Moore-Penrose逆、群逆的穩(wěn)定擾動和表示

周娟娟, 朱蘭萍, 黃強聯

(揚州大學數學科學學院, 江蘇 揚州 225002)

一些重要的廣義逆, 如Moore-Penrose逆[1-2]、群逆[3-4]以及核逆[5]等的擾動分析在計算、控制理論、最優(yōu)化和非線性分析等諸多領域有著廣泛的應用．Nashed等首先研究了廣義逆的擾動[1]和廣義逆擾動的穩(wěn)定條件[6]; Ding[7]給出了Moore-Penrose逆具有最簡表示的充要條件; Huang等[5]討論了核逆具有最簡表示的充要條件．本文擬利用正則分解研究Banach空間中有界線性算子的Moore-Penrose逆和群逆的穩(wěn)定擾動問題, 給出穩(wěn)定擾動下Moore-Penrose逆和群逆的表示, 探討擾動后算子Moore-Penrose逆和群逆具有最簡表達式的充分必要條件以及穩(wěn)定擾動與連續(xù)擾動的等價性．

1 預備知識

設X,Y為Banach空間,B(X,Y)表示所有從X到Y中有界線性算子組成的Banach空間, 記為B(X)．對算子T∈B(X,Y),R(T)和N(T)分別表示T的值域和核空間,I表示恒等算子, ?表示拓撲直和．

若算子S∈B(Y,X)滿足TST=T及STS=S, 則稱S為T的廣義逆, 記為T+．若T+為T的廣義逆, 則TT+和T+T均為冪等算子且滿足R(TT+)=R(T),N(TT+)=N(T+),R(T+T)=R(T+),N(T+T)=N(T),X=N(T)?R(T+),Y=N(T+)?R(T)．反之, 若X和Y分別存在拓撲直和分解:X=N(T)?M,Y=R(T)?N, 則T存在廣義逆T+∈B(Y,X)且N(T+)=N,R(T+)=M．

定義1設X,Y為Banach空間,T∈B(X,Y)．

1) 若T為單射, 即N(T)={0}, 且Y存在閉子空間N使得Y=R(T)?N, 則稱T為浸入;

2) 若T為滿射, 即R(T)=Y, 且X存在閉子空間M使得X=N(T)?M, 則稱T為浸沒．

若存在Banach空間P, 浸沒S:X→P和浸入J:P→Y使得T=JS, 則稱T存在正則分解T=JS．算子正則分解是矩陣論中滿秩分解的推廣, 并與廣義逆是一一對應的．

引理2[5]設X,Y為Banach空間,T∈B(X,Y)．

1) 若T存在正則分解T=JS, 則T存在廣義逆T+=S+J+:Y→X, 且J+J=SS+=IP, 其中J+為浸沒且為J的左逆,S+為浸入且為S的右逆．

2) 若T存在廣義逆T+∈B(Y,X), 則T存在正則分解T=JS．

定義3設X,Y為Hilbert空間,T∈B(X,Y)．若S∈B(Y,X)滿足下列方程:

(1)TST=T; (2)STS=S; (3) (TS)*=TS; (4) (ST)*=ST,

其中T*表示T的共軛算子, 則稱S為T的Moore-Penrose逆, 一般記為T?．

定義4設X為Hilbert空間,T∈B(X)．若S∈B(X)滿足方程:

(1)TST=T; (2)STS=S; (5)TS=ST,

則稱S為T的群逆, 記為T#．

穩(wěn)定擾動是保秩擾動的推廣, 并且廣泛應用于廣義逆的擾動理論[8-11]．下面給出廣義逆穩(wěn)定擾動定理, 它在證明本文主要定理時起著至關重要的作用．

2 主要結果

下面運用正則分解給出算子在穩(wěn)定擾動下Moore-Penrose逆和群逆的表達式．首先考慮算子在穩(wěn)定擾動下Moore-Penrose逆的表達式．

下面討論擾動后算子的Moore-Penrose逆具有最簡表達式的情形．

注9推論8改進了文獻[7]中定理3.1的證明, 此處用正則分解的方法簡化了證明．

下述定理說明對于Moore-Penrose逆, 穩(wěn)定擾動與連續(xù)擾動是等價的．

定理10設X,Y為Hilbert空間,T∈B(X,Y)存在Moore-Penrose逆T?∈B(Y,X)．若Tn∈B(X,Y)且Tn→T, 則下列命題等價:

1) 當n充分大時,Tn為T的穩(wěn)定擾動;

類似于定理10中(2)?(1)的證明,可得到下列定理．

定理13設X為Banach空間,T#∈B(X)為T∈B(X)的群逆．若Tn∈B(X)滿足Tn→T, 則下列命題等價:

1) 當n充分大時,Tn為T的穩(wěn)定擾動;