基于邊界約束事件觸發(fā)控制的異構(gòu)混沌系統(tǒng)同步

林豪杰, 樓旭陽

(江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院, 江蘇 無錫 214122)

混沌系統(tǒng)因具有初值極端敏感等特點(diǎn)而被廣泛用于保密通信和信號(hào)處理等領(lǐng)域. 近年來, 多種基于Lyapunov穩(wěn)定性理論的混沌系統(tǒng)同步控制方法相繼被提出, 如驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)同步[1]、耦合同步[2]、投影同步[3]、反步控制[4]和自適應(yīng)同步[5]等. 由于事件觸發(fā)控制策略可以減少不必要的信息傳輸, 故許多學(xué)者將事件觸發(fā)控制與上述混沌系統(tǒng)同步控制方法相結(jié)合. Liu等[6]通過設(shè)計(jì)基于事件觸發(fā)機(jī)制的控制器實(shí)現(xiàn)含傳輸時(shí)滯Lurie系統(tǒng)的混沌同步; 馬大中等[7]采用基于事件觸發(fā)的控制器實(shí)現(xiàn)異構(gòu)混沌系統(tǒng)的主從同步. 事件觸發(fā)控制下的閉環(huán)系統(tǒng)通常同時(shí)包含離散動(dòng)態(tài)和連續(xù)動(dòng)態(tài), 是一類典型的混雜系統(tǒng), 故可在事件觸發(fā)下構(gòu)建混雜系統(tǒng), 隨后在混雜系統(tǒng)框架下實(shí)現(xiàn)混沌系統(tǒng)同步. Postoyan等[8]通過研究非線性系統(tǒng)的時(shí)間觸發(fā)鎮(zhèn)定問題, 提出幾種結(jié)合混雜系統(tǒng)的事件觸發(fā)策略, 有助于進(jìn)一步分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性; Fei等[9]探討了主從混沌系統(tǒng)延遲神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)同步問題, 基于延遲神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)采用混雜事件觸發(fā)控制策略設(shè)計(jì)混雜事件觸發(fā)控制器, 實(shí)現(xiàn)了主從系統(tǒng)間的同步. 然而, 上述文獻(xiàn)中的事件觸發(fā)條件均被定義為狀態(tài)向量或輸入向量的偏差閾值, 且設(shè)置觸發(fā)閾值參數(shù)為定常數(shù), 這在實(shí)際運(yùn)用中不夠靈活且定常數(shù)的閾值參數(shù)選取不當(dāng)會(huì)導(dǎo)致頻繁的觸發(fā)和芝諾現(xiàn)象. 于是, Meslem等[10]將事件觸發(fā)控制下的系統(tǒng)建模為混雜系統(tǒng), 通過分析混沌系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性設(shè)計(jì)了一種基于邊界約束的事件觸發(fā)策略,其控制輸入的更新取決于輔助系統(tǒng)的狀態(tài),從而避免了芝諾現(xiàn)象. 受文獻(xiàn)[10]啟發(fā), 本文擬提出一種基于邊界約束事件觸發(fā)控制的異構(gòu)混沌系統(tǒng)同步方法. 針對混沌系統(tǒng)的耦合系統(tǒng),在邊界約束事件觸發(fā)控制下構(gòu)建混雜系統(tǒng), 利用驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)間的誤差系統(tǒng)與所設(shè)計(jì)輔助系統(tǒng)之間的關(guān)系對系統(tǒng)的控制器參數(shù)進(jìn)行更新以調(diào)整誤差系統(tǒng)的收斂率, 即通過檢測誤差系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)變化是否到達(dá)快慢系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)所形成的區(qū)域邊界來更新控制輸入, 進(jìn)而利用快慢系統(tǒng)的收斂速度控制同步誤差收斂速度以提高控制效率.

1 相關(guān)知識(shí)

考慮混雜系統(tǒng)

(1)

式中x∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài),x可能既包含連續(xù)變量又包含離散變量, 后者通常表示為整數(shù)形式的邏輯變量; 流集C和躍集D分別表示連續(xù)動(dòng)態(tài)和離散動(dòng)態(tài)時(shí)的狀態(tài)集合; 單值映射f: C→Rn為描述狀態(tài)屬于流集C?Rn時(shí)連續(xù)動(dòng)態(tài)的函數(shù), 亦稱為流態(tài); 集值映射G: D→→Rn為描述狀態(tài)屬于躍集D?Rn時(shí)離散動(dòng)態(tài)的函數(shù), 亦稱為躍態(tài);x+為狀態(tài)跳躍后的值.

2) 對于所有的(t,j)∈domx使得(t,j+1)∈domx,x(t,j)∈D時(shí), 有x(t,j+1)∈G(x(t,j)).如果domx是無界的, 則解x是完備的, 于是稱混雜弧x是混雜系統(tǒng)H的解.

在狀態(tài)空間Rn上的混雜系統(tǒng)H, 令A(yù)為狀態(tài)空間Rt中的一個(gè)緊集.若對任一ε1>0, 存在δ>0使得混雜系統(tǒng)H從x(0,0)∈(A+δB)∩(C∪D)出發(fā)的每一個(gè)解都是完備的且滿足|x(t,j)|A≤ε1, ?(t,j)∈domx, 則稱緊集A是穩(wěn)定的; 如果存在正數(shù)μ>0使得系統(tǒng)H從x(0,0)∈(A+μB)∩(C∪D)出發(fā)的每一個(gè)最大解都是完備的且滿足limt+j→∞|x(t,j)|A=0, 則稱緊集A是吸引的; 如果緊集A是穩(wěn)定且吸引的, 則稱緊集A是漸近穩(wěn)定的.令BA為A的吸引域點(diǎn)集, 從該點(diǎn)集中任一點(diǎn)出發(fā)的所有最大解都是完備的且收斂到A.如果緊集A在吸引域BA=C∪D上漸近穩(wěn)定, 則稱緊集A是大范圍漸近穩(wěn)定的.

引理1[12]設(shè)混雜系統(tǒng)H=(C,f,D,G)且A?Rn是閉集.若V為H的Lyapunov函數(shù), 且存在α1,α2∈K∞和一個(gè)連續(xù)函數(shù)ρ∈P, 使得

1) 對于任意x∈C∪D∪G(D), 有

α1(|x|A)≤V(x)≤α2(|x|A);

(2)

2) 對于任意x∈C,有

〈V(x),f〉≤-ρ(|x|A);

(3)

3) 對于任意x∈D,g∈G(x), 有

V(g)-V(x)≤-ρ(|x|A),

(4)

則A對H是大范圍漸近穩(wěn)定的.

2 問題描述

考慮驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)維數(shù)不同的異構(gòu)混沌系統(tǒng),其驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型為

(5)

其中x∈Rn和z∈Rm為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的狀態(tài)向量,f1(x,z):Rn+m→Rn和f2(x,z):Rn+m→Rm均為已知的非線性函數(shù).響應(yīng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型為

(6)

(7)

為了設(shè)計(jì)基于事件觸發(fā)的控制器,假設(shè)誤差系統(tǒng)(7)是可鎮(zhèn)定的且存在連續(xù)控制器

u=kc(ep,z),

使得誤差系統(tǒng)(7)在連續(xù)控制器u作用下形成的閉環(huán)系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的.

3 主要結(jié)果

基于連續(xù)控制器u=kc(ep,z)的形式, 針對誤差系統(tǒng)(7)分別構(gòu)造快系統(tǒng)和慢系統(tǒng):

(8)

其中參數(shù)βf>1,βs∈(0,1), 二者分別影響快慢系統(tǒng)Lyapunov函數(shù)的收斂速度, 即影響事件觸發(fā)的邊界約束條件;ef∈Rn,es∈Rn分別為快慢系統(tǒng)的狀態(tài)向量.

考慮事件觸發(fā)控制器u=k(ep,z), 滿足如下形式:

(9)

(10)

離散動(dòng)力學(xué)為

(11)

其中kf,ks分別為定義離散動(dòng)態(tài)ef和es的兩個(gè)集值映射.

假設(shè)1假設(shè)存在一個(gè)包含原點(diǎn)的開集O?R3n, 一個(gè)連續(xù)函數(shù)kc:domkc→Rq, 一個(gè)連續(xù)可微函數(shù)Vp: domVp→R, 兩個(gè)函數(shù)α1,α2∈K∞和一個(gè)函數(shù)ρξ∈P, 則

1) 對于任意ep∈domkc, 有

α1(|ep|)≤Vp(ep)≤α2(|ep|);

(12)

2) domVp=Rn且domVp×domVp×domVp包含O的一個(gè)鄰域;

3) 對于任意(ep,ef,es)∈O,有

(ep,ep,ep)∈O,kc(ep,z)∈domkc;

(13)

4) 對于所有的(ep,ef,es)∈O,Vp(ef)≤Vp(ep)≤Vp(es), 有

LfpVp(ep)

(14)

圖1 基于邊界約束的事件觸發(fā)控制示意圖Fig.1 Block diagram of event-triggered control based on boundary constraint

對于混雜系統(tǒng)(10)(11),下面給出定理使得系統(tǒng)狀態(tài)漸近收斂于集合A=Rn×Rm×{0}×{0}×{0}×Rq, 即誤差信號(hào)(ep,ef,es)漸近收斂至原點(diǎn).

定理1若假設(shè)1成立, 混雜系統(tǒng)(10)(11)的流集和躍集設(shè)計(jì)如下:

(15)

則系統(tǒng)(10)(11)關(guān)于集合A=Rn×Rm×{0}×{0}×{0}×Rq是大范圍漸近穩(wěn)定的,其快慢系統(tǒng)的離散映射kf和ks在ξ∈Df時(shí)分別設(shè)計(jì)為

kf(ef,ep)={ep},ks(es,ep)={es};

(16)

在ξ∈Ds時(shí)設(shè)計(jì)為

kf(ef,ep)={ef},ks(es,ep)={ep};

(17)

在ξ∈Df∩Ds時(shí)設(shè)計(jì)為

kf(ef,ep)={ep}∪{ef},ks(es,ep)={ep}∪{es}.

(18)

(19)

其中I表示恒等映射.考慮|es|≤|ξ|A并結(jié)合式(12), 對于所有ξ∈C,有

(20)

定義映射

(21)

(22)

為了便于表示, 現(xiàn)以f表示連續(xù)動(dòng)態(tài)(10)右邊部分的映射, 即

由式(13)(18),ρξ∈P以及V的定義可知, 對任意ξ∈C, 有

(23)

同時(shí),由V和G的表達(dá)式可知, 對所有ξ∈D, 有V(G(ξ))=V(ξ).結(jié)合文獻(xiàn)[12]定理3.18的穩(wěn)定性證明可知, 閉集A對于混雜系統(tǒng)H是穩(wěn)定的.

綜上,根據(jù)文獻(xiàn)[13]定理4.3, 系統(tǒng)H的任意緊致解都趨近于A, 而每個(gè)完備解都是有界和緊致的; 因此, H的每個(gè)完備解都趨近于A, 且A是吸引的.證畢.

注1文獻(xiàn)[6,14]基于同步誤差信號(hào)和采樣數(shù)據(jù)分別設(shè)計(jì)了事件觸發(fā)控制策略, 研究了混沌系統(tǒng)的主從同步問題, 但上述方法并不適用于異構(gòu)混沌系統(tǒng).故本文考慮的模型具有一般性, 適用范圍更廣泛.

注2同樣是基于Lyapunov函數(shù)設(shè)計(jì)的事件觸發(fā)控制策略, 本文提出的控制策略不同于文獻(xiàn)[15]. 文獻(xiàn)[15]中要求Lyapunov函數(shù)的時(shí)間導(dǎo)數(shù)在任意時(shí)刻都已知, 而本文定理1通過比較Vp和快慢系統(tǒng)Lyapunov函數(shù)的值放寬了此條件. 由于一個(gè)嚴(yán)格Lyapunov函數(shù)的計(jì)算仍很困難, 所以文獻(xiàn)[15]是基于弱Lyapunov函數(shù)的計(jì)算, 但本文通過應(yīng)用文獻(xiàn)[12]定理3.18使得證明方法更為簡單. 此外, 與文獻(xiàn)[7,15]基于狀態(tài)誤差的事件觸發(fā)控制策略相比, 本文所提出的觸發(fā)事件設(shè)置更靈活,觸發(fā)頻率和控制性能可以通過輔助系統(tǒng)的參數(shù)進(jìn)行調(diào)整,并且由于所提出的事件觸發(fā)控制器和被控系統(tǒng)是在混雜系統(tǒng)框架下建立的閉環(huán)系統(tǒng)模型,故便于研究和分析同時(shí)具有內(nèi)部狀態(tài)擾動(dòng)和外部干擾下系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的魯棒性.

注3文獻(xiàn)[16-17]中異構(gòu)混沌系統(tǒng)的廣義混沌同步采用連續(xù)時(shí)間觸發(fā)的方式進(jìn)行信息交互,導(dǎo)致不必要的數(shù)據(jù)信息傳輸, 增加了網(wǎng)絡(luò)通信帶寬. 然而, 本文基于邊界約束的事件觸發(fā)控制策略可以降低傳輸頻率,減少信息的傳輸量和器件的損耗. 定理1雖然只考慮了異構(gòu)混沌系統(tǒng)的完全同步問題, 但基于邊界約束思想的事件觸發(fā)控制方法可以推廣到其他同步類型的研究中, 如文獻(xiàn)[14-15]中的廣義同步等.

為了避免在數(shù)字信號(hào)實(shí)現(xiàn)時(shí)系統(tǒng)產(chǎn)生無限多次的事件和控制更新,下面給出定理以使得定理1中事件觸發(fā)控制下最小事件間隔時(shí)間(或兩次跳躍時(shí)間間隔)大于零,即不存在芝諾現(xiàn)象.

定理2若假設(shè)1成立, 對于任意常數(shù)r,R,00使得系統(tǒng)H在兩個(gè)時(shí)刻(t1,j1)<(t2,j2)之間跳躍的解滿足

r≤|ξ(t,j)|A≤R,?(t1,j1) ≤(t,j) ≤(t2,j2),

(24)

其中t2-t1≥tmin.

(25)

由此可見, 集合Csub與定理1中躍集D之間的距離是正的.由于系統(tǒng)H的流動(dòng)力學(xué)是由一個(gè)連續(xù)的映射所定義, 且集合N是緊致的, 所以在N中演化的解具有一個(gè)有限最大速度M.于是, 在N內(nèi)從Csub到D的演化需要一段時(shí)間, 該時(shí)間tmin由Csub和D之間的距離決定.任何在N中演化的解在離散跳躍一次后連續(xù)動(dòng)態(tài)演化時(shí)間tmin>0.該離散跳躍之間的最小時(shí)間間隔tmin對于所有在N中演化的解都是一致的, 即對于H中所有滿足式(24)的解是成立的. 證畢.

注4本文證明了所提事件觸發(fā)控制方法不存在芝諾現(xiàn)象, 具有現(xiàn)實(shí)意義. 若僅設(shè)計(jì)與慢系統(tǒng)Lyapunov函數(shù)相關(guān)的事件觸發(fā)采樣算法也可以確保系統(tǒng)的穩(wěn)定性, 但為了保證系統(tǒng)收斂速度在期望區(qū)間內(nèi), 本文設(shè)計(jì)的輔助系統(tǒng)包含快系統(tǒng)和慢系統(tǒng).

4 數(shù)值仿真

為了驗(yàn)證本文方法的有效性,考慮如下Lü系統(tǒng)[18]:

(26)

設(shè)計(jì)響應(yīng)系統(tǒng)

(27)

聯(lián)合式(26)(27), 有

(28)

u=kc(ep,z)=aep1-zep1+(c+1)ep2.

(29)

其次,設(shè)計(jì)事件觸發(fā)控制器.構(gòu)造誤差系統(tǒng)的快系統(tǒng)

(30)

其中kf(ef,z)=aef1-zef1+(c+1)ef2; 誤差系統(tǒng)的慢系統(tǒng)

(31)

其中ks(es,z)=aes1-zes1+(c+1)es2.

構(gòu)造輔助系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)

(32)

通過定理1中流集和躍集以及快慢系統(tǒng)的離散映射的設(shè)計(jì), 可以確定事件觸發(fā)控制率. 仿真中取快慢系統(tǒng)的初始狀態(tài)分別為[1,9]T和[14,16]T. 選取快慢系統(tǒng)參數(shù)βf=2,βs=0.5.圖2為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的狀態(tài)相位圖.由圖2可見系統(tǒng)呈混沌現(xiàn)象.圖3為事件觸發(fā)控制器u的時(shí)間響應(yīng)曲線.圖4顯示了誤差系統(tǒng)Lyapunov函數(shù)Vp、輔助慢系統(tǒng)Lyapunov函數(shù)Vs和輔助快系統(tǒng)Lyapunov函數(shù)Vf的時(shí)間響應(yīng)曲線. 由圖3～4可見,Vp受邊界約束影響在Vs與Vf構(gòu)成的區(qū)域內(nèi)演化;Vp在0.06 s左右達(dá)到Vs值觸發(fā)事件, 致使系統(tǒng)在t=0.06 s時(shí)第一次更新控制率并作用于系統(tǒng)(11).

圖5為分別在連續(xù)控制器和事件觸發(fā)控制器作用下的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)間的誤差信號(hào). 由圖5可見, 事件觸發(fā)控制器作用下ep在約1 s后漸近收斂到0, 而連續(xù)控制器作用下ep在1.2 s后才漸近收斂到0, 表明本文所設(shè)計(jì)的事件觸發(fā)控制器能更快地使系統(tǒng)同步.

圖2 驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的狀態(tài)相位圖Fig.2 State phase plot of the drive system

圖3 控制輸入信號(hào)Fig.3 Control input signal

圖4 事件觸發(fā)控制下的 Lyapunov曲線Fig.4 Graphical illustration of Lyapunov function under event-based control

圖5 不同控制下誤差系統(tǒng)狀態(tài)的時(shí)間響應(yīng)曲線Fig.5 Time response of the state of error system under different controls

圖6顯示了在本文所設(shè)計(jì)的事件觸發(fā)控制下驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)狀態(tài)與響應(yīng)系統(tǒng)狀態(tài)的時(shí)間響應(yīng)曲線. 由圖6可見,本文事件觸發(fā)控制算法實(shí)現(xiàn)了驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)之間的逐漸同步.

圖6 驅(qū)動(dòng)狀態(tài)與響應(yīng)狀態(tài)的時(shí)間響應(yīng)曲線Fig.6 Time responses of drive state and response state

5 結(jié)語

本文針對異構(gòu)混沌系統(tǒng)設(shè)計(jì)一種基于邊界約束事件觸發(fā)的控制器, 基于Lyapunov穩(wěn)定性理論結(jié)合算法檢測對系統(tǒng)的控制輸入進(jìn)行離散化更新,給出了異構(gòu)混沌系統(tǒng)達(dá)到同步所需的條件. 本文所設(shè)計(jì)的控制器不僅使得驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)達(dá)到同步狀態(tài),而且可通過設(shè)置輔助系統(tǒng)中快系統(tǒng)或慢系統(tǒng)的參數(shù)靈活改變邊界Lyapunov函數(shù)形成的區(qū)域,從而改變異構(gòu)混沌系統(tǒng)的同步速率.