子群u-覆蓋遠離性對群結(jié)構(gòu)的影響

陳 秀, 劉 威, 陳 龍, 繆 龍

(揚州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 江蘇 揚州 225002)

利用子群的正規(guī)性刻畫群結(jié)構(gòu)是有限群理論中的重要課題之一, 其中關(guān)于冪零群有兩個經(jīng)典結(jié)果: 1) 有限群G是冪零群當(dāng)且僅當(dāng)G的任意極大子群正規(guī)[1]; 2) 若有限群G的任意2-極大子群正規(guī), 則G超可解[2]．進一步地, 當(dāng)|G|的素因子個數(shù)大于等于3時,G冪零．圍繞子群的正規(guī)性, 許多學(xué)者對其進行了多角度的推廣, 其中子群的覆蓋遠離性(簡稱CAP-性質(zhì))就是對正規(guī)性有意義的推廣．稱A為有限群G的CAP-子群, 若G的任一主因子H/K滿足HA=KA或K∩A=H∩A．該性質(zhì)首次被Gaschütz[3]研究可解群時提出, 之后, 許多群論學(xué)者對其進行了研究, 并得到了許多結(jié)果,具體見文獻[4-8]．Guo等[9]應(yīng)用極大子群以及2-極大子群的覆蓋遠離性, 給出了有限群為可解群的一些特征．眾所周知, 超可解群介于冪零群與可解群之間．本文擬在超可解群中引入u-覆蓋遠離性質(zhì)(簡稱CAPu性質(zhì)), 并應(yīng)用這一性質(zhì)用類似刻畫可解群的方法有效地刻畫p-超可解群以及超可解群．

1 預(yù)備知識

定義1設(shè)G為群,A≤G．令H/K為G-主因子, 則

i) 若HA=KA,K∩A<·H∩A, 則稱Au-覆蓋H/K;

ii) 若K∩A=H∩A, 則稱A遠離H/K;

iii) 若Au-覆蓋或遠離群G的任一主因子, 則稱A為群G的CAPu-子群．

首先通過一些例題進一步說明正規(guī)性、CAP-性質(zhì)以及CAPu-性質(zhì)之間的關(guān)系．由定義1不難看出, CAPu-子群是CAP-子群, 但反之不一定成立．例如: 設(shè)G是四次對稱群S4．顯然,G的主群列為1

另一方面, 由H=K4是S4的正規(guī)子群知, 正規(guī)子群不一定是CAPu-子群, 同樣CAPu-子群也不一定是正規(guī)子群．例如: 設(shè)G是三次對稱群S3．顯然G的主群列為1

定義2[10]如果群具有一個不含非平凡塊的忠實傳遞置換表示,那么稱為本原群．

定義3[11]若H是群G的某個極大子群M的極大子群, 則H為G的2-極大子群．

引理1(戴德金恒等式)[1]設(shè)A、B、C是G的子群, 若A≤C, 則AB∩C=A(B∩C)．

引理2[4]若p是素數(shù),則群G是p-超可解的當(dāng)且僅當(dāng)G的任意Sylowp-子群是G的CAPu-子群．

推論1[4]群G是超可解的當(dāng)且僅當(dāng)G的任意Sylow子群是G的CAPu-子群．

然而,CAPu-子群不滿足引理3中的性質(zhì)．例如:設(shè)G是四次對稱群S4．顯然G的主群列為1,則LH=A4,通過計算可得,L遠離K4/1,Lu覆蓋A4/K4,L遠離S4/A4, 故L是G的CAPu-子群;A4覆蓋但不u-覆蓋K4/1,A4u覆蓋A4/K4,A4遠離S4/A4, 故A4不是G的CAPu-子群．注意到LH/H是G/H的Sylow 3-子群, 由引理2知,LH/H是G/H的CAPu-子群．

證明 設(shè)(A/N)/(B/N)是G/N-主因子, 則A/B是G-主因子, 根據(jù)L是G的CAPu-子群可知①LA=LB,L∩B<·L∩A或②L∩B=L∩A成立．

由戴德金恒等式, 得(LN/N)∩(A/N)=(LN∩A)/N=(L∩A)N/N．由同構(gòu)定理, 得(L∩A)N/N?(L∩A)/N∩(L∩A)=(L∩A)/(L∩N), 故(LN/N)∩(A/N)?(L∩A)/(L∩N)．

若①成立, 則(LN/N)(A/N)=(LN/N)(B/N)．又(LN/N)∩(A/N)?(L∩A)/(L∩N),(LN/N)∩(B/N)?(L∩B)/(L∩N),故(LN/N)∩(B/N)<·(LN/N)∩(A/N)．

若②成立, 則(L∩B)N/N=(L∩A)N/N, 故(LN/N)∩(A/N)=(LN/N)∩(B/N)．

綜上可知,LN/N是G/N的CAPu-子群．

引理5[9]有限群G是可解的當(dāng)且僅當(dāng)G存在可解的2-極大子群L,且L是CAP-子群．

引理6[9]有限群G是可解的當(dāng)且僅當(dāng)G的任意極大子群M是G的CAP-子群．

引理7[9]有限群G是可解的當(dāng)且僅當(dāng)G的任意2-極大子群是G的CAP-子群．

引理8[9]有限群G是可解的當(dāng)且僅當(dāng)G存在可解的極大子群M, 且M是G的CAP-子群．

引理9[10]若G是本原群,U是G的無核極大子群, 則下列表述之一成立:

i) Soc(G)表示S是G的自中心化交換的極小正規(guī)子群, 滿足G=US且U∩S=1;

ii) Soc(G)表示S是G的非交換的極小正規(guī)子群, 滿足G=US, 有CG(S)=1;

iii) Soc(G)=A×B,A和B是G的2個唯一極小正規(guī)子群, 滿足G=AU=BU且A∩U=B∩U=A∩B=1, 則A=CG(B),B=CG(A),且A、B和AB∩U是非交換的同構(gòu)群．

引理10(Huppert定理)[11]群G是超可解的當(dāng)且僅當(dāng)G的任意極大子群的指數(shù)為素數(shù)．

引理11設(shè)H是群G的2-極大子群．若H=1,則|G|=p2或pq．

證明 設(shè)H<·M<·G,因為H=1,故|M|=p．若π(G)=1,則|G|=p2;若π(G)>1,則任意q∈π(G),|Gq|=q(若否,存在q∈π(G),使得|Gq|≥q2, 從而, 存在M1<·G滿足Gq≤M1<·G,矛盾)．進而,π(G)=2,若否, 則由階無素因數(shù)平方的群超可解知G可解, 故存在Hallq′-子群H, 滿足H≤M2, 其中M2<·G, 這與G的任意2-極大子群為1矛盾,故得|G|=pq．

2 主要成果

定理1群G是超可解的當(dāng)且僅當(dāng)G的任意極大子群M是G的CAPu-子群．

證明 ?:設(shè)A/B是G-主因子．由G超可解可知,A/B是素數(shù)階循環(huán)群, 不妨設(shè)|A/B|=p(p為素數(shù)), 則僅須證明: i)AM=BM,B∩M<·A∩M或ii)B∩M=A∩M成立．以下分B≤M和B≤/M兩種情況分別討論．

情形2B≤/M．必然有A≤/M, 則G=AM=BM, |A∩M∶B∩M|=|A∶B|=p, 故B∩M<·A∩M．

綜上可知,M是G的CAPu-子群．

?: 假設(shè)結(jié)論不真且設(shè)G是極小階反例．由引理6可知G可解．

ii) 最后的矛盾．?dāng)嘌驭?G)=1, 若否, 則L≤Φ(G)．由i) 知G/L超可解, 從而G超可解, 矛盾．此時存在G的極大子群M2, 使得L≤/M2, 進而G=LM2．又L唯一, 故(M2)G=1, 由定義2知G為本原群, 由G可解及引理9知L∩M2=1, 故對于M2的任意極大子群H, 都有L∩H=1．由同構(gòu)定理知HL/L?H/H∩L<·M2/H∩L=M2/M2∩L=M2L/L?G/L, 故HL<·G, 進而HL是G的CAPu-子群, 從而有①HLL=HL,HL∩1<·HL∩L或②HL∩L=HL∩1=1成立．若②成立, 則與L的極小性矛盾; 若① 成立, 則1<·L, 從而L是素數(shù)階循環(huán)群, 又G/L超可解, 故G超可解,矛盾．

Guo等[9]證明了G可解當(dāng)且僅當(dāng)G存在可解的極大子群M, 且M是G的CAP-子群, 自然可猜想: 若G存在超可解的極大子群M, 且M是G的CAPu-子群, 能否得到G超可解? 若G為四次對稱群S4, 則取S4的極大子群S3, 顯然S3超可解, 且S3為S4的CAPu-子群, 但S4非超可解, 故上述猜想不成立．

定理2設(shè)G是群,P∈Sylp(G)．若G存在p-超可解的極大子群M, 滿足P≤M且M是G的CAPu-子群,則G是p-超可解的．

證明 假設(shè)結(jié)論不真且設(shè)G是極小階反例, 以下分MG≠1和MG=1兩種情況進行討論:

情形2MG=1．由定義2知G為本原群, 由引理9知G=LM, 則G/L=ML/L?M/M∩L．又M是G的CAPu-子群, 故①ML=M,M∩1<·M∩L或②M∩L=M∩1成立．顯然,①不成立．由②得M∩L=1．由P≤M, 知P∩L=M∩L=1, 故Lp=1, 即L為p′-群．又Mp-超可解, 故G/Lp-超可解, 從而Gp-超可解．

注由引理3中例證可知P≤M不可省略．事實上, Syl2(S4)≤/S3且S3為2-超可解群, 但S4非2-超可解．

推論2群G是超可解的當(dāng)且僅當(dāng)G存在超可解的極大子群M, 滿足|G∶M|為素數(shù)且M是G的CAPu-子群．

證明 由引理10可知, 對于G的任意極大子群M有|G∶M|為素數(shù)．再由定理1可知,M是G的CAPu-子群．

假設(shè)結(jié)論不真且設(shè)G是極小階反例．由引理8知G可解, 不妨設(shè)|G∶M|=p,p為素數(shù)．以下分MG≠1和MG=1兩種情況進行討論:

綜上可知G超可解．

定理3群G是超可解的當(dāng)且僅當(dāng)G的任意2-極大子群H是G的CAPu-子群．

證明 ?: 由G超可解知, 任意G-主因子A/B均有|A/B|=p, 其中p為素數(shù)．由戴德金恒等式知A∩HB=(A∩H)B, 再由B在A中的極大性知A∩HB=(A∩H)B=B或A．若A∩HB=(A∩H)B=B, 則A∩H≤B, 進而A∩H=B∩H;若A∩HB=A,則A≤BH, 進而AH=BH, 故|A∩H∶B∩H|=|A∶B|=p, 即得B∩H<·A∩H．綜上可知,G的2-極大子群H是G的CAPu-子群．

?: 假設(shè)結(jié)論不真并設(shè)G是極小階反例．顯然,G存在非平凡的2-極大子群．若否, 則由引理11可知G超可解, 矛盾．由引理7知G可解．

ii) 最后的矛盾．若Φ(G)≠1, 則G/Φ(G)超可解, 由超可解群系為飽和群系知G超可解, 矛盾．因此只須考慮Φ(G)=1的情形, 即存在M<·G, 使得L≤/M, 由M的極大性知G=LM．由L的唯一性知(M)G=1, 且由定義2知G為本原群．由G可解以及引理9可知L∩M=1, 故G/L=LM/L?M/L∩M=M, 而G/L超可解, 知M超可解．設(shè)M1≤G,M2≤G, 且滿足M2<·M1<·M<·G．由G/L=LM/L?M/L∩M,LM1/L?M1/L∩M1以及L∩M1=L∩M=1,得G/L?M/L∩M1．因M1<·M, 故M1/L∩M1<·M/L∩M1, 由此可知LM1/L<·G/L, 進而LM1<·G．同理LM2<·LM1, 得LM2<·LM1<·LM=G．由已知條件LM2是G的CAPu-子群, 得①LM2L=LM2,LM2∩1<·LM2∩L或②LM2∩1=LM2∩L成立．若① 成立, 則1<·L, 得L是素數(shù)階循環(huán)群, 因G/L超可解, 故G超可解, 矛盾; 若② 成立, 則L=1,矛盾．