Banach空間中二階非自治積微分方程的適度解

陳 燕, 范虹霞

(蘭州交通大學數(shù)理學院, 蘭州 730070)

本文主要討論Banach空間E中二階非自治積微分方程非局部問題

(1)

非局部問題首先是由Byszewski等[1]提出, 相比于經典的初值問題, 對許多有趣的自然現(xiàn)象非局部問題更易建模, 從而被廣泛應用于物理等學科領域中而受到較多的關注[2-4]．此外, 類似于問題(1)以及其他更特殊的積微分方程常常應用于反應擴散方程、生物工程或者具有記憶性、黏彈性、遺傳性等特殊性質物理材料的分析過程中[5-8], 許多學者對這類方程的各種性質進行了廣泛的研究．由于研究該類方程其他性質的前提是得到其適度解存在性與唯一性, 故而研究其適度解的存在唯一性是非常必要的．Shi等[9]在非線性項f一致連續(xù)的情形下, 利用Sun等[10]推廣的凸冪凝聚算子不動點定理, 研究了

這類一階自治積微分方程初值問題整體適度解和正適度解的存在性．而非線性項f一致連續(xù)是非常強的假設, 本文擬減弱此要求, 并考慮在與A(t)相關的發(fā)展系統(tǒng)非緊的情形下, 利用凸冪凝聚算子理論及算子變換技巧, 討論二階非自治非局部問題(1)適度解的存在性．

1 預備知識

抽象的二階非自治發(fā)展方程初值問題

(2)

其中A(t):D(A(t))?E→E是閉的稠定線性算子,f:J→E為適當定義的函數(shù)．對問題(2)適度解的研究都是基于與之對應的齊次發(fā)展方程

x″(t)=A(t)x(t),t≥0

(3)

生成的發(fā)展系統(tǒng)S(t,s), 下面給出所需的發(fā)展系統(tǒng)S(t,s)的定義．

本文中, 假設與A(t)相關的發(fā)展系統(tǒng)S(t,s)存在, 那么存在N>0,使得對任意的s,t,s+h∈J,

‖S(t+h,s)-S(t,s)‖≤N|h|,

(4)

且有C(s,t)=-?S(t,s)/?s．記

(5)

以及

K0=max(t,s)∈Λ0|k(t,s)|,H0=max(t,s)∈Λ|h(t,s)|．

(6)

用α(·)表示E中有界集的Kuratowski非緊性測度,αC(·)表示C(J,E)中有界集的Kuratowski非緊性測度, 下面給出有關Kuratowski非緊性測度的一些性質與引理．

引理1[12]設X,Y是實Banach空間,B,C是X中的有界集, 則有下列性質:

1)B相對緊?α(B)=0;

3) 若B?C,則α(B)≤α(C);

4)α(B+C)≤α(B)+α(C), 其中B+C={x+y:x∈B,y∈C};

5)α(B∪C)≤max{α(B),α(C)};

6)α(λ(B))≤|λ|α(B), 其中λ∈R;

7) 若映射Q:D(Q)?X→Y是Lipschitz連續(xù)的, 且Lipschitz常數(shù)為k, 則對任意有界集B?D(Q),α(Q(B))≤kα(B)．

引理2[10]若B?C(J,E)有界且等度連續(xù), 則α(B(t))在J上連續(xù), 且αC(B)=maxt∈Jα(B(t))．

引理4[13]若B?C(J,E)有界, 則存在可數(shù)集B0?B, 使得αC(B)≤2αC(B0)．

下面給出本文將要證明的問題(1)適度解的形式．

定義2對?t∈J, 若函數(shù)u∈C(J,E)滿足積分方程

(7)

則稱u是問題(1)的適度解．

令R>0為有限常數(shù), 記BR={u∈E: ‖u‖≤R},ΩR={u∈C(J,E): ‖u‖C≤R}．

2 主要結果

本節(jié)主要討論問題(1)適度解的存在性, 以下給出證明過程所需的假設．

(H1)f:J×E×E×E→E滿足:f(t, ·, ·, ·)對t∈J幾乎處處連續(xù),f(·,u1,u2,u3)對ui∈E(i=1,2,3)強可測．gi:J×E→E,i=1,2為全連續(xù)函數(shù)．

(H3) 存在常數(shù)Li>0(i=1,2,3), 使得對任意有界可數(shù)集Di?E(i=1,2,3), 且對幾乎處處t∈J有α(f(t,D1,D2,D3))≤L1α(D1)+L2α(D2)+L3α(D3)．

(H4) 存在常數(shù)Lgi>0(i=1,2), 使得對?u1,u2∈E, 有‖gi(u2)-gi(u1)‖≤Lgi‖u2-u1‖,i=1,2．

定理1若假設條件(H1)～ (H6)都滿足, 則問題(1)在區(qū)間J上至少有一個適度解．

證明 定義算子Q:C(J,E)→C(J,E)滿足

(8)

定義算子G:C(J,E)→C(J,E)滿足

(Gu)(t)=u(t)-C(t,0)g1(u)-S(t,0)g2(u)．

(9)

顯然,u(t)為問題(1)的適度解當且僅當u(t)為算子G-1Q的不動點．下證算子G-1Q存在不動點．

(Gu)(t)=u(t)-C(t,0)g1(u)-S(t,0)g2(u)=y(t),t∈J．

(10)

定義算子W:C(J,E)→C(J,E)為

(Wu)(t)=y(t)+C(t,0)g1(u)+S(t,0)g2(u),t∈J．

(11)

G-1y(t)=u(t)=y(t)+C(t,0)g1(u)+S(t,0)g2(u),t∈J．

(12)

(13)

得‖G-1y2-G-1y1‖C≤I2‖y2-y1‖C．

第三步: 證明(G-1Q)ΩR?ΩR．對任意u∈ΩR, 令y=(G-1Q)u, 從而有Gy=Qu．由式(8), (9)可得

(14)

limn→+∞‖f(s,un(s),(Tun)(s),(Sun)(s))-f(s,u(s),(Tu)(s),(Su)(s))‖=0,

(15)

對任何D?F及u0∈F, 由(G-1Q)(n,u0)的定義及引理3可得(G-1Q)(n,u0)D?ΩR是等度連續(xù)集; 因此, 由引理2知

αC((G-1Q)(n,u0)D)=maxt∈Jα((G-1Q)(n,u0)D(t)) ,n=1,2,…．

(16)

α((G-1Q)D(t))≤2α((G-1Q)D1(t)) ．

(17)

(18)

(19)

因此, 由式(17)～(19)、條件(H3)、引理1,3,5及非局部函數(shù)gi是緊的, 有

(20)

(21)

因此, 由式(18)～(21)、條件(H3)、引理1,3,5及非局部函數(shù)gi是緊的, 有

對任意t∈J, 假設

(22)

(23)

由式(18),(19),(22),(23)、條件(H3)、引理1,3,5及非局部函數(shù)gi是緊的, 有