基于深度學(xué)習(xí)的“種子課”教學(xué)設(shè)計案例分析
——以北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材五年級上冊“平行四邊形的面積”為例

李曉梅，張秋，張麗欣

（遼寧教育學(xué)院，遼寧省實(shí)驗(yàn)學(xué)校）

深度學(xué)習(xí)理論的提出不僅提供了深化教學(xué)的思想策略，也為教學(xué)實(shí)施提供了具體的模式和方法。審視當(dāng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)，仍存在重視對結(jié)論的理解、記憶和應(yīng)用的“用數(shù)學(xué)”傾向，過分關(guān)注學(xué)生能否解決數(shù)學(xué)問題。深度學(xué)習(xí)理論要求我們不僅應(yīng)該知道“是什么”，還應(yīng)該知道“為什么”。重慶大學(xué)王翊等認(rèn)為，基于深度學(xué)習(xí)的實(shí)驗(yàn)教學(xué)應(yīng)該采用四段式教學(xué)法。該教學(xué)法聚焦深度學(xué)習(xí)模型本身，將深度學(xué)習(xí)的教學(xué)過程分為了解模型、使用模型、理解模型、掌握模型四個階段，既解決了當(dāng)前課堂教學(xué)面臨的理論問題過深、學(xué)生理解困難且動手能力差的問題，又解決了實(shí)驗(yàn)課程中“把深度學(xué)習(xí)當(dāng)作工具、只教如何應(yīng)用、不求深入理解原理”的問題。我們通過對深度學(xué)習(xí)的研究，針對“種子課”提出了教學(xué)設(shè)計應(yīng)該分成三個階段。

一、明確預(yù)期成果

本階段重點(diǎn)通過目標(biāo)內(nèi)容的分析，明確預(yù)期成果目標(biāo)，為具體設(shè)計提供方向。平行四邊形的面積是研究平面圖形面積的基礎(chǔ)，承擔(dān)著初步建模的任務(wù)，為后續(xù)其他平面圖形面積的學(xué)習(xí)提供基本的學(xué)習(xí)方法和經(jīng)驗(yàn)，初步滲透轉(zhuǎn)化思想。

（一）內(nèi)容簡析

本節(jié)課是在長方形、正方形的面積和平行四邊形特征的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的。學(xué)生在學(xué)習(xí)平面圖形面積度量時，經(jīng)歷著由單位面積度量到公式度量的過程。長方形和正方形的面積更多的是應(yīng)用單位面積進(jìn)行度量，計算公式也是由單位面積度量發(fā)展而來的。平行四邊形的面積是從單位面積度量到公式度量的銜接，由此，種下公式度量的“種子”。平面圖形面積公式推導(dǎo)的主要方法是轉(zhuǎn)化，而平行四邊形的面積是學(xué)生第一次用轉(zhuǎn)化的方法進(jìn)行公式推導(dǎo)，它將為三角形、梯形、圓形的面積，以及立體圖形的表面積的學(xué)習(xí)，種下轉(zhuǎn)化思想的“種子”。

從數(shù)學(xué)思考經(jīng)驗(yàn)方面看，研究平面圖形的面積，基本都立足于兩個問題：面積與什么有關(guān)？有什么關(guān)系？平行四邊形的面積承擔(dān)著初步建模的重任，給學(xué)生提供學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。在以后學(xué)習(xí)平面圖形的面積時，學(xué)生會主動從這兩個問題進(jìn)行思考，種下數(shù)學(xué)思考的“種子”。

（二）教學(xué)目標(biāo)

一是經(jīng)歷平行四邊形面積計算公式的推導(dǎo)過程，能運(yùn)用公式正確計算平行四邊形面積，并解決相關(guān)的實(shí)際問題；二是通過圖形變換、轉(zhuǎn)化觀察、聯(lián)想操作等活動方式，讓學(xué)生獲得研究空間圖形面積的基本活動經(jīng)驗(yàn)，初步理解和運(yùn)用轉(zhuǎn)化，借助直觀模型研究等數(shù)學(xué)思想和方法；三是通過面積公式的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的探究、創(chuàng)新、應(yīng)用意識，提高學(xué)習(xí)和解決問題的能力，感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的實(shí)用價值。

（三）教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重難點(diǎn)是在面積推導(dǎo)過程中感受轉(zhuǎn)化思想方法的價值，探究平行四邊形面積公式。預(yù)期學(xué)生的收獲包括三個方面：一是能猜測平行四邊形的面積與底、高有關(guān)；二是能將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形，清晰轉(zhuǎn)化前后各部分的關(guān)系，并能推導(dǎo)出平行四邊形的面積公式；三是能應(yīng)用公式準(zhǔn)確計算平行四邊形的面積并解決實(shí)際問題。

二、選擇評估內(nèi)容與任務(wù)

本階段是根據(jù)設(shè)定的目標(biāo)，明確目標(biāo)實(shí)現(xiàn)的評估內(nèi)容，用于具體的目標(biāo)達(dá)成度分析。在評估的基礎(chǔ)上，通過思考如何選擇目標(biāo)任務(wù)，為后續(xù)的具體任務(wù)設(shè)計打好基礎(chǔ)。

（一）選擇評估內(nèi)容

通過分析，確定以下三點(diǎn)作為目標(biāo)是否實(shí)現(xiàn)的評估內(nèi)容：

一是猜想并驗(yàn)證平行四邊形的面積與底和高有關(guān)，高不變，改變底的長短，引導(dǎo)學(xué)生用重疊法驗(yàn)證面積與底有關(guān)；提供不同高度等底的圖形，引導(dǎo)學(xué)生采用數(shù)格子、重疊比較、轉(zhuǎn)化的方法驗(yàn)證面積與高有關(guān)，并初步感受轉(zhuǎn)化的方法。

二是用分割轉(zhuǎn)化的方法推導(dǎo)平行四邊形的面積公式：把不同大小和形狀的平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形，思考并交流轉(zhuǎn)化前后各部分的對應(yīng)關(guān)系并推導(dǎo)出面積公式。

三是應(yīng)用平行四邊形的面積公式解決實(shí)際問題，設(shè)置基本練習(xí)，求平行四邊形草坪的面積；設(shè)置變式練習(xí)，根據(jù)面積和底，求底對應(yīng)的高。

（二）選擇目標(biāo)任務(wù)

選擇的目標(biāo)任務(wù)不僅要關(guān)注面積公式的應(yīng)用，更要重視利用探究的活動對數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法進(jìn)行有益的嘗試。本節(jié)課在設(shè)計上，需要突顯出兩點(diǎn)：一是轉(zhuǎn)化的思想，二是對平面圖形面積的數(shù)學(xué)思考。為了突出這兩個內(nèi)容，我們通過學(xué)習(xí)任務(wù)將靜態(tài)的結(jié)果變成了動態(tài)的演變過程，通過軟件將復(fù)雜的變化過程變成了直觀的形象。這樣，不但能看到面積與底和高的關(guān)系，而且也能感受到在變化之中的不變性。

轉(zhuǎn)化思想的落實(shí)可以分成兩步進(jìn)行：第一步，要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)長方形和正方形的面積學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)以及對平行四邊形的已有認(rèn)識來猜測平行四邊形的面積與什么有關(guān)；第二步，要引導(dǎo)學(xué)生通過“觀察—猜想—驗(yàn)證—總結(jié)”這樣的過程逐步明確面積與底和高有關(guān)。在驗(yàn)證面積與底有關(guān)時用到的數(shù)學(xué)方法是重疊法，這種方法卻不能用來驗(yàn)證面積與高有關(guān)。這種疑難問題讓學(xué)生在教師的引導(dǎo)下利用其提供的材料去動手操作，在操作中選擇不同的方法來驗(yàn)證。根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，應(yīng)用轉(zhuǎn)化一定會出現(xiàn)。我們需要做的是揭示這種經(jīng)常用到的方法就是轉(zhuǎn)化。

明確了這種方法就是轉(zhuǎn)化之后，要使全體學(xué)生再次體會轉(zhuǎn)化：把一個任意的平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形。在這個任務(wù)中，學(xué)生在熟悉、應(yīng)用轉(zhuǎn)化的同時也推導(dǎo)出了平行四邊形的面積公式，感受到了轉(zhuǎn)化在數(shù)學(xué)中的重要作用。

接下來，還要立足于平行四邊形面積公式，通過實(shí)踐操作，讓學(xué)生觀察平行四邊形面積與底和高的關(guān)系變化，在猜想、驗(yàn)證和總結(jié)中，深化對這一公式的理解。此外，還可以將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形，為后面要學(xué)習(xí)的內(nèi)容做好鋪墊。

我們設(shè)計了兩個步驟讓學(xué)生理解面積與底和高有關(guān)。第一步，先保持高不變，改變底的長度，讓學(xué)生觀察面積的變化。他們會發(fā)現(xiàn)在高不變時，底變大面積也會變大，底變小面積也會變小。第二步，使用數(shù)學(xué)的方法——重疊法驗(yàn)證這個發(fā)現(xiàn)的正確性。研究面積與底有關(guān)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)是研究面積與高有關(guān)的方法基礎(chǔ)，要引導(dǎo)學(xué)生按照相同的方法去研究面積與高有關(guān)。

這樣，學(xué)生通過“觀察—猜想—驗(yàn)證—總結(jié)”這樣的過程明確了底和高的改變會帶來面積的變化，平行四邊形的面積是與底和高有關(guān)的。安排全體學(xué)生都去感受轉(zhuǎn)化，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形。在轉(zhuǎn)化的同時給學(xué)生呈現(xiàn)了思考的問題，這些問題均指向面積與底和高有什么關(guān)系，即公式的推導(dǎo)。這樣的設(shè)計就突破了那種為了推導(dǎo)而推導(dǎo)的問題，讓公式的推導(dǎo)成了熟悉感受轉(zhuǎn)化的附屬，學(xué)生接受起來就順理成章了。自我評價的反思總結(jié)，則通過和學(xué)生的共同梳理，讓轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法和研究平面圖形的數(shù)學(xué)思考在他們心中逐漸立體、豐滿，為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定了堅實(shí)的基礎(chǔ)。

三、設(shè)計教學(xué)活動

（一）猜想驗(yàn)證——平行四邊形面積與什么有關(guān)

1．回顧舊知，激活經(jīng)驗(yàn)

先復(fù)習(xí)提問：你是怎樣計算長方形和正方形的面積的？（電腦出示長方形正方形的圖形）學(xué)生搶答，并回憶長方形和正方形的面積公式。

再引發(fā)沖突，出示課題：在長方形和正方形的圖形基礎(chǔ)上加入平行四邊形。“平行四邊形的面積我們還沒學(xué)過，今天我們就來研究平行四邊形的面積?！保ò鍟n題）

2．猜測驗(yàn)證，積累經(jīng)驗(yàn)

先引導(dǎo)猜測：關(guān)于平行四邊形你都知道些什么？猜猜平行四邊形的面積與什么有關(guān)？學(xué)生回憶平行四邊形的特征，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)猜測面積與底和高有關(guān)。

再對比長方形與平行四邊形的關(guān)系，尋找丟失的“高”。提問：（電腦演示）底不變，高改變后，面積有什么變化？怎么驗(yàn)證你的想法？

由于生成NH3·H2O而沒有離開反應(yīng)體系致使溶液呈現(xiàn)堿性,從而使CO2也很難從溶液中逸出,造成NH3·H2O和CO2并存于同一體系中,使水解反應(yīng)不能進(jìn)行徹底而很快達(dá)到平衡,反應(yīng)進(jìn)行的程度很小,為此兩者可以大量共存,這一點(diǎn)與和Al3+的反應(yīng)不同。

引導(dǎo)學(xué)生觀察對比，發(fā)現(xiàn)高不變，底改變帶來面積的變化，學(xué)生會根據(jù)驗(yàn)證底的方法來驗(yàn)證，出現(xiàn)認(rèn)知沖突，重疊無法驗(yàn)證。引發(fā)思考，需要其他的方法來驗(yàn)證。

最后，操作驗(yàn)證。利用1號信封中的三個等底的平行四邊形，可以畫一畫，數(shù)一數(shù)，剪一剪，拼一拼，用數(shù)學(xué)的方法來驗(yàn)證：平行四邊形的底相同時，高越長，面積越大；高越短，面積越小。

預(yù)設(shè)方法1：一格一格地數(shù)格子。

預(yù)設(shè)方法2：先拼成長方形，再數(shù)格子。

預(yù)設(shè)方法3：拼成長方形，重疊比較。

預(yù)設(shè)方法4：拼成長方形，用長方形的面積公式計算。

3．再現(xiàn)方法，明晰轉(zhuǎn)化

我們在驗(yàn)證平行四邊形的面積與什么有關(guān)的過程中，想到了一個方法：將平行四邊形剪開，拼到了另一邊。就是這么一剪、一拼，就將平行四邊形進(jìn)行了等積變換，這種方法在數(shù)學(xué)上就叫轉(zhuǎn)化。當(dāng)我們遇到新的知識，遇到不會解決的問題時，就可以用這種方法變成已學(xué)會的舊知識來解決。

圍繞“面積與什么有關(guān)”這樣的核心問題，借由長方形和正方形的面積的回顧，根據(jù)對平行四邊形已有的認(rèn)知，學(xué)生猜測出面積與底和高有關(guān)并不困難?？墒?，怎樣在“觀察—猜想—驗(yàn)證—總結(jié)”的過程中既能讓學(xué)生獲得研究平面圖形面積的基本學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，又能夠初步感受轉(zhuǎn)化在其中的意義和作用？這是我們思考的重點(diǎn)。

在設(shè)計中，先通過觀察猜想平行四邊形的面積與底有關(guān)，再通過重疊的方法驗(yàn)證猜想是否正確。有了這個學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，加上教師的有意引導(dǎo)，學(xué)生會順理成章地用相同的方法來驗(yàn)證面積與高有關(guān)。這時，就產(chǎn)生了認(rèn)知沖突：驗(yàn)證面積與底有關(guān)時好用的“重疊法”居然不能用來驗(yàn)證面積與高的關(guān)系。這樣，就使學(xué)生不得不思考使用其他的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行驗(yàn)證。利用有設(shè)計的材料，在后續(xù)的動手操作驗(yàn)證環(huán)節(jié)，學(xué)生會主動運(yùn)用轉(zhuǎn)化的方法來進(jìn)行比較。學(xué)生經(jīng)歷了“觀察—猜想—驗(yàn)證—總結(jié)”這樣完整的研究數(shù)學(xué)問題的過程，就能主動運(yùn)用轉(zhuǎn)化的方法解決問題，初步感受轉(zhuǎn)化方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用。

（二）轉(zhuǎn)化推導(dǎo)——面積與底和高有什么關(guān)系

1．豐富體驗(yàn)，探究關(guān)系

先提出問題：任意的一個平行四邊形都能轉(zhuǎn)化成長方形嗎？用2號信封中的平行四邊形進(jìn)行轉(zhuǎn)化（信封中提供大小、形狀，高的位置都不相同的平行四邊形）。再引導(dǎo)思考：轉(zhuǎn)化前后的圖形有什么關(guān)系？學(xué)生獨(dú)立操作，將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形，并交流轉(zhuǎn)化的方法，以及轉(zhuǎn)化前后圖形的關(guān)系，由此推導(dǎo)出面積公式。

2．拓展辨析，深化本質(zhì)

先提出問題：沿任何一條高剪開都可以把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形。那如果不沿著高剪開進(jìn)行轉(zhuǎn)化行不行呢？電腦出示沿對角線剪開拼成平行四邊形，引導(dǎo)學(xué)生討論辨析，明確轉(zhuǎn)化的目的是為了把不會的問題轉(zhuǎn)化成會的問題，不是為了轉(zhuǎn)化而轉(zhuǎn)化。再追問：既然我們的目的是為了把不會的平行四邊形轉(zhuǎn)化成會的長方形，那么，將平行四邊形的框架拉成長方形，用這種方式轉(zhuǎn)化可以嗎？實(shí)物框架有兩個：一個不變，一個拉成長方形。引導(dǎo)學(xué)生觀察思考，辨析后明確轉(zhuǎn)化前后的問題不能改變。

3．總結(jié)提升，積累經(jīng)驗(yàn)

我們用轉(zhuǎn)化的方法將平行四邊形轉(zhuǎn)化成了已學(xué)過的長方形，從而不但知道了平行四邊形的面積與底和高有關(guān)，還知道了有什么關(guān)系：就是面積=底×高。數(shù)學(xué)上我們用S表示面積，用a表示底，用h表示高，平行四邊形的面積公式用字母可以表示為S=ah，這就是平行四邊形的面積公式。在計算平行四邊形的面積時，就可以用公式進(jìn)行計算，不需要再數(shù)格子那么麻煩，也不需要每次求平行四邊形的面積都現(xiàn)轉(zhuǎn)化了。

在以往的教學(xué)中，我們往往用“平行四邊形的面積公式是怎么推導(dǎo)的”這樣的問題引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行操作，實(shí)際上學(xué)生并不是很理解什么叫“推導(dǎo)”，這樣的問題無法引領(lǐng)真正學(xué)習(xí)的發(fā)生。所以，我們將任務(wù)設(shè)計成帶著問題體會轉(zhuǎn)化，在體會將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形的過程中，在問題的引領(lǐng)下，探究出面積與底和高的關(guān)系，其實(shí)就是平行四邊形的面積公式。這樣的問題框架與前面的任務(wù)相互呼應(yīng)，學(xué)生可以輕松地得到平行四邊形的面積公式。在拓展辨析環(huán)節(jié)，則引領(lǐng)學(xué)生對轉(zhuǎn)化的理解走向了深入，觸碰了其本質(zhì)。

（三）鞏固應(yīng)用——還可以解決什么問題

1．基本應(yīng)用，熟悉公式

（電腦出示底、高和斜邊的平行四邊形）規(guī)劃中的道路有一個平行四邊形的草坪，求平行四邊形草坪的面積。

學(xué)生先獨(dú)立計算，再全班交流。引導(dǎo)學(xué)生通過思考明確用公式計算底和高求面積時，底和高要對應(yīng)（板書“對應(yīng)”）。

2．變式應(yīng)用，深化關(guān)系

提問：25米可以當(dāng)?shù)讍?？如?5米當(dāng)?shù)?，高在哪里?/p>

學(xué)生先指出對應(yīng)的高，再獨(dú)立求出這條高的長度，全班交流。

在本環(huán)節(jié)首先安排了一道基本應(yīng)用公式的練習(xí)，其目的是既讓學(xué)生熟悉公式的應(yīng)用，感受公式度量面積的便利性，同時也進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)公式應(yīng)用的條件，底和高必須相對應(yīng)，強(qiáng)化公式的正確性。在此基礎(chǔ)上改變條件，讓學(xué)生根據(jù)面積和底求高，使他們更加清晰面積、底和高之間所存在的關(guān)系，能培養(yǎng)變通能力和舉一反三的能力。

3．總結(jié)反思，內(nèi)化提升

提問：你學(xué)會了什么？是怎么學(xué)會的？

引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)學(xué)習(xí)方法，內(nèi)化提升（電腦演示）。通過總結(jié)，清晰地呈現(xiàn)本節(jié)課的收獲和學(xué)習(xí)方法。幫助學(xué)生梳理知識的同時，也引導(dǎo)他們逐步學(xué)會提煉學(xué)習(xí)方法，培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力。同時，通過梳理的圖示，強(qiáng)調(diào)知識間的聯(lián)系，明確研究平面圖形面積的數(shù)學(xué)思考方法，為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定知識和方法的基礎(chǔ)。