一類3線纏繞的染色數(shù)

王樹新， 王 一， 葛 悅， 杜 怡

(遼寧師范大學 數(shù)學學院，遼寧 大連 116029)

20世紀紐結(jié)和鏈環(huán)理論作為低維拓撲學的一個重要組成部分快速地發(fā)展起來，尋找紐結(jié)和鏈環(huán)強有力的合痕不變量，一直都是紐結(jié)和鏈環(huán)理論研究的一個重要課題. 1970年，J. H. Conway給出了有理纏繞連分數(shù)的定義并實現(xiàn)對有理纏繞的分類[1]；2004年，L. H. Kauffman和S. Lambropoulou不僅給出了纏繞的染色規(guī)則，而且證明了在此規(guī)則下的染色分數(shù)是一個同痕不變量[2]；2019年,盧碩在有理纏繞染色的基礎(chǔ)上，討論了兩類代數(shù)纏繞染色的性質(zhì)[3]；2020年,王冬雪等討論了有理纏繞染色矩陣的性質(zhì)，將2線纏繞的染色問題推廣到n線纏繞的染色問題，并研究了一類n線纏繞的染色性質(zhì)[4-5].

本文從上述研究結(jié)果出發(fā)，對纏繞染色進行進一步的研究，將2線纏繞的染色與3線纏繞的染色緊密地結(jié)合起來，對一類3線纏繞染色進行細致的研究和分析，給出了上述3線纏繞的一種特定染色，在此基礎(chǔ)上，確定了相應(yīng)3線纏繞的染色數(shù). 本文得到的一類3線纏繞染色數(shù)及其染色性質(zhì)，為進一步的研究廣義纏繞以及更一般的多線纏繞的染色性質(zhì)和分類提供了一種新的研究思路，同時也對紐結(jié)和鏈環(huán)的分類起到了積極的促進作用.

1 預(yù)備知識

定義1設(shè)(B,t)是一個偶對，若B是一個三維實心球體，t是真嵌入B中的有限條、非定向的互不相交的弧段，則稱(B,t)為一個纏繞，若t=t1∪t2，則稱(B,t)為一個2線纏繞.

注1本文不特加說明，一般用大寫字母T或Ti(i∈+)表示纏繞.

定義4設(shè)T1，T2是兩個纏繞，如圖1所示，將T1的NE端與T2的NW端相連接，T1的SE端和T2的SW端相連接，稱上述操作為纏繞T1和T2的加法，記所得纏繞為T1+T2，如圖1(a)所示.把T1的SW端和T2的NW端相連接，把T1的SE端和T2的NE端相連接，稱上述操作為纏繞T1和T2的乘法，記所得纏繞為T1*T2，如圖1(b)所示.

圖1 纏繞T1和T2加法和纏繞T1和T2乘法Fig.1 The addition and multiplication of tangles T1and T2

定義5設(shè)T為一個纏繞，在T中任選一個交叉點，上弧段標記整數(shù)β，兩條下弧段分別標記整數(shù)α和γ，使得α，β，γ滿足2β=α+γ，其中，α≠γ，若T的每個交叉點對應(yīng)的弧段均保持上述染色規(guī)則，且相連的弧段不出現(xiàn)矛盾，則稱T為一個染色纏繞.

圖2給出了某一纏繞特定交叉點的局部染色規(guī)則.

圖2 纏繞交叉點的局部染色規(guī)則Fig.2 The coloring rule of local crossing of tangle

定義7設(shè)T1，T2，T3，…，Tn(n∈+)均為整數(shù)纏繞，若纏繞T是由T1，T2，T3，…，Tn按照如圖3所示的完全非代數(shù)連接方式構(gòu)造得到，則稱T是一個完全非代數(shù)連接3線纏繞.

注3若橫向觀察圖3中3線纏繞，易知此3線纏繞是由兩行整數(shù)纏繞按照完全非代數(shù)連接方式得到的.本文僅研究定義7中給出纏繞的染色數(shù).

圖3 一類3線纏繞T的構(gòu)造方式Fig.3 Constructions of a class of 3-tangle T

定義8設(shè)T為一個纏繞，DT是纏繞T的任意一個投影圖，對DT進行染色，記C*(DT)是相應(yīng)染色所需不同染色整數(shù)的個數(shù)，稱C**(T)=min{C*(DT)|DT為纏繞T的任意一個投影圖}為纏繞T的染色數(shù).

命題1設(shè)T是一個如圖4所示的3線纏繞，則C**(T)=5.

圖4 3線纏繞TFig.4 3-tangle T

注4利用纏繞染色規(guī)則，命題1的證明參見文獻[6]中的命題2.1.1和命題2.1.2，并且圖4中給出了相應(yīng)弧段對應(yīng)的染色整數(shù)，其中,a,b,2a-b,3a-2b,4a-3b是互不相同的整數(shù).

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)Ti是一個[2]-纏繞(i=1,2,…,n)，若纏繞T由Ti(i=1,2,…,n)按圖5所示連接得到，則C**(T)=5.

圖5 3線纏繞TFig.5 3-tangle T

證如圖5所示，纏繞T的子纏繞Ti(i=1,2,…,n)可分為兩行，將纏繞T的左端看作始端，右端看作末端，則纏繞T的始端子纏繞T1所在位置有兩種情況，下面分情況討論.

(1)子纏繞T1在第一行

子纏繞T1在第一行時，按圖4(a)中染色數(shù)為5的染色方式為纏繞T染色，并從纏繞T的始端出發(fā)，按圖4(a)所示的纏繞染色形式對纏繞T進行分組直至末端，其分組情況與子纏繞個數(shù)有關(guān)，下面分情況討論.

(a)n=4m

如圖6所示沿虛線將纏繞T按圖4(a)的纏繞形式進行分組，若n=4m，則纏繞分為若干組后，不存在剩余[2]-纏繞.由命題1可知，每組纏繞染色數(shù)為5且每組相應(yīng)的染色數(shù)相同，故C**(T)=5.

圖6 纏繞T的分組和染色Fig.6 Grouping and coloring of tangle T

(b)n=4m+1

如圖7所示沿虛線將纏繞T按圖4(a)的纏繞形式進行分組，若n=4m+1，則纏繞分為若干組后，有一個剩余[2]-纏繞Tn.由命題1可知，每組纏繞染色數(shù)為5且每組相應(yīng)的染色數(shù)相同，再由纏繞染色規(guī)則，子纏繞Tn中不出現(xiàn)新的染色整數(shù)，故C**(T)=5.

圖7 纏繞T的分組和染色Fig.7 Grouping and coloring of tangle T

(c)n=4m+2

如圖8所示沿虛線將纏繞T按圖4(a)的纏繞形式進行分組，若n=4m+2，則纏繞分為若干組后，有兩個剩余[2]-纏繞Tn-1，Tn.由命題1可知，每組纏繞染色數(shù)為5且每組相應(yīng)的染色數(shù)相同，再由纏繞染色規(guī)則，子纏繞Tn-1，Tn中不出現(xiàn)新的染色整數(shù)，故C**(T)=5.

圖8 纏繞T的分組和染色Fig.8 Grouping and coloring of tangle T

(d)n=4m+3

如圖9所示沿虛線將纏繞T按圖4(a)的纏繞形式進行分組，若n=4m+3，則纏繞分為若干組后，有3個剩余[2]-纏繞Tn-2，Tn-1，Tn.由命題1可知，每組纏繞染色數(shù)為5且每組相應(yīng)的染色數(shù)相同，再由纏繞染色規(guī)則，子纏繞Tn-2，Tn-1，Tn中不出現(xiàn)新的染色整數(shù)，故C**(T)=5.

圖9 纏繞T的分組和染色Fig.9 Grouping and coloring of tangle T

(2)子纏繞T1在第二行

子纏繞T1在第二行時，按圖4(b)中染色數(shù)為5的染色方式為纏繞T染色，并從纏繞T的始端出發(fā)，按圖4(b)所示的纏繞形式對纏繞T進行分組直至末端，其分組情況與子纏繞個數(shù)有關(guān)，下面分情況討論.

(a)n=4m

如圖10所示沿虛線將纏繞T按圖4(b)的纏繞形式進行分組，若n=4m，則纏繞分為若干組后，不存在剩余[2]-纏繞.由命題1可知，每組纏繞染色數(shù)為5且每組相應(yīng)的染色數(shù)相同，故C**(T)=5.

圖10 纏繞T的分組和染色Fig.10 Grouping and coloring of tangle T

(b)n=4m+1

如圖11所示沿虛線將纏繞T按圖4(b)的纏繞形式進行分組，若n=4m+1，則纏繞分為若干組后，剩余一個[2]-纏繞Tn.由命題1可知，每組纏繞染色數(shù)為5且每組相應(yīng)的染色數(shù)相同，再由纏繞染色規(guī)則，子纏繞Tn中不出現(xiàn)新的染色整數(shù)，故C**(T)=5.

圖11 纏繞T的分組和染色Fig.11 Grouping and coloring of tangle T

(c)n=4m+2

如圖12所示沿虛線將纏繞T按圖4(b)的纏繞形式進行分組，若n=4m+2，則纏繞分為若干組后，剩余兩個[2]-纏繞Tn-1，Tn.由命題1可知，每組纏繞染色數(shù)為5且每組相應(yīng)的染色數(shù)相同，再由纏繞染色規(guī)則，子纏繞Tn-1，Tn中不出現(xiàn)新的染色整數(shù)，故C**(T)=5.

圖12 纏繞T的分組和染色Fig.12 Grouping and coloring of tangle T

(d)n=4m+3

如圖13所示沿虛線將纏繞T按圖4(b)的纏繞形式進行分組，若n=4m+3，則纏繞分為若干組后，剩余3個[2]-纏繞Tn-2，Tn-1，Tn.由命題1可知，每組纏繞染色數(shù)為5且每組相應(yīng)的染色數(shù)相同，故C**(T)=5.

圖13 纏繞T的分組和染色Fig.13 Grouping and coloring of tangle T

綜上所述，C**(T)=5.