HPM視角下的“二面角”概念教學(xué)設(shè)計與實踐

高振嚴(yán) 韓嘉業(yè)

【摘?要】文章重構(gòu)式地運用數(shù)學(xué)史料，引導(dǎo)學(xué)生從實際情境中抽象出二面角的概念，并設(shè)置一系列探究活動，讓學(xué)生思考并討論二面角的平面角定義的合理性。在這一過程中，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理的核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)史為該節(jié)課預(yù)測學(xué)生學(xué)情、設(shè)置探究問題、解釋定義合理性提供了素材和思路，同時也為學(xué)生樹立正確的數(shù)學(xué)觀提供了德育路徑。

【關(guān)鍵詞】二面角;二面角的平面角;數(shù)學(xué)史;教學(xué)實踐

【作者簡介】高振嚴(yán)，一級教師，寶山區(qū)教學(xué)能手，寶山區(qū)教育系統(tǒng)十佳青年，主要研究方向為數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育;韓嘉業(yè)，高中數(shù)學(xué)教師，主要研究方向為數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育。

【基金項目】上海高?！傲⒌聵淙恕比宋纳鐣茖W(xué)重點研究基地之?dāng)?shù)學(xué)教育教學(xué)研究基地研究項目——數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中落實立德樹人根本任務(wù)的研究（A8）

一、引言

“二面角”是滬教版高中數(shù)學(xué)教材第14章“空間直線與平面”的第4節(jié)“空間平面與平面的位置關(guān)系”的第一節(jié)課，是繼空間內(nèi)異面直線所成的角、直線與平面所成的角之后的又一個空間角。教材在引入二面角的概念之后，直接構(gòu)造二面角的平面角，然后證明二面角的平面角的唯一性，即二面角的平面角的大小不隨頂點位置的變化而變化。遺憾的是，教材并沒有探討二面角的平面角定義的合理性，即為什么可以用二面角的平面角的大小來度量二面角的大小。

歷史上，法國數(shù)學(xué)家勒讓德（A.M.Legendre）曾經(jīng)論證過二面角的平面角定義的合理性，但勒讓德的論證對高中學(xué)生來說并不易理解?；谝陨显?，本節(jié)課從幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)理解的角度，設(shè)計二面角的數(shù)學(xué)探究活動，以及用蛋糕塊模擬二面角的直觀模型，從定性和定量兩個方面讓學(xué)生理解二面角的平面角定義的合理性。本節(jié)課的重點是二面角和二面角的平面角概念，難點是二面角的平面角概念的形成過程。具體的教學(xué)目標(biāo)如下。

（1）觀察現(xiàn)實生活的情境，抽象出二面角的概念，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

（2）探究二面角的平面角的定義，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)。

（3）感悟數(shù)學(xué)概念所蘊含的理性精神。

二、數(shù)學(xué)史料及應(yīng)用

為了更好地幫助學(xué)生構(gòu)建對二面角概念的理解，并向?qū)W生解釋二面角的平面角定義的合理性，本節(jié)課需用到以下數(shù)學(xué)史料。

（一）二面角概念的形成

古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在其《幾何原本》第11卷中給出面面傾角的定義：從兩個相交平面交線上的同一點，分別在兩平面內(nèi)各作交線的垂線，這兩條垂線所夾的銳角叫作該兩平面的傾角（或稱交角）[1]。歐幾里得并沒有提出二面角的概念，他考慮的僅僅是兩個平面之間的一種關(guān)系。這也是在課堂上的學(xué)生最容易出現(xiàn)的對二面角概念的錯誤理解。以史為鑒，教師應(yīng)向?qū)W生解釋，二面角與面面夾角之間是有區(qū)別的。

1829年，美國數(shù)學(xué)家沃克（T.Walker）在其《幾何基礎(chǔ)》中，提出了平面角（plane angle）的概念[2]。但沃克對二面角的認(rèn)識還是模糊的，仍然聚焦于兩個平面夾角的度量。二面角及其棱和面的概念以及二面角的記號等都付之闕如。這一歷史素材表明，人們對二面角概念的認(rèn)識是從具體到抽象的過程，所以在教學(xué)中也應(yīng)該遵循這一原則。

1859年，美國數(shù)學(xué)家格林利夫（B.Greenleaf）在其《幾何基礎(chǔ)》中指出，二面角是由兩個相交平面所形成的角，并給出示意圖（如圖1）。編者雖未指明“半平面”，但其示意圖顯示的是兩個半平面所形成的角[3]。書中提出了一些新的名稱，如二面角（dihedral angle）、二面角的面（face）、二面角的棱（edge），還給出了二面角的字母表示法。至此，二面角作為幾何圖形的概念登上了數(shù)學(xué)歷史舞臺。但可以預(yù)見的是，學(xué)生在學(xué)習(xí)二面角的概念時，可能會忽視定義中的“半平面”。

1922年，美國數(shù)學(xué)家賽克斯（M.Sykes）和康斯托克（C.E.Comstock）在他們合著的《立體幾何》中給出二面角的定義：“兩個具有公共邊界的半平面所形成的圖形稱為二面角?！盵4]21-31同時，書中給出面和棱的概念，以及二面角的命名方式，與現(xiàn)行教科書一致。

（二）二面角的平面角概念

關(guān)于二面角的測量，賽克斯和康斯托克在《立體幾何》中提出了“平面角”的概念：從兩個平面的交線上任取一點，過該點分別在兩個平面內(nèi)作交線的垂線，垂線形成的夾角稱為平面角。書中給出了以下兩個定理。[4]21-31

定理1：一個二面角的所有平面角都相等。

定理2：如果一個平面垂直于二面角的棱，它與兩個面的交線形成平面角。

另外，編者還設(shè)計了一個操作活動：通過剪切、折疊卡紙來制作一個二面角，并展示測量該二面角大小的過程（如圖2）。這一活動可以讓學(xué)生直觀地感受二面角的圖形概念，并啟發(fā)學(xué)生思考如何用符合直覺的、合理的方式來度量二面角的大小。

（三）二面角平面角合理性之定量研究

勒讓德在《幾何基礎(chǔ)》（1794年）中提出，為了說明二面角的平面角定義的合理性，需要證明若二面角以一定的比例增大或減小，則相應(yīng)的平面角將以相同的比例增大或減小[5]。因此，若兩個二面角的平面角是可公度的，則它們所對應(yīng)的二面角具有相同的比例。勒讓德將證明從平面角可公度的情形擴(kuò)展到了平面角不可公度的情形?，F(xiàn)行教科書常利用極限的方法來達(dá)成這一擴(kuò)展。勒讓德的證明方法涉及可公度的概念，不易為高中生所理解，但教師可以讓學(xué)生通過觀察實物來直觀感受二面角與它的平面角對應(yīng)成比例的結(jié)論，由此理解二面角的平面角定義的合理性。

（四）二面角的平面角合理性之定性研究

1879年，美國數(shù)學(xué)家溫特沃斯（G.A.Wentworth）在其《平面與立體幾何基礎(chǔ)》中討論了“平面角的邊必須垂直于棱”的緣由。如圖3，在長方體中，二面角F-AB-H是一個直二面角，∠CED的兩條邊分別在平面AF和平面AG上，并且它們都垂直于直線AB，所以∠CED是二面角F-AB-H的平面角。值得注意的是，圖中另外畫出的兩個角，它們的兩條邊均不垂直于直線AB，通過觀察可知，∠C′E′D′是銳角，∠C″E″D″是鈍角，都不能合理地刻畫直二面角F-AB-H。這樣的定性說明，對于高中生來說較易于理解。

三、教學(xué)設(shè)計與實施

（一）情境引入

教師借助生活中的三個情境：翻開的書頁、墻面與天花板、打開的筆記本電腦，引入二面角。

師：借助上述生活中的情境，大家可以抽象出什么數(shù)學(xué)問題？

生：兩個平面的夾角。

師：兩個平面的夾角的概念最早由古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中給出。

（教師在PPT上展示兩平面夾角的概念。）

師：兩平面所成的對頂角有兩對，選哪一對作為它們的夾角？

生：較小的一對。

師：那么，兩平面夾角的范圍應(yīng)該是多少？

（學(xué)生陷入沉思中。）

師：如果我們給出一個新的概念：平面上的一條直線將平面分成兩個半平面。我們怎樣用數(shù)學(xué)語言描述剛才的情形？

生：兩個半平面所成的圖形。

師：還有補充嗎？

生：兩個半平面及其交線所組成的空間圖形。

師：所以我們將由兩個半平面α和β及其交線AB所組成的空間圖形稱為二面角，記作α-AB-β。兩個半平面α和β稱為二面角的面，交線AB稱為二面角的棱。下面請同學(xué)們畫出開合程度較小和較大的兩種情形的二面角。

【設(shè)計意圖】從學(xué)生熟悉的生活情境入手，學(xué)生較容易抽象出兩個平面的夾角這一數(shù)學(xué)模型，這與歐幾里得的想法有相似之處。但是，通過分析前面的生活情境，發(fā)現(xiàn)這一模型不能表示開合程度較大的筆記本電腦，所以需要引入一個不同于兩平面夾角的新概念，即二面角。在這一過程中，學(xué)生注意到二面角的定義中“半平面”的重要性。

（二）探究發(fā)現(xiàn)

本教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)置了三個探究活動：（1）通過測量折紙所形成的二面角的大小，引出研究平面角的必要性;（2）通過三種特殊的二面角（0°、90°、180°）與其對應(yīng)的平面角大小的比較探究，定性分析二面角的平面角定義的合理性;（3）通過從內(nèi)部測量二面角大小的活動，自然地引出二面角的平面角的唯一性問題，并加以證明。

【探究活動1】

師：請大家用手中的A4紙折出一個二面角，并用量角器測量它的大小。

（學(xué)生所折的二面角分成了兩類：一類是將A4紙對折，紙的邊緣與折痕垂直;另一類是斜折，紙的邊緣與折痕不垂直。）

師：大家是怎樣折二面角的？又是如何測量的？

生1：我將A4紙對折（如圖4），然后將量角器緊貼二面角邊緣的兩邊測量。

師：還有不同的折法嗎？

生2：我將A4紙斜折（如圖5），然后也是將量角器緊貼二面角邊緣的兩邊測量。

師：我看到有的同學(xué)也是斜折，但測量方法不同。

生3：我也是將A4紙斜折，但我覺得測量邊緣不方便，所以我把紙再次折疊，這次是對折，使之與上一次的折痕重疊，此時新的折痕垂直于原來的折痕（如圖6），測量新折痕的夾角即可。

師：大家的做法非常好，二面角是一個空間圖形，這幾位同學(xué)測量的是一個平面角還是空間角？

生（齊答）：平面角。

師：為什么是平面角？

生4：大家所量的角都是紙的邊緣或折痕的夾角，是兩條交于一點的射線所成的角，符合平面角的定義。

師：前幾節(jié)課，我們在度量異面直線所成的角、線面角等空間角時，都是把空間角轉(zhuǎn)化成平面角進(jìn)行度量，那么二面角也不例外。

【設(shè)計意圖】度量是測量在數(shù)學(xué)中的抽象，測量是度量在現(xiàn)實世界的應(yīng)用。本教學(xué)環(huán)節(jié)通過讓學(xué)生動手測量二面角的大小，引導(dǎo)學(xué)生思考并發(fā)現(xiàn)測量的角其實是平面角而非空間角，從而得出立體幾何中空間角度量的本質(zhì)是平面角的度量，讓學(xué)生體會到引入二面角的平面角的必要性。

【探究活動2】

師：剛剛?cè)煌瑢W(xué)選擇的平面角有何不同？

生5：同學(xué)1和同學(xué)3選的平面角的兩邊都垂直于二面角的棱，同學(xué)2選的平面角的兩邊與棱不垂直。

師：你觀察得很仔細(xì)。大家覺得應(yīng)該選擇哪一種平面角來度量二面角呢？

（大部分學(xué)生選擇垂直的情況，也有一部分學(xué)生覺得垂直、傾斜都可以，還有極少數(shù)學(xué)生選擇傾斜的情況。）

師：大部分同學(xué)的選擇與歷史上數(shù)學(xué)家歐幾里得的選擇相同，他就是用這種垂直于棱的平面角來度量兩個平面所成角的大小。但是為什么歐幾里得選擇了垂直的情況，舍棄了傾斜的情況？理由是什么？

生6：如果是傾斜的情況，二面角的兩個半平面重合時，兩條傾斜的邊并不重合（如圖7）。

生7：不對，在這種情況下，兩條傾斜的邊可以重合，例如兩邊與棱的夾角都是30°。

生6：那在這種情況下，將二面角攤平，兩個半平面在同一平面上，二面角是平角，此時兩條傾斜的邊并不在同一條直線上（如圖8）。

師：兩位同學(xué)舉的反例都非常好?，F(xiàn)在我們知道，如果平面角的兩邊不與二面角的棱垂直，那么平面角就不能正確地表示二面角的開合程度。

生8：有沒有這種可能，傾斜的情況只是不能表示兩個半平面重合以及攤平的情況，但是其他情況是可行的？

生9：不對，傾斜的情況也不能正確地表示兩個半平面相互垂直的情況。

（該學(xué)生通過測量兩個半平面相互垂直時，兩種傾斜程度不同的平面角的大小，一種情況大于90°，另一種情況小于90°。這與歷史上美國數(shù)學(xué)家溫特沃斯的例證有異曲同工之妙。）

師：綜上可知，傾斜的平面角不能正確地反映二面角的開合程度。那么垂直的平面角能正確地反映二面角的開合程度嗎？

生10：可以，我可以用對折的紙來演示說明。

（學(xué)生用對折的紙演示平面角垂直于棱的情況。當(dāng)兩個半平面重合時，平面角的兩邊重合;當(dāng)兩個半平面垂直時，平面角的兩邊垂直;當(dāng)兩個半平面共面時，平面角的兩邊共線。）

師：通過剛才的演示可見，平面角的兩邊均垂直于棱時，它的開合程度與二面角一致。因此，我們選擇兩邊均垂直于棱的平面角來度量二面角。

【設(shè)計意圖】通過問題串引發(fā)學(xué)生對二面角的平面角定義合理性的思考。學(xué)生在交流環(huán)節(jié)相互質(zhì)疑、相互啟發(fā)，從而引發(fā)進(jìn)一步深入的思考。最后，通過生生交流、師生交流的若干次循環(huán)，學(xué)生定性地得到了二面角的平面角的定義合理性。在這一環(huán)節(jié)中，學(xué)生逐步體會到一個良好的數(shù)學(xué)定義不是憑空產(chǎn)生的。

【探究活動3】

師：剛才大家所演示的平面角都位于折紙的邊緣，然而我看到有的同學(xué)構(gòu)造了位于折紙的內(nèi)部的平面角。

（學(xué)生演示將直角三角板置于折紙內(nèi)部來構(gòu)造直二面角的情形。）

師：平面角有時在邊緣，有時在內(nèi)部，隨著位置的變化，它的大小會發(fā)生變化嗎？

（教師在PPT上展示兩個位置不同的平面角。）

生1：不會發(fā)生變化。

師：理由是什么？

生1：如圖9，AP⊥l，A1P1⊥l，且AP與A1P1共面，故AP∥A1P1，同理BP∥B1P1，根據(jù)空間等角定理可得∠APB=∠A1P1B1。

生2：不對，根據(jù)等角定理，這兩個角也有可能互補。

生1：兩組射線AP和A1P1、BP與B1P1方向分別相同，所以兩角只能相等。

師：由此可見，二面角的平面角的大小和它的頂點在棱上的位置無關(guān)。請大家總結(jié)一下二面角的平面角的定義。

生3：在二面角的棱上任取一點，過該點在兩個半平面內(nèi)分別作棱的垂線，所得平面角即為二面角的平面角。

（教師在PPT上展示二面角的平面角的概念，學(xué)生修正自己提出的概念。）

【設(shè)計意圖】如何自然地引入二面角的平面角的唯一性證明，這是教學(xué)中的一個難題。在本節(jié)課的折紙活動中，當(dāng)折紙的邊緣與折痕不垂直時，有些學(xué)生感到無法測量二面角，但學(xué)生想到了將三角板內(nèi)移，讓折痕垂直于三角板，從而構(gòu)造45°或90°的二面角。這樣就自然地產(chǎn)生了在二面角的棱上選取位置不同的平面角頂點時，平面角是否相等的問題，從而順利地引入平面角唯一性的證明。

（三）深化理解

通過幾個特殊情況的折紙活動，說明了平面角為什么不采用傾斜的情況來定義，初步讓學(xué)生認(rèn)識到垂直情形的合理性。上述教學(xué)環(huán)節(jié)是對平面角定義的合理性的定性探究，本教學(xué)環(huán)節(jié)繼續(xù)深入研究，對平面角定義的合理性進(jìn)行定量分析。

師：剛才我們通過三種特殊的二面角，初步體會了平面角定義的合理性，但是還不夠嚴(yán)密。數(shù)學(xué)史上有嚴(yán)格的證明來論證二面角平面角定義的合理性，但由于證明比較復(fù)雜，我們僅用實物來演示證明過程中一種情況：可公度的情況。

教師拿出三塊大小一樣的楔形蛋糕，向?qū)W生展示一塊蛋糕的兩個側(cè)面構(gòu)成了一個二面角，而蛋糕上沿的兩條棱構(gòu)成了該二面角的平面角。教師拿出兩塊蛋糕拼在一起，此時兩塊蛋糕的不重合的兩個側(cè)面構(gòu)成了一個新的二面角，相應(yīng)地，蛋糕上沿兩條不重合的棱構(gòu)成了新的二面角的平面角。

師：新二面角是原二面角的幾倍？

生：兩倍。

師：新二面角的平面角是原二面角的平面角的幾倍？

生：兩倍。

師：我再拿一塊蛋糕拼在一起，現(xiàn)在二面角與平面角分別是原來的幾倍？

生：三倍。

師：由此我們可以得出什么結(jié)論？

生：二面角大小的變化與平面角大小的變化是同比例的。

師：當(dāng)平面角為0°時，二面角的兩個半平面重合;當(dāng)平面角為90°時，二面角的兩個半平面垂直;當(dāng)平面角為180°時，二面角的兩個半平面也是平的。又因為二面角大小的變化與平面角大小的變化是同比例的，所以我們可以用二面角的平面角來度量二面角的大小。當(dāng)平面角為n°時，二面角的大小也為n°，所以二面角的范圍是0°≤n°≤180°。

【設(shè)計意圖】數(shù)學(xué)史上對二面角的平面角定義的合理性的定量證明，分為可公度情形和不可公度情形兩種情況。因為高中生沒有接觸過公度的概念，所以具體證明過程對他們來說并不易理解。但是，蛋糕模型作為可公度情形的一個簡單、直觀的例子，可以讓學(xué)生從定量的角度來理解平面角與二面角大小變化的同比例關(guān)系。

（四）例題應(yīng)用

在本教學(xué)環(huán)節(jié)，教師用兩道典型例題（等腰型的二面角、全等型的二面角），讓學(xué)生掌握二面角的平面角的作圖方法，以及如何計算二面角的大小。例題講解過程略。根據(jù)單元教學(xué)設(shè)計的規(guī)劃，更多的應(yīng)用問題將會在下一課時中講解。

（五）課堂小結(jié)

師：本節(jié)課大家有什么收獲？

生1：學(xué)習(xí)了二面角的概念以及兩種典型二面角的平面角的作圖方法。

師：這位同學(xué)談到了在知識和方法上的收獲，那么大家在數(shù)學(xué)思想上有何收獲？

生2：學(xué)到了化歸思想。

生3：體會到了學(xué)習(xí)立體幾何時，實踐操作的重要性，以及給出數(shù)學(xué)定義的時候需要考慮嚴(yán)謹(jǐn)性、合理性。

生4：數(shù)學(xué)的發(fā)展不是一蹴而就的，數(shù)學(xué)家也會犯錯誤、走彎路，但是數(shù)學(xué)家們的不懈努力創(chuàng)造了現(xiàn)在的數(shù)學(xué)成就。

師：大家總結(jié)得非常好。我再補充一點，立體幾何的概念大都是從現(xiàn)實生活中抽象出來的，因此我們也要重視數(shù)學(xué)抽象的重要性。

【設(shè)計意圖】在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生從知識、方法、數(shù)學(xué)思想三個層面總結(jié)本節(jié)課的收獲，充分挖掘本節(jié)課的教育價值[6]。

四、結(jié)語

課后問卷調(diào)查顯示，97.8%的學(xué)生認(rèn)為這節(jié)課中數(shù)學(xué)史內(nèi)容對學(xué)習(xí)有幫助，93.3%的學(xué)生能正確掌握二面角、二面角的平面角的定義;88.9%的學(xué)生能夠正確地作出給定二面角的平面角;84.4%的學(xué)生能夠解釋二面角的平面角定義的合理性，包括從不變性、等比例變化等角度來解釋。本節(jié)課的亮點和價值筆者用五個“一”來概括。

（1）一個預(yù)測的窗口。歐幾里得曾經(jīng)給出了不完善的二面角定義，這也是學(xué)生在理解二面角概念過程中的一個常見錯誤。數(shù)學(xué)史上的謬誤，為教師預(yù)測學(xué)生學(xué)情和潛在的學(xué)習(xí)困難打開了一扇窗戶。

（2）一條有效的路徑。數(shù)學(xué)史料中對于二面角的平面角的定義合理性的論述，作為教材的補充材料，為學(xué)生發(fā)展邏輯推理的核心素養(yǎng)提供了一條有效的路徑。學(xué)生通過這堂課的學(xué)習(xí)，初步接觸了如何討論數(shù)學(xué)定義的合理性問題。

（3）一個探究的機(jī)會。為了有效落實“把課堂還給學(xué)生”的教學(xué)理念，本節(jié)課為學(xué)生提供了豐富的探究機(jī)會，而探究的問題則取材于歷史的素材，由學(xué)生在前序的探究過程中自然地提出新的探究問題。

（4）一次突破的嘗試。融入數(shù)學(xué)史的二面角概念教學(xué)并不常見，而在概念教學(xué)中加入關(guān)于二面角的平面角定義合理性的探究，是一次突破性的嘗試。這對于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好的學(xué)生來說，是基于學(xué)情的一次合理突破，也是提升學(xué)生能力的一次有效嘗試。

（5）一節(jié)難忘的課堂。從課后學(xué)生的反饋來看，學(xué)生對數(shù)學(xué)史的內(nèi)容以及直觀的蛋糕模型都具有深刻的印象，這說明本節(jié)課精心設(shè)計的亮點得到了學(xué)生的肯定，而這些亮點將會逐步改變數(shù)學(xué)課在學(xué)生心中枯燥乏味的印象。

參考文獻(xiàn)：

[1]歐幾里得.幾何原本[M].蘭紀(jì)正，朱恩寬，譯.西安：陜西科學(xué)技術(shù)出版社，2003.

[2]WALKER T.Elements of geometry[M].Boston：Richardson & Lord，1829.

[3]GREENLEAF B.Elements of geometry[M].Boston：Robert S.Davis & Company，1859.

[4]SYKES M，COMSTOCK C E.Solid geometry[M].Chicago：Rank Mcnally & Company，1922.

[5]LEGENDRE A M.Elements of geometry[M].Cambridge，N.E.：The University Press，1794.

[6]余慶純，汪曉勤.基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化課例研究[J].中小學(xué)課堂教學(xué)研究，2021（1）：5-9.

（責(zé)任編輯：陸順演）