Alexander與HOMFLY多項(xiàng)式在紐結(jié)中的應(yīng)用

邱海燕，陳震霆

(空軍航空大學(xué) 數(shù)學(xué)教研室，吉林 長(zhǎng)春 130022)

0 引言

紐結(jié)［1］(knot)是三維中的簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)，即連通的(連成一體)、封閉的(沒(méi)有端點(diǎn)的)、不自交的(自己與自己不相交，即沒(méi)有粘連的)曲線(xiàn)。鏈環(huán)［2］可以在空間中自由地連續(xù)變形，但是不允許剪斷，不許粘合，而變成另一個(gè)鏈環(huán)，則這兩個(gè)鏈環(huán)是合痕的(isotopy)。

紐結(jié)理論中我們關(guān)心的問(wèn)題是任意的兩個(gè)紐結(jié)或鏈環(huán)怎樣識(shí)別他們是否相同，怎樣判斷它們是否是非平凡的。又因?yàn)閷?duì)于同一個(gè)紐結(jié)或鏈環(huán)的所有投影圖都是合痕的，因此紐結(jié)理論的基本問(wèn)題就成為:任給兩個(gè)紐結(jié)或鏈環(huán)的投影圖，它們是否是合痕的，怎樣判斷它們是否等價(jià)于平凡紐結(jié)或鏈環(huán)的投影圖。我們可以利用合痕不變量來(lái)區(qū)分。文章主要介紹兩種合痕不變量——Alexander［3］多項(xiàng)式和HOMFLY［4］多項(xiàng)式的聯(lián)系。

1 Alexander多項(xiàng)式與HOMFLY多項(xiàng)式在分離鏈環(huán)上的應(yīng)用

定理1:若L是有向分離鏈環(huán)，設(shè)可分離為兩個(gè)鏈環(huán)L1，L2，則

(1)Δ(L)=0，

(2)P(L)=P(L1∪L2)= － (l+l－1)m－1P(L1)P(L2)。

則 Δ(L+) －Δ(L－)+(t1/2－t－1/2)Δ(L0)=0。

又 Δ(L+)=Δ(L－)，故 Δ(L)=0。

(2)對(duì)L2的交叉指標(biāo)C(L2)用數(shù)學(xué)歸納法。

①當(dāng)C(L2)=0時(shí)，即L2為○，則P(L2)=1。

我們知:P(L1∪L2)= － (l+l－1)m－1P(L1)= － (l+l－1)m－1P(L1)P(L2)。

②假設(shè)C(L2)＜n時(shí)，命題成立。

由于HOMFLY多項(xiàng)式是合痕不變量，同一個(gè)鏈環(huán)對(duì)其任意投影圖計(jì)算得到的HOMFLY多項(xiàng)式都相同，故鏈環(huán)L2取其交叉點(diǎn)最少的投影圖沒(méi)有影響。

當(dāng)C(L2)=n時(shí)，設(shè)L2的投影圖有n個(gè)交叉點(diǎn)，則選取某一個(gè)交叉點(diǎn)后構(gòu)造L+，L－，L0(如圖1)，并且 L+即為 L1∪L2。

圖1 鏈環(huán)示意圖

2 Alexander多項(xiàng)式與HOMFLY多項(xiàng)式之間的聯(lián)系

Alexander多項(xiàng)式是最早被發(fā)現(xiàn)的多項(xiàng)式，它只有一個(gè)變量t，而HOMFLY多項(xiàng)式中包含兩個(gè)變量l和m，它們都是有向鏈環(huán)的多項(xiàng)式。下面的定理給出了兩者之間的聯(lián)系。

定理2 將鏈環(huán)L的HOMFLY多項(xiàng)式P(L)中的每個(gè)l用i取代，每個(gè)m用i(t1/2－t－1/2)取代，則得到該鏈環(huán)的Alexander多項(xiàng)式Δ(L)。

證明:由于HOMFLY多項(xiàng)式與Alexander多項(xiàng)式有類(lèi)似的法則，只是系數(shù)不同，若對(duì)法則成立，則得證。

將 l=i，m=i(t1/2－t－1/2)代入得

故將鏈環(huán)L的HOMFLY多項(xiàng)式P(L)中的每個(gè)l用i取代，每個(gè)m用i(t1/2－t－1/2)取代，則得到該鏈環(huán)的Alexander多項(xiàng)Δ(L)。證畢。

HOMFLY多項(xiàng)式是二元多項(xiàng)式不變量，包含Alexander多項(xiàng)式為特殊情況，鑒別力比它更強(qiáng)，更具有普遍性。

3 結(jié)語(yǔ)

現(xiàn)在若要計(jì)算某個(gè)鏈環(huán)的HOMFLY多項(xiàng)式，已經(jīng)有人編寫(xiě)了一個(gè)計(jì)算機(jī)程序，若利用本文的思想可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，提高運(yùn)算速度。為了更好地研究紐結(jié)提供了有力的幫助。

［1］姜伯駒.繩圈的數(shù)學(xué)［M］.長(zhǎng)沙:湖南教育出版社，1991.

［2］Rolfsen.Knots and links［M］.Berkeley:Pubilish or Perish Press，1976.

［3］Alexander.Topological invariants of knots and links［J］.Trans.Amer.Math.Soc.，1982，30:275 － 306.

［4］Kauffman.New invariants in the theory of knots［J］.Amer.Math.Monthly，1988，95(3):95 －142.

［5］韓友發(fā)，胡曉躍，常樂(lè).紐結(jié)多項(xiàng)式的性質(zhì)［J］.吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2008，29(2):1－4.