蓄力創(chuàng)生 厚植思想
——《集合》教學(xué)實(shí)踐與思考

文 夏向陽 張磊銘

【教材分析】

集合是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語言，可以簡潔、準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容。集合思想是數(shù)學(xué)中最基本的思想，甚至可以說集合理論是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。學(xué)生從一年級學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，就開始接觸集合的思想方法，具備了一定的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)和知識技能。人教版教材在三年級上冊安排了教學(xué)集合思想的單元，介紹了維恩圖表示集合及交集、并集的方法，讓學(xué)生體會集合的概念及認(rèn)識集合的交集、并集，學(xué)習(xí)用集合的思想方法思考和解決簡單的實(shí)際問題，為今后學(xué)習(xí)相關(guān)內(nèi)容奠定扎實(shí)基礎(chǔ)。

【教學(xué)過程】

一、設(shè)疑導(dǎo)入，激活認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)

師：校運(yùn)動會到了，三（1）班報(bào)名參加男生60米短跑比賽的有5人，男生100米短跑比賽的有4人。你覺得參加這兩項(xiàng)短跑比賽的男生一共有幾人？

生：9人。

師：除了9人，還有其他的可能嗎？

生：還有可能是8人。因?yàn)橛?名男生同時(shí)參加了這兩項(xiàng)比賽。

師：誰聽懂了他的意思？

生：有1名男生既參加了60米短跑比賽，又參加了100米短跑比賽。

師：你真會思考，值得表揚(yáng)。

師：除了9人、8人之外，你們覺得還有其他可能嗎？

生：7人、6人、5人。

師：7人、6人、5人又是怎樣的情形，等會兒我們繼續(xù)討論。

【設(shè)計(jì)意圖：以學(xué)生喜聞樂見的校運(yùn)動會短跑比賽為教學(xué)情境，激活學(xué)生的認(rèn)知沖突，初步感知生活中的集合現(xiàn)象，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探究的內(nèi)驅(qū)力?！?/p>

二、聚焦本質(zhì)，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型

1.自主探索，引出集合。

師：如果有8人參加比賽，請你思考怎樣的情況才能保證有5人參加60米短跑比賽，4人參加100米短跑比賽？

師：接下來請同學(xué)們用自己喜歡的方法表示出8人的情形。

師：大家看懂了嗎？

生：有1個(gè)男生參加了60米短跑和100米短跑兩個(gè)項(xiàng)目，并用文字加以說明，再寫上一共8人。

師：涂陰影的這兩個(gè)圓表示什么意思？

生：表示同一個(gè)人參加了這兩項(xiàng)短跑比賽。

師：下面我們來看這位同學(xué)的表示方法，她也是采用畫圖的方式。

師：這位同學(xué)的方法，你們看得懂嗎？

生：看得懂，中間的這一位同學(xué)參加了兩項(xiàng)比賽，這樣一共有8人。

師：你們覺得剛才兩位同學(xué)表示的方法有什么不同？

生：第一種方法同一位男生畫了兩個(gè)圓表示，然后用文字加以說明；第二位同學(xué)的方法把同一位男生只畫了一個(gè)圓來表示。

生：第二種方法還畫了兩個(gè)相交的橢圓，這樣看起來更加清晰。

師：我們再來看一位同學(xué)的方法。

生：這位同學(xué)的方法和第二位同學(xué)的方法差不多，第二位同學(xué)畫的兩個(gè)橢圓是上、下順序，而這位同學(xué)畫的兩個(gè)橢圓是左、右順序。

生：這位同學(xué)畫得更美觀，看起來更方便。

師：三位同學(xué)通過畫圖的方法，把參加兩項(xiàng)比賽的8人清晰地表示出來，像這樣的圖示法，數(shù)學(xué)上稱為“維恩圖”，由英國著名邏輯學(xué)家維恩第一個(gè)用這樣的圖來表示，所以稱為維恩圖。維恩圖又叫集合圖，今天這節(jié)課我們就來學(xué)習(xí)“集合”的相關(guān)知識。

【設(shè)計(jì)意圖：教師給予學(xué)生充足的時(shí)間和空間，讓學(xué)生用自己喜歡的方法進(jìn)行表示。通過依次呈現(xiàn)學(xué)生原生態(tài)的作品，在象形圖的基礎(chǔ)上，進(jìn)行不斷加工、改造，順利地經(jīng)歷維恩圖的生成過程，從而豐富學(xué)生對維恩圖的認(rèn)識，獲得有價(jià)值的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，并通過不斷比較和優(yōu)化感受數(shù)學(xué)的簡潔和美觀?！?/p>

2.介紹集合，理解含義。

師：請同學(xué)們結(jié)合這幅維恩圖繼續(xù)思考，每一部分分別表示什么意思？

生：左邊的橢圓表示的是參加60米短跑這一項(xiàng)的人數(shù)，相交部分表示的是兩項(xiàng)都參加的人數(shù)，右邊的橢圓表示的是參加100米短跑這一項(xiàng)的人數(shù)。

師：那左邊的四個(gè)小圓又表示什么意思呢？

生：只參加60米短跑的人數(shù)。

師：那右邊三個(gè)小圓和中間的這個(gè)小圓又表示什么意思呢？

生：右邊三個(gè)小圓表示只參加100米短跑的人數(shù)，中間的這個(gè)小圓表示參加兩項(xiàng)比賽的人數(shù)。

師：為了更加清晰和完整，我們把剛才維恩圖中的每一部分所表示的意義在同一幅圖上依次表示出來。

【設(shè)計(jì)意圖：借助維恩圖這一形象的表征方式，使學(xué)生深入感知維恩圖的結(jié)構(gòu)以及每一部分所表示的意義。在對比教學(xué)中深刻理解集合的概念，并能整體把握維恩圖的互異性和無序性的特征，初步體會交集、并集的意義?！?/p>

3.列式解答，探究方法。

師：根據(jù)維恩圖，你能用一個(gè)算式進(jìn)行解答嗎？

生：5+4-1=8（人）。

師：為什么還要減去1呢？

生：因?yàn)橛?人重復(fù)算了。

師：是的。5+4我們把其中的一位同學(xué)算了幾次？實(shí)際上呢？所以為什么要減1呢？

生：把重復(fù)算的這1次減去。

師：說得真好，我們能否結(jié)合算式在維恩圖上指出來？

生：4+3+1=8（人）。

師：這個(gè)算式，誰能說一說它表示什么意思？

生：把只參加60米短跑和只參加100米短跑的學(xué)生相加，再加上兩項(xiàng)都參加的學(xué)生。

【設(shè)計(jì)意圖：鼓勵(lì)學(xué)生從不同角度觀察維恩圖，列出不同的算式，并對照維恩圖解釋所列算式，滲透算法多樣化的思想?！?/p>

4.拓展提升，發(fā)散思維。

（1）抽象成數(shù)。

（2）完善集合。

師：除了9人、8人，還有其他的可能嗎？

生：7人。

生：6人。

生：5人。

師：我們先用維恩圖表示7人的情況。

師：請你觀察，為什么參加60米和100米短跑的同學(xué)一共有7人？

生：2人同時(shí)參加了兩項(xiàng)比賽。

師：為什么參加兩項(xiàng)比賽的是6人？這又是什么道理？

生：有3人兩項(xiàng)比賽都參加了。

師：剛才有同學(xué)說到5人，那5人的情況你能畫出來嗎？嘗試在紙上畫一畫。

師：同學(xué)們，請你結(jié)合圖進(jìn)行思考，為什么參加兩項(xiàng)比賽的人數(shù)是5人？

生：4人兩項(xiàng)比賽都參加了。

師：右邊空的部分表示什么意思？

生：沒有人只參加了100米短跑比賽。

師：也就是說參加100米短跑比賽的同學(xué)都參加了60米短跑比賽。同學(xué)們，既然這兒沒有人，那我們也可以把圖變一變。

師：外面的橢圓表示什么意思？里面的橢圓表示什么意思？這個(gè)小圓又表示什么意思？

生：外面的橢圓表示參加這兩項(xiàng)比賽一共有5人，里面的橢圓表示參加這兩項(xiàng)比賽的有4人，左邊的這個(gè)小圓表示只參加60米短跑的有1人。

師：同學(xué)們，那參加的人數(shù)一共是4人，有可能嗎？

生：不可能，因?yàn)閰⒓?0米短跑比賽的就有5人了，所以參加比賽的至少有5人。

師：剛才我們通過“參加這兩項(xiàng)短跑比賽的男生一共有幾人”這一問題，借助維恩圖和算式表示出了所有可能的情況，用維恩圖來解決問題的思想在數(shù)學(xué)上叫做集合思想。

【設(shè)計(jì)意圖：由形抽象到數(shù)，使學(xué)生完成數(shù)學(xué)化的過程，形成抽象的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。同時(shí)，在不斷思考、多次表征這一問題的不同情況下加強(qiáng)學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，系統(tǒng)認(rèn)識集合中相交、包含、相離三種關(guān)系，進(jìn)而對集合形成正確、完整、深刻的認(rèn)識?！?/p>

三、回顧總結(jié)，適時(shí)交流反思

師：通過今天這節(jié)課，你有什么收獲？

【教學(xué)思考】

一、學(xué)習(xí)材料和認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)是創(chuàng)生的引擎

本課中筆者巧用教學(xué)素材，讓簡單的素材盡可能發(fā)揮出最大的教學(xué)效果。以學(xué)生生活中的校運(yùn)動會為情境，始終圍繞“參加這兩項(xiàng)短跑比賽的男生一共有幾人”這一核心問題展開教學(xué)，思路清晰，指向明確，引導(dǎo)學(xué)生重點(diǎn)掌握有重疊部分的相交關(guān)系，同時(shí)對其他情況進(jìn)行有序思考，探索出集合中相交、包含、相離三種關(guān)系，建立了對集合關(guān)系的系統(tǒng)認(rèn)知，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的拓展。同時(shí)，喚醒“重復(fù)的人數(shù)要減去”這一熟悉的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，運(yùn)用學(xué)生的生成素材，放手讓學(xué)生自主表征，利用學(xué)生生成的資料展開交流，不斷完善，逐漸“創(chuàng)造”出維恩圖。做到學(xué)為中心，素養(yǎng)為先，使學(xué)生真正參與到課堂中，讓課堂的生成散發(fā)思維的火花。

二、思想方法和數(shù)學(xué)模型是創(chuàng)生的內(nèi)核

本課在探究集合模型時(shí)，以學(xué)生原生態(tài)的表征為基礎(chǔ)，啟發(fā)引導(dǎo)、分享質(zhì)疑、完善思考。從最初的兩個(gè)圓涂陰影表示重疊的學(xué)生到一個(gè)圓放中間表示這位學(xué)生，探索出維恩圖的雛形，再到圈一圈、移一移等方式優(yōu)化維恩圖，學(xué)生在思維活動中經(jīng)歷了較為完整的維恩圖形成過程，在自主探索和教師引導(dǎo)下不斷優(yōu)化，使原本復(fù)雜、抽象的知識具體化、可視化、簡潔化，無形中滲透著集合思想、優(yōu)化思想、分類思想和數(shù)形結(jié)合思想，建立了集合問題的基本模型，培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。