素環(huán)上的廣義(θ, θ)-導子

許 瑩

(吉林師范大學 數(shù)學學院，吉林 長春 130000)

2007年南京師范大學的張曉蓉[1]將Posner[2]的定理進行推廣證明了: 設R是特征不為2的素環(huán),U是R上的平方封閉Lie-理想,θ是R上的自同構,F是R上以導子d為伴隨導子的非零廣義導子且滿足F(u2)=0, ?u∈U, 則U?Z.在本文中筆者將此結果推廣到廣義(θ,θ)-導子[3]上.

1 預備知識

設R為環(huán), 若?a,b∈R, 都有aRb=0, 則a=0 或b=0 , 則稱R為素環(huán).設R為帶有對合σ的環(huán), 若?a,b∈R, 都有σ(a)Rb=aRb=0, 則a=0 或b=0, 則稱R是σ-素環(huán).如果環(huán)R為2-扭自由的, ?a∈R, 若2a=0, 則必有a=0.若?x,y∈R, 滿足d(xy)=d(x)y+xd(y), 則稱d是R上的導子.設R為環(huán), 若映射σ:R→R上滿足：

(1)σ(x)?R,x∈R,(2)σ(x+y)=σ(x)+σ(y),x,y∈R,(3)σ(xy)=σ(x)σ(y),x,y∈R, 則稱σ是R上的自同構.設R為結合環(huán),g:R→R上的可加映射,θ為R上的自同構, ?x,y∈R, 滿足g(xy)=g(x)θ(y)+θ(x)g(y), 則稱g是R上的(θ,θ)-導子.設R為結合環(huán),F:R→R上的可加映射,θ為R上的自同構, ?x,y∈R, 滿足F(xy)=F(x)θ(y)+θ(x)d(y), 則稱F是R上的廣義(θ,θ)-導子.d是F的伴隨(θ,θ)-導子.若?r∈R,a∈I有[r,a]∈I, 則稱I為R的Lie理想.

基本恒等式：

?x,y,z∈R, 有

[x,y]=xy-yx;[xy,z]=x[y,z]+[x,z]y;

[x,yz]=y[x,z]+[x,y]z;x°y=xy+yx;

x°(yz)=(x°y)z-y[x,z]=y(x°z)+[x,y]z.

2 主要結果

引理1[4]設R是特征不為2的素環(huán),U是R上的Lie-理想且U?Z, 若存在a,b∈R且滿足aUb=0, 則a=0或b=0.

引理2設R是2-扭自由素環(huán),U是R上的非零Lie理想且U?Z(R),d是R上的(θ,θ)-導子, 若d(U)=0, 則d=0.

證明由題設d([w,r])=0, ?r∈R,w∈U

0=d([w,r])=d(wr-rw)=d(wr)-d(rw)=d(r)θ(w)+θ(r)d(w)-d(w)θ(r)-θ(w)d(r)=[d(r),θ(w)]-[θ(r),d(w)]=[d(r),θ(w)], ?r∈R,w∈U

由θ是R上的自同構, 即[d(r),u]=0

?r∈R,u∈U

(1)

用tr換(1)中的r,r∈R得,[d(tr),u]=0

d(t)[θ(r),u]+[θ(t),u]d(r)=0

?r,t∈R,u∈U

(2)

令(2)中的t=r得

d(r)[θ(r),u]+[θ(r),u]d(r)=0

?r∈R,u∈U

(3)

由(1)得d(r)[θ(r),u]=[θ(r),u]d(r)代入(3)中得2[θ(r),u]d(r)=0

由R的特征不為2得[θ(r),u]d(r)=0

?r∈R,u∈U

(4)

用2uv換(4)中u得[θ(r),2uv]d(r)=0

?r∈R,u∈U

2u[θ(r),v]d(r)+2[θ(r),u]vd(r)=0

?r∈R,u∈U

由(4)得[θ(r),u]Ud(r)=0

?r∈R,u∈U

(5)

應用引理1得d(r)=0或[s,U]=0 ?s∈R

綜上得?r∈R,d(r)=0或[s,U]=0, 記G={r∈R|d(r)=0}和H={s∈R|[s,U]=0,?u∈U}根據(jù)任意一個群都不可能是它的兩個真子群的并得R=G或R=H, 因此由題設U?Z(R)知d=0, 定理得證.

引理3設R是特征不為2的素環(huán),d是R上的非零(θ,θ)-導子, 若U是R上的Lie-理想且滿足d(U)?Z, 則U?Z.

證明由題設知ur∈U, ?r∈R,u∈U

由d(U)?Z, 得[d(ur),y]=0,

?r,y∈R,u∈U

(6)

d(u)[θ(r),y]+[θ(u),y]d(r)=0,

用θ(u)換y得d(u)[θ(r),θ(u)]+

[θ(u),θ(u)]d(r)=0, ?r，y∈R,u∈U

即d(u)[θ(r),θ(u)]=0, ?r∈R,u∈U

(7)

在(7)兩邊同時左乘r得

rd(u)[θ(r),θ(u)]=0, ?r∈R,u∈U

(8)

由dU?Z得rd(u)=d(u)r, ?r∈R,u∈U

由(8)有d(u)r[θ(r),θ(u)]=0, ?r∈R,u∈U

即d(u)R[θ(r),θ(u)]=0, ?r∈R,u∈U

(9)

由素環(huán)定義得d(u)=0, ?u∈U或

[θ(r),θ(u)]=0, ?r∈R,u∈U

若d(u)=0, ?u∈U, 由引理2得d=0.與已知矛盾.

若[θ(r),θ(u)]=0, ?r∈R,u∈U,

(10)

在(10)兩邊同時作用θ-1得[r,u]=0, ?r∈R,u∈U即U?Z(R).

定理得證.

引理4[4]設R是特征不為2的素環(huán),U是R上的Lie-理想且U?Z, 則CR(U)=Z.

定理5設R是特征不為2的素環(huán),U是R上的平方封閉Lie-理想,θ是R上的自同構,F是R上以(θ,θ)-導子d為伴隨導子的非零廣義(θ,θ)-導子且滿足F(u2)=0, ?u∈U, 則U?Z.

證明假設U?Z,

由題設知F(u2)=0, ?u∈U,

(11)

由線性性用u+v換(21)中的v得

F(u+v)2=0, ?u,v∈U

由(11)得F(uv)+F(vu)=0, ?u,v∈U

(12)

用2uv換(12)中的v且根據(jù)R的特征不為2得

F(uvu)+F(vuu)=0, ?u,v∈U

F(uv)θ(u)+θ(uv)d(u)+F(vu)θ(u)+

θ(vu)d(u)=0, ?u,v∈U

(13)

由(12)(13)得(θ(uv)+θ(vu))d(u)=0,

?u,v∈U

(14)

在(14)兩邊同時作用θ-1得

(u°v)θ-1(d(u))=0, ?u,v∈U

(15)

用2vw換(15)中的v且根據(jù)R的特征不為2得

(u°vw)θ-1(d(u))=0, ?u,v,w∈U

由基本恒等式x°(yz)=y(x°z)+[x,y]z得

v(u°w)θ-1(d(u))+[u,v]wθ-1(d(u))=0,

?u,v,w∈U

(16)

由(15)得[u,v]wθ-1(d(u))=0,

?u,v,w∈U

即[u,v]Uθ-1(d(u))=0, ?u,v∈U

從而由引理1得[u,v]=0, ?u,v∈U或

θ-1(d(u))=0, ?u∈U.

若θ-1(d(u))=0, ?u∈U, 兩邊同時作用θ得d(u)=0, ?u∈U, 則由引理3得U?Z, 與假設矛盾.

若[u,v]=0, ?u,v∈U, 由引理4得

v∈CR(U)=Z, ?v∈U

所以U?Z, 與假設矛盾.

綜上, 假設不成立, 則U?Z.