錯(cuò)誤中尋找問題對(duì)比中明晰概念
——分?jǐn)?shù)意義錯(cuò)例分析的診斷式教學(xué)策略

文|符玲利

一、平衡教學(xué)，完善分?jǐn)?shù)概念

【錯(cuò)例呈現(xiàn)】把4米長的繩子剪成相等的3段，每段長（）米，每段是全長的（）。

【成因分析】

每段長度是多少求的是平均分的結(jié)果，當(dāng)結(jié)果不能用整數(shù)表示時(shí)可用分?jǐn)?shù)表示。每段是全長的幾分之幾求的是一段與整條繩子之間的關(guān)系，學(xué)生分不清分?jǐn)?shù)的兩種意義，故出現(xiàn)各種錯(cuò)誤。

分?jǐn)?shù)的意義主要有：比和數(shù)。關(guān)于“比”，小學(xué)階段主要讓學(xué)生理解部分占整體的比率，部分占部分的比率。“數(shù)”表示的是某對(duì)象的大小，常稱為量。兩者不同的含義需要在等分除與包含除不同的情境下去理解。

教學(xué)中我們習(xí)慣用等分除代替包含除來理解一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾。如在三年級(jí)《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)》一課中，教材呈現(xiàn)的是把一個(gè)月餅平均分成2塊，一塊月餅是整體的二分之一，我們也常常按教材編排的邏輯進(jìn)行教學(xué)。但其實(shí)這里存在兩個(gè)概念，一是把一個(gè)月餅平均分成2份，每份是個(gè)月餅，這是等分的結(jié)果；二是這個(gè)月餅共分成2份，即1個(gè)月餅里包含2個(gè)個(gè)月餅，個(gè)月餅占整個(gè)月餅的，這是求部分與整體的關(guān)系。后者與倍的認(rèn)識(shí)原理相同，都是求一個(gè)量里包含有標(biāo)準(zhǔn)量的幾份或幾分之幾，沒有了包含除的體驗(yàn)，“率”的理解就存在缺失。

【教學(xué)策略】

1.先“量”后“率”，同步建構(gòu)。

教材在編排上傾向于等分除，但教師在教學(xué)的過程中可以適當(dāng)平衡，如三年級(jí)《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)》可分為2課時(shí)教學(xué)，第一課時(shí)讓學(xué)生理解一個(gè)月餅平均分成2份，每一份的大小是塊，引導(dǎo)學(xué)生充分感知在等分的結(jié)果不夠1時(shí)，可以用分?jǐn)?shù)來表示。此時(shí)的分?jǐn)?shù)比1小，比0大，它有大小，在數(shù)軸上可找到它，它的出現(xiàn)讓數(shù)學(xué)體系變得更豐富。第二課時(shí)可以利用包含除進(jìn)行教學(xué)，如1個(gè)月餅里有2個(gè)塊月餅，塊月餅占整個(gè)月餅的關(guān)系可以用分?jǐn)?shù)來表示，塊月餅是整個(gè)月餅的個(gè)西瓜是整個(gè)西瓜的再設(shè)計(jì)直觀長方形圖（如下圖），涂色部分占整個(gè)長方形的幾分之幾？你是怎么知道的？通過操作，學(xué)生理解需要先知道整體里包含有幾個(gè)這樣的一份，才能知道它占整體的幾分之一，這樣，學(xué)生既理解了部分與整體的關(guān)系，又能理解分?jǐn)?shù)是度量的結(jié)果，豐富了其對(duì)分?jǐn)?shù)作為“率”的認(rèn)知。

2.“量”“率”并行，對(duì)比建模。

五年級(jí)分?jǐn)?shù)的意義內(nèi)容豐富并且抽象，教學(xué)時(shí)需要讓學(xué)生理解分的對(duì)象既可以是離散的量，也可以是連續(xù)的量（如米、噸）。還需要讓學(xué)生對(duì)平均分這一過程有新的認(rèn)知，從大小、形狀的平均分逐步抽象到量的平均分。最主要的是要讓學(xué)生關(guān)注到分的兩種不同結(jié)果及其表示的不同含義。當(dāng)將單位“1”進(jìn)行等分時(shí)，等分的結(jié)果是一個(gè)量，可以用整數(shù)或分?jǐn)?shù)來表示。分?jǐn)?shù)表示一個(gè)具體數(shù)量的數(shù)時(shí)，與整數(shù)一樣，也有大小、意義。從包含除的角度思考部分與整體的關(guān)系也可以用分?jǐn)?shù)來表示。量與率的同步教學(xué)、對(duì)比建模讓學(xué)生清晰地感受到了分?jǐn)?shù)的兩種不同屬性。

二、多重對(duì)比，理清量率關(guān)系

【錯(cuò)例呈現(xiàn)】

A.小明 B.小紅

C.一樣多 D.無法判斷

學(xué)生常見錯(cuò)誤：不懂兩者區(qū)別，不能進(jìn)行有效分析，隨意填結(jié)果。

【成因分析】

人教版教材第一學(xué)段《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)》側(cè)重從部分與整體的關(guān)系理解分?jǐn)?shù)意義，即“率”；第二學(xué)段《分?jǐn)?shù)與除法》側(cè)重引導(dǎo)學(xué)生理解等分的結(jié)果是一個(gè)量，可用分?jǐn)?shù)表示。兩個(gè)內(nèi)容獨(dú)立安排教學(xué)，且教材始終沒有安排兩者之間的比較，直到復(fù)習(xí)（練習(xí)二十）中才安排兩者同時(shí)出現(xiàn)（如下圖），對(duì)比練習(xí)的缺乏容易造成學(xué)生對(duì)概念中的相似意義混淆不清。

1.把一根2m長的木條鋸成同樣長的4段，每段是這根木條的（）（），每段長（）÷（）=（）m=（）（）m。

【教學(xué)策略】

1.題組對(duì)比，加深理解。

小學(xué)里分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)主要有兩個(gè)階段，在不同的階段里均要安排量與率的對(duì)比。三年級(jí)主要是離散量中找分?jǐn)?shù)，量和率會(huì)有明顯區(qū)別。比如，蘋果有6個(gè)，取出它的幾分之幾。取出——2個(gè)；取出——4個(gè)；全部取出即（也就是1）——6個(gè)。通過操作學(xué)生發(fā)現(xiàn)每一個(gè)量對(duì)應(yīng)的都有一個(gè)率，從而感知量與率的區(qū)別。

五年級(jí)則出現(xiàn)了“米”“噸”這些計(jì)量單位，連續(xù)量的出現(xiàn)讓量和率的理解更抽象。用題組對(duì)比方式呈現(xiàn)，借助圖形直觀，能夠加深學(xué)生對(duì)量與率的理解。

如把6米長的繩子平均分成3段，每段長6÷3=2（米），每段是全長的

把3米長的繩子平均分成3段，每段長3÷3=1（米），每段是全長的

這樣的題組呈現(xiàn)有利于學(xué)生對(duì)比發(fā)現(xiàn)：每段長度=總長度÷段數(shù)（3），總長度（具體量）發(fā)生改變，每段的長度也會(huì)發(fā)生改變。雖然每段長度不同，但每段占全長的不變，因?yàn)槎际菍⑷L平均分成3段，全長包含有這樣的3段，故1段占全長3段的

2.變量對(duì)比，凸顯差異。

如何讓學(xué)生區(qū)分量與率的不同？最直接的方式是將兩者擺在一起對(duì)比，通過改變其中的一個(gè)量，體會(huì)量與率的可變性與不變性。如研究一根繩的米的大小關(guān)系，要考慮繩子的長度，將繩長分類再對(duì)比，體會(huì)米的變與不變。

（3）如果繩子的長度小于1米，例如繩子長0.8米或0.75米，則其繩長的米。

三、多元表征，疏通前后聯(lián)系

【錯(cuò)例呈現(xiàn)】

學(xué)生常見錯(cuò)誤：題1中，甲、乙的大小判斷無從下手，或是只判斷的大小。題2中，女生是男生人數(shù)的幾分之幾一般用減法算出

【成因分析】

兩題的錯(cuò)誤均因?yàn)閷W(xué)生找不準(zhǔn)單位“1”，無法理解單位“1”的可變性。

【教學(xué)策略】

1.數(shù)形結(jié)合，從部分與整體的角度體會(huì)單位“1”的可變性。

教學(xué)時(shí)教師可適當(dāng)?shù)刎S富素材，呈現(xiàn)大小不同、形狀不同的圖形，讓學(xué)生找出各個(gè)圖形的，同時(shí)找每幅圖中誰是誰的二分之一，這樣的活動(dòng)既可以讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)共性：只要把一個(gè)物體等分成2份，每份就是它的。又可以發(fā)現(xiàn)區(qū)別：單位“1”不同，得到的塊的大小、形狀也是不同的。

2.前后梳理，在兩個(gè)量的對(duì)比中感悟單位“1”的轉(zhuǎn)換。

部分與部分的關(guān)系教學(xué)可結(jié)合倍的知識(shí)進(jìn)行，利用舊知遷移解決問題。如人教版教材呈現(xiàn)的是7只鵝、10只鴨、20只雞，適當(dāng)將數(shù)據(jù)改編成5只鵝、10只鴨、20只雞，學(xué)生可以在復(fù)習(xí)中回憶兩個(gè)量的倍數(shù)關(guān)系：雞的數(shù)量是鴨的2倍，雞的數(shù)量是鵝的4倍，同時(shí)體會(huì)因標(biāo)準(zhǔn)量的可變性導(dǎo)致相應(yīng)的倍數(shù)變化。在此基礎(chǔ)上提出鴨是雞的幾分之幾呢？鵝是雞的幾分之幾？學(xué)生順勢(shì)將知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行遷移，產(chǎn)生關(guān)鍵問題：標(biāo)準(zhǔn)量是什么？怎么去找它們之間的關(guān)系？

教師可以借助圖形，幫助學(xué)生利用圖形直觀理解部分與部分的關(guān)系。