(dòng)。自Lorenz [1]在三維自治系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)混沌吸引子以來，在過去數(shù)十年中，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和進(jìn)步，混沌理論得到了空前發(fā)展，尤其在數(shù)學(xué)、物理及其工程實(shí)際應(yīng)用中得到極大發(fā)展，關(guān)于混沌的構(gòu)造和分析方法已經(jīng)成為最新的研究熱點(diǎn)問題[2，4，5，6]。文獻(xiàn) [7]通過構(gòu)造了一個(gè)新的混沌，文獻(xiàn)[8，9，10]利用分段技術(shù)，發(fā)現(xiàn)了一些新的混沌吸引子的存在，文獻(xiàn)[11]首次提出糾纏函數(shù)的基本概念，并給出構(gòu)造混沌的基本原理，即使用糾纏函數(shù)通過對(duì)兩個(gè)或更多的線性穩(wěn)定子系統(tǒng)進(jìn)行糾纏，可產(chǎn)生混沌系統(tǒng)。構(gòu)造人工混沌在解決噪聲污染，提高天氣預(yù)測的準(zhǔn)確度，保持非線性機(jī)械系統(tǒng)穩(wěn)定性等方面有重要意義。

本文使用周期符號(hào)函數(shù)作為糾纏函數(shù)，對(duì)兩個(gè)線性子系統(tǒng)進(jìn)行糾纏，構(gòu)造出了一個(gè)新的三維混沌系統(tǒng)，通過對(duì)系統(tǒng)的耗散性、有界性、平衡點(diǎn)穩(wěn)定性、Hopf分岔和Lyapunov指數(shù)等動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了分析，最后通過數(shù)值模擬驗(yàn)證理論的結(jié)果。

1 系統(tǒng)描述

考慮兩個(gè)線性子系統(tǒng)，其中一個(gè)是二維系統(tǒng)

另一個(gè)是一維系統(tǒng)

其中是狀態(tài)變量，當(dāng)和，系統(tǒng)（1）和（2）是穩(wěn)定的，用周期符號(hào)函數(shù)糾纏以上兩個(gè)子系統(tǒng)，可得如下三維控制系統(tǒng)：

3 數(shù)值仿真

根據(jù)引理1和定理2，當(dāng)，，和時(shí)，平衡點(diǎn)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

系統(tǒng)（3）的Lyapunov 指數(shù)可以通過文獻(xiàn)[15]提供的方法計(jì)算得到，其中Lyapunov 指數(shù)，and如圖1所示，時(shí)間序列、頻譜和Poincaré 截面圖分別如圖1所示。當(dāng)和，出現(xiàn)混沌糾纏現(xiàn)象，其三維相圖，和二維相圖分別如圖2所示。 當(dāng)參數(shù)和值不變，作為變量時(shí)，系統(tǒng)（3）的動(dòng)力行為如圖3所示。

4 結(jié)語

本文將一個(gè)周期符號(hào)函數(shù)作為糾纏函數(shù)，利用混沌糾纏的基本原理，對(duì)兩個(gè)穩(wěn)定子系統(tǒng)進(jìn)行糾纏，人工構(gòu)造出一個(gè)新三維控制系統(tǒng)，根據(jù)混沌系統(tǒng)的分析方法，對(duì)新三維控制系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了理論分析，結(jié)果發(fā)現(xiàn)新構(gòu)造的系統(tǒng)具有混沌的特征，并使用MATLAB軟件進(jìn)行了數(shù)值模擬，驗(yàn)證了理論分析的結(jié)果。該方法為我們解決工程中混沌問題提出來新的思路。

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