拋物線問題中的最佳“配角”

文／李長(zhǎng)春（特級(jí)教師）

在精彩紛呈的初中數(shù)學(xué)大舞臺(tái)上，45°的角一直扮演著重要的角色，雖是配角，但其常與作為主角的二次函數(shù)圖像聯(lián)袂演出一幕幕壓軸大戲。眾所周知，等腰直角三角形的底角為45°，因此，當(dāng)題目中出現(xiàn)45°角時(shí)，我們往往要構(gòu)建等腰直角三角形，將角相等轉(zhuǎn)化為邊相等，從而使問題迎刃而解。

一、借助坐標(biāo)軸，構(gòu)建等腰直角三角形

例1 如圖1，拋物線y=a（x-m）2+n（a＜0，m＞0，n＞0）交y軸于點(diǎn)P，點(diǎn)A為拋物線的頂點(diǎn)，設(shè)直線PA與y軸所夾的角為45°，當(dāng)A為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，求am的值。

圖1

【思路分析】如何用好條件中的“直線PA與y軸所夾的角為45°”是解題的關(guān)鍵，此時(shí)可根據(jù)45°角構(gòu)造等腰直角三角形，結(jié)合拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)表示出關(guān)鍵線段的長(zhǎng)，借助線段之間的關(guān)系列出等式求解。

解：如圖2，過點(diǎn)A作AH⊥y軸于H。

因?yàn)閥=a（x-m）2+n=ax2-2amx+am2+n，所以P（0，am2+n）。

因?yàn)锳（m，n），所以AH=m，OH=n。

圖2

因?yàn)椤螦PH=45°，所以PH=AH=m。

由PH+OP=OH，得m+am2+n=n，即am2=-m，

又因?yàn)閙＞0，所以am=-1。

二、借助“一線三等角”，構(gòu)建等腰直角三角形

例2 如圖3，拋物線y=-x2+4x-3 與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C。Q為拋物線上一點(diǎn)，若∠ACQ=45°，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)。

圖3

【思路分析】由45°角聯(lián)想到等腰直角三角形，以AC為直角邊在第四象限構(gòu)造等腰直角三角形，借助直角坐標(biāo)系的直角構(gòu)造“一線三等角”，求得等腰直角三角形第三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，最后再利用等腰直角三角形斜邊所在的直線與拋物線的交點(diǎn)求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)。

解：對(duì)于y=-x2+4x-3，令y=0，易得x1=1，x2=3；再令x=0，得y=-3，所以O(shè)A=1，OB=OC=3。

圖4

三、借助雙垂圖形，構(gòu)建等腰直角三角形

圖5

【思路分析】猜想∠ACB=90°，利用勾股定理的逆定理確認(rèn)，繼而得∠ACO=∠CBA，在x軸上取點(diǎn)E（2，0），連接CE，易得△OCE是等腰直角三角形，可得∠OCE=45°，進(jìn)一步可推出∠ACE=∠CAQ，可得CE//PQ，然后利用待定系數(shù)法分別求出直線CE與PQ的函數(shù)表達(dá)式，再與拋物線的表達(dá)式聯(lián)立，組成方程組，求解即可。

解：根據(jù)題意，得A（-1，0），B（4，0），C（0，2）。

因?yàn)锳C2=12+22=5，BC2=22+42=20，AB2=25，

所以AC2+BC2=AB2，所以∠ACB=90°。

又因?yàn)椤螦CO+∠CAO=∠CBA+∠CAO=90°，所以∠ACO=∠CBA。

圖6

如圖6，在x軸的正半軸上取點(diǎn)E（2，0），連接CE，則OC=OE=2，所以∠OCE=45°，

所以∠ACE=∠ACO+∠OCE=∠CBA+45°=∠CAQ，所以CE//PQ。

因?yàn)镃（0，2），E（2，0），所以直線CE的表達(dá)式為y=-x+2，

設(shè)直線PQ的表達(dá)式為y=-x+n，把點(diǎn)A（-1，0）代入，可得n=-1，

所以直線PQ的表達(dá)式為y=-x-1。

因?yàn)辄c(diǎn)P是第四象限的點(diǎn)，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是（6，-7）。

四、借助輔助圓，構(gòu)建等腰直角三角形

圖7

【思路分析】如何利用條件“∠AQM=45°”是解決此題的關(guān)鍵。因?yàn)椤螦QM的兩邊與坐標(biāo)軸不平行，所以無(wú)法直接運(yùn)用這個(gè)條件。我們聯(lián)想到“化斜為直”，試著構(gòu)造△AQM的外接圓，利用“一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半”，將45°的圓周角轉(zhuǎn)化為90°的圓心角，得到一個(gè)直角邊和坐標(biāo)軸平行的、看起來令人舒服的等腰直角三角形，從而順利打開思路，使問題迎刃而解。

如圖8，過點(diǎn)A作AH⊥拋物線的對(duì)稱軸于H，因?yàn)锳（3，2），所以AH=MH=2，則H（1，2）。

圖8

以點(diǎn)H為圓心，AH為半徑作⊙H，因點(diǎn)H到y(tǒng)軸的距離為1，小于⊙H的半徑2，所以⊙H與y軸相交，設(shè)其交點(diǎn)為Q，連接AQ、MQ、AM。

因?yàn)椤鰽QM外接圓的圓心為H，所以QH=HA=HM=2。

過點(diǎn)H作HN⊥y軸于H，設(shè)Q（0，t）。

在Rt△HNQ中，由勾股定理，得HN2+QN2=HQ2，則12+（2-t）2=22，解得t1=2- 3，t2=2+ 3，