基于“四度六步”教學法的“從算式到方程”教學設計與反思

【摘?要】文章基于“四度六步”教學法的理論基礎與實踐架構進行設計，采用“溫故—引新—探究—變式—嘗試—提升”六步教學模式，從學生熟悉的相等關系入手，創(chuàng)設真實問題情境，選用有梯度的問題，引導學生先嘗試如何用算術方法解決，再逐步引導學生合作探究列出含未知數(shù)的式子表示有關量，并進一步依據(jù)相等關系列出含未知數(shù)的等式——方程，以突出方程的根本特征，并體會代數(shù)方法的簡便性。在教學中，教師應盡可能做到自然引出方程、一元一次方程及方程的解的概念，構建用一元一次方程解決實際問題的數(shù)學模型，創(chuàng)造“有溫度、有梯度、有深度、有寬度”四度精彩課堂。

【關鍵詞】“四度六步”教學法;方程;算式

【作者簡介】戴啟猛，南寧市教育科學研究所所長，正高級教師，廣西特級教師，廣西師范大學教育學部特聘研究員，廣西“八桂教育家搖籃工程”培養(yǎng)對象，教育部基礎教育數(shù)學教學指導專業(yè)委員會委員，初中數(shù)學“四度六步”教學法創(chuàng)始人。

一、問題提出

方程是含有未知數(shù)的等式，因此方程概念的教學要從認識等式開始。教師要讓學生經(jīng)歷由數(shù)的等式到含有未知數(shù)的等式，通過不等到相等的比較，為方程概念的引入提供豐富的感性認知的基礎。但在當前的初中數(shù)學課堂教學中，存在忽視數(shù)學概念的抽象邏輯建構特征，過于強調(diào)情境化、生活化、活動化的傾向。這實質上是重教學形式而忽略學科本質內(nèi)涵的體現(xiàn)[1]。陳邦河院士指出：“數(shù)學根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也！”事實上，建立方程的概念是學習解方程的基礎。雖然有關方程的幾個概念，各版本教材都只做描述，似乎沒有下具體定義，但并沒有削弱理解概念對于掌握方法的作用。例如，只有理解方程的含義，才可能明確解方程是解決這樣的問題：當x取什么數(shù)值時，能使等式成立。又如，只有理解方程的解的含義，才能明確應當怎樣檢驗方程的解。為此，筆者以人教版七年級上冊“從算式到方程”一課為例，基于“四度六步”教學法的理論基礎與實踐架構進行設計[2]22，采用“溫故—引新—探究—變式—嘗試—提升”六步教學模式進行教學設計和研究。

二、教學過程

（一）復習提問，溫故孕新

師：我們知道表示數(shù)量的關系有相等和不相等之分，誰能說出表示相等或不相等關系的式子？

生：2+3=5，50+50=100，50+10>50，50+10<100等。

師：這些都是等號或不等號兩邊都是具體數(shù)字的關系式。誰能說出等號或不等號兩邊不完全是具體數(shù)字的等式呢？

生：2+x=5，2x=50，50+2y=100，3y+1=4等。

師：太棒了。因為我們在小學已經(jīng)學過一些帶有字母或未知數(shù)的等式。

【設計意圖】等式是方程的生長點，教師在教學方程的概念時可從等式引入。因為在小學的數(shù)學學習中，學生對等式已有初步的認識，教師讓學生回憶等式，尤其是含有字母（未知數(shù)）的等式，為方程概念的引入打下基礎，符合學生的認知規(guī)律。

（二）創(chuàng)設情境，引入課題

在學生復習完舊知識后，教師引導學生解決下列實際問題。

（1）用一根長24cm的鐵絲圍成一個正方形，正方形的邊長是多少？

（2）一臺計算機已使用1700h，預計每月再使用150h，經(jīng)過多少個月這臺計算機的使用時間達到規(guī)定的檢修時間2450h？

教師請學生上臺板演，學生列舉的方法如下。

（1）方法一：24÷4=6。

方法二：設正方形的邊長為xcm，依題意列出方程為4x=24。

方法二：設x個月這臺計算機的使用時間達到2450h，那么在x個月里這臺計算機使用了150x h，依題意列方程為1700+150x=2450。

學生以上的解答，歸納起來主要使用了兩種方法：一是列算式，二是列方程。教師引導學生說明以上方法二所列式子等號兩邊各表示的意義。

師：同學們能否說出這兩種方法的不同。

生：列算式就是根據(jù)題目中的已知數(shù)直接列出式子，再求出結果;列方程則先是將所求的量設為一個字母（未知數(shù)），然后用含有這個字母的式子去表示相關的量，再根據(jù)問題中的相等關系列出等式，這個等式既含有已知數(shù)，又含有未知數(shù)。

師：盡管方程在小學涉及的內(nèi)容不多且簡單，但從同學們的發(fā)言來看，大家對列方程還是深有體會的。哪位同學還記得什么是方程？

生：方程是含有未知數(shù)的等式。

教師板書課題，引出新知識。

【設計意圖】教師創(chuàng)設真實問題情境，并通過兩個有梯度的問題，讓學生嘗試用學過的知識解決問題。教師以提問的方式讓學生說出式子等號兩邊各表示的意義，旨在打開學生的思維，引導學生關注列出的方程不僅是等式，而且等號兩邊含未知數(shù)的式子還有實際意義，讓學生進一步體會依據(jù)問題中的相等關系列出含未知數(shù)的等式，即方程的合理性。教師要求學生比較列算式與列方程的不同，目的不僅在于突出方程的根本特征，引出方程的定義，而且使學生認識到方程是比算式更有力的數(shù)學工具，給解決問題帶來便利。

（三）合作探究，活動領悟

教師請學生閱讀教材章前圖及其表格，如圖1，讓學生說出想到的數(shù)學問題。

【設計意圖】本節(jié)課是章節(jié)起始課，一方面可利用章前言總結概括本章要研究的內(nèi)容，起到承上啟下的作用;另一方面可利用章前圖及其表格，引導學生說出圖表反映的信息，這樣不僅有利于訓練學生三種數(shù)學語言（圖形、表格及文字）的轉換能力，更有助于學生理解本節(jié)課將要重點探究的問題——行程問題。

問題?一輛客車和一輛卡車同時從A地出發(fā)沿同一公路同方向行駛，客車的行駛速度是70km/h，卡車的行駛速度是60km/h，客車比卡車早1h經(jīng)過B地。A，B兩地間的路程是多少？

師：你會用算術方法解決這個問題嗎？列算式試試。

在學生用算術方法解決問題后，教師引導學生用列方程求解（只要求列出方程，不要求解方程）。題目中涉及幾種不同性質的量，為了厘清關系，教師要求學生借鑒章前圖中的表格分析題意，最后請學生代表說明自己的解題思路。

生2：我們組借鑒章前圖的表格分析題意，繪制如下表格（見表1）。

師：這個小組分析題意的方法很特別，你們是怎么想出來的呢？小小表格把題目中涉及的相關量及它們的關系呈現(xiàn)得非常清楚，希望同學們借鑒。其他小組還有什么不同的方法嗎？

生3：還可以設客車行駛到B地所用的時間為t，根據(jù)兩車行駛的路程是一樣的，得出等式70t=60（t+1）。

師：太棒了。請同學們比較這兩個小組的解法，它們有什么不同？哪個更好理解呢？

教師請學生觀察本節(jié)課列出的方程，并說出它們的共同特征。

【設計意圖】該教學設計通過設置系列問題和不斷追問的方式，激發(fā)學生學習的積極性，強化學生用表格分析行程問題的方法。教師適時小結，引導學生歸納解法的不同及所列方程的共同之處，突顯方程及一元一次方程的本質特征和用方程解決實際問題的優(yōu)越性，培養(yǎng)學生觀察比較和歸納概括的能力，滲透數(shù)學抽象的數(shù)學核心素養(yǎng)。

（四）師生互動，變式深化

通過以下變式，師生共同探究解決實際問題。

變式一：一輛客車和一輛卡車分別從A，B兩地同時出發(fā)沿同一公路反方向行駛，客車的行駛速度是70km/h，卡車的行駛速度是60km/h，客車比卡車早1h到達目的地。A，B兩地間的路程是多少？

變式二：某校女生占全體學生人數(shù)的52%，比男生多80人，這所學校有多少名學生？

簡解如下：

師：列方程是解決問題的重要方法，但如何求出方程中的未知數(shù)呢？比如引例中的兩個方程的未知數(shù)如何求？

教師引導學生觀察方程，弄清楚方程的解。

【設計意圖】初中數(shù)學課堂教學，如果沒有思維訓練的“量”和“質”，就沒有數(shù)學課的味道。該教學環(huán)節(jié)通過師生互動，鼓勵學生大膽質疑，通過問題變式，將課程引向深入，促進學生對新知識的理解。

（五）嘗試練習，鞏固提高

1.判斷下列方程是不是一元一次方程，并說明理由。

2.根據(jù)下列問題，設未知數(shù)，并列出方程。

（1）環(huán)形跑道一周長400m，沿跑道跑多少周，可以跑3000m？

（2）一個梯形的下底比上底多2cm，高是5cm，面積是40cm2，求上底長度。

追問?結合習題2，并觀察本節(jié)課的幾個實際問題，想想我們是如何把實際問題轉化成一元一次方程的？

教師幫助學生學會分析實際問題中的數(shù)量關系，并利用其中的相等關系列出方程，使學生認識到這是用數(shù)學解決實際問題的一種方法。

【設計意圖】如果說“溫故”“引新”“探究”“變式”等四個教學環(huán)節(jié)都有教師“扶”的因素，那么“嘗試”環(huán)節(jié)就是讓學生真正地自主學習和嘗試學習。在此環(huán)節(jié)，教師應把握三個要領：一是“嘗試”應適合學生認知層次;二是“嘗試”應指向新知的鞏固提高;三是“嘗試”應及時回授練習效果。在教學中，筆者經(jīng)常發(fā)現(xiàn)一些學生“聽懂但不會做，會做但又做不對。”所以，有效教學的一個重要指標，就是在每一節(jié)課中，教師必須引導學生至少要完整且規(guī)范地獨立解答一道題。同時，教師以“觀察本節(jié)課的幾個實際問題，想想我們是如何把實際問題轉化成一元一次方程的？”歸納出把實際問題轉化為一元一次方程的過程，初步體會數(shù)學建模的數(shù)學核心素養(yǎng)。

（六）適時小結，興趣延伸

師：誰能借助老師的板書，畫出一個結構圖以總結這節(jié)課所學的內(nèi)容？

學生在教師的引導下畫出如圖3所示的結構圖。

【設計意圖】在課堂教學中，“提升”教學環(huán)節(jié)應把握三個關鍵：一是幫助學生掃除思維障礙，恰時點撥;二是指向主要知識方法思路，恰點歸納;三是重在激發(fā)學生的學習興趣，恰到好處。在本節(jié)課例中，教師在前述的教學過程中已經(jīng)做了恰時點撥、恰點歸納、恰當激勵，此環(huán)節(jié)只是對原有的教學板書進行適當?shù)难a充和完善，對關鍵的思想方法進行必要的強調(diào)。

三、教學反思

（一）基于“四度六步”教學法的設計，讓課堂教學如行云流水

“四度六步”教學法，是筆者歷時20多年教研實踐后提出的數(shù)學教育教學主張和策略，以追求“四度”（有溫度、有梯度、有深度和有寬度）精彩課堂為目的，遵照“溫故（復習提問，溫故孕新）——引新（創(chuàng)設情境，引入課題）——探究（合作探究，活動領悟）——變式（師生互動，變式深化）——嘗試（嘗試練習，鞏固提高）——提升（適時小結，興趣延伸）”六個環(huán)節(jié)精準設計和組織的初中數(shù)學教學方法。其中“四度”課堂是教學主張、教學理念，“六步”環(huán)節(jié)是實踐架構，也是教學策略?！八亩攘健苯虒W法的目標是創(chuàng)造更加精彩的課堂，操作模型如圖4所示。[2]22

“從算式到方程”旨在讓學生體會列算式與列方程在解決實際問題中的區(qū)別，進而逐步體會列方程的優(yōu)越性，這也是本課教學需要突破的難點。本節(jié)課，筆者對教材進行了適當?shù)闹亟M，把教材中部分例題前置，以達到溫故孕新的效果，通過引導學生用列算式或列方程解決問題，喚起他們對小學所學簡易方程知識的記憶和理解。本課教學從“溫故”到“引新”，再到“探究”“變式“，緩坡起步，梯度設計，環(huán)環(huán)相扣，讓學生在經(jīng)歷一個個真實情境的問題中初步體會用列方程解決實際問題的便捷。

（二）基于“四度六步”教學法的設計，讓學生的學習隨時發(fā)生

本節(jié)課注重對章前言、章前圖及章前表格的合理使用。筆者請學生閱讀章前圖及其表格以開啟新課教學，這不僅讓學生學會用教材，還讓學生準確把握數(shù)學學習規(guī)律，為引例的合作探究做充分的鋪墊。主體不參與，學習就不會發(fā)生。在教學中，教師要積極創(chuàng)設問題情境，激發(fā)學生參與熱情，努力在課堂上搭建思維的“腳手架”，讓學生自信且從容地向高處攀登。同時，教師要適時利用“誰還有不同的解法”“請同學們看看這兩個小組的解法，大家比較一下，它們有什么不同”“其他小組還有什么不同的方法嗎？”等問題引發(fā)學生思考，發(fā)展學生的思維能力。

“四度六步”教學法以追求更加精彩的課堂為目標，而一節(jié)精彩的數(shù)學課，關鍵在于課堂的“生態(tài)”和師生的“狀態(tài)”。在精彩的數(shù)學課堂中，學生應該是開放的、歡快的，能看到學生自信的眼神，聽到學生生長的聲音，師生的心靈應得到舒展，情感得到升華[3]。

參考文獻：

[1]方厚良.概念教學要重視概念的“精致”過程[J].數(shù)學通訊，2018（2）：10-12.

[2]戴啟猛.基于初中數(shù)學“四度六步”教學法的理論基礎與實踐架構[J].中小學課堂教學研究，2020（3）：22-26，39.

[3]戴啟猛.創(chuàng)造更加精彩的課堂：初中數(shù)學“四度六步”教學法的20年實踐與探索[J].廣西教育，2020（5）：15-19.

（責任編輯：陸順演）