明概念挖性質(zhì)探本源
——以一道三校聯(lián)考函數(shù)試題的本源及其變式為例

廣州市鐵一中學(510600)何重飛

函數(shù)是貫穿高中數(shù)學課程的一條主線,函數(shù)試題作為綜合考查學生數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算、直觀想象等素養(yǎng)的重要載體, 是高考數(shù)學必考內(nèi)容之一, 而函數(shù)性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性)是歷年高考考查的重中之重,其中利用函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、對稱性求范圍等綜合性問題更是高考的?？?在“一核四層四翼”新高考評價體系下,高考考查能力更考查素養(yǎng),評價理念上也逐漸由傳統(tǒng)的“知識立意、能力立意”向“價值引領(lǐng)、素養(yǎng)導向、能力為重、知識為基”的綜合評價轉(zhuǎn)變,近幾年高考考查函數(shù)性質(zhì)這一考點的試題基本遵循“穩(wěn)中有變、立足基礎(chǔ)、突出能力、銳意求新”的命題指導思想,預計今后的命題將延續(xù)這一原則.

下面筆者以一道高三三校聯(lián)考函數(shù)小壓軸試題為例,談?wù)勗撛囶}的設(shè)計思路、考查意圖、解法探究及其本源和變式等,并就函數(shù)性質(zhì)這一考點內(nèi)容的復習備考給出幾點思考和建議,希望可以得到同行們的批評指正.

一、試題及評析

題目(2021 屆高三理科三校(廣鐵一中、廣大附中、廣外)期中聯(lián)考第16 題)已知函數(shù)f(x)=ex+ex-1+若f(a)≥e++3,則a的取值范圍是____.

評析這是一道題干給出具體函數(shù)解析式,求含參數(shù)的函數(shù)不等式中參數(shù)的取值范圍問題,題干簡潔明了,但內(nèi)涵豐富,是一道難得考查能力更考查素養(yǎng)的好題.函數(shù)看似復雜,其實是由四個我們熟知的指數(shù)函數(shù)和一個常數(shù)相加組合而成, 其解析式結(jié)構(gòu)清晰優(yōu)美, 具有一定的對稱性(需要挖掘).如果直接將參數(shù)a帶入函數(shù)解析式再解題干所給的條件不等式將會得到一個超越不等式,求解的難度非常大,想必這也不是命題者的設(shè)計初衷.因此,解決這個問題應(yīng)該另辟蹊徑,仔細分析題干,觀察函數(shù)構(gòu)造特點,聯(lián)想相關(guān)函數(shù)性質(zhì)的定義, 從函數(shù)本身的性質(zhì)出發(fā), 找尋突破口, 回歸本質(zhì),探究其本源.

解答解答本題之前,我們先來回顧函數(shù)(本文出現(xiàn)的函數(shù)都假定為連續(xù)的)的一個定義和性質(zhì):

定義設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I, 若對?x ∈I, 都有f(a+x)=f(a-x)(或f(x)=f(2a-x)), 則稱f(x)是以直線x=a為對稱軸的軸對稱函數(shù), 反之, 若f(x)是以直線x=a為對稱軸的軸對稱函數(shù), 則對?x ∈I, 都有f(a+x)=f(a-x)(或f(x)=f(2a-x));特別的,當a=0時,f(x)為偶函數(shù),此時直線x= 0(y軸)為函數(shù)f(x)的對稱軸.

性質(zhì)1設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I, 若f(x)是以直線x=a為對稱軸的軸對稱函數(shù), 且函數(shù)f(x)在對稱軸右側(cè)定義域內(nèi)單調(diào)遞增(遞減),則f(x1)≤f(x2)?|x1-a|≤|x2-a|(|x1-a|≥|x2-a|)(x1,x2∈I).

現(xiàn)在研究題干中函數(shù)f(x)的奇偶性、對稱性及其單調(diào)性.由題意知函數(shù)f(x)的定義域為R,易知f(x)為非奇非偶函數(shù),但注意到f(1-x)=e1-x+e-x++1=f(x), 故由定義知函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=對稱; 由于f′(x)=故當x≥時,f′(x)≥0,此時函數(shù)f(x)單調(diào)遞增, 再由對稱性知函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減.觀察到f(0)= e++3, 所以題干所給條件不等式等價于f(a)≥f(0), 故由函數(shù)性質(zhì)知解得a的范圍為(-∞,0]∪[1,+∞).

反思通過上述解答過程可以發(fā)現(xiàn),本題考查內(nèi)容較多,綜合性較強,對考生能力及素養(yǎng)要求較高.上述解答過程中的“注意到”、“觀察到”對于考生來講是比較難的,這也是本題的難點所在,如何突破這一難點,挖掘出函數(shù)所具有的對稱性質(zhì),考生除了要具備敏銳的觀察力,熟悉函數(shù)的有關(guān)定義,還要在平時訓練中善于總結(jié)函數(shù)的一些基本性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性)及其數(shù)學表征形式.解答中的“注意到”并不是憑空想象出來的,而是通過分析函數(shù)的構(gòu)造特點,發(fā)現(xiàn)其背后隱含的對稱性質(zhì)得到的.

二、試題本源探究及變式

1.問題再探究

我們從函數(shù)的自身結(jié)構(gòu)知函數(shù)f(x)=+ 1, 若假設(shè)函數(shù)g(x)= ex+則函數(shù)f(x)=g(x)+g(x-1)+1,易知g(x)為R 上的偶函數(shù),其對稱軸為直線x=0(y軸),因為函數(shù)g(x-1)圖像是由函數(shù)g(x)圖像整體向右平移一個單位長度得到,故g(x-1)是以直線x= 1 為對稱軸的軸對稱函數(shù).分析至此,我們自然會想,兩個形狀一樣,對稱軸不同的兩個軸對稱函數(shù)之和是否還為軸對稱函數(shù)?

帶著上述問題, 我們不妨假設(shè)存在實數(shù)m, 使得f(2m-x)=f(x).因為f(x)=g(x)+g(x-1)+1,且g(x)為偶函數(shù),即有g(shù)(-x)=g(x),又f(2m-x)=g(2m-x)+g(2m-1-x)+1=f(x),可得(此方程無解), 或因此有f(1- x)=f(x), 故f(x)是以直線x=為對稱軸的軸對稱函數(shù).

事實上,對于一般情形,筆者研究發(fā)現(xiàn)也有類似性質(zhì)

性質(zhì)2設(shè)g(x)為偶函數(shù),則f(x)=g(x-a)+g(xb)+c(a,b,c ∈R)是以直線x=為對稱軸的軸對稱函數(shù).

證明因為f(x)=g(x-a)+g(x-b)+c,g(x)為偶函數(shù),故g(x-a)=g(a-x),g(x-b)=g(b-x),又因為f(a+b-x)=g(a+b-x-a)+g(a+b-x-b)+c=g(a-x)+g(b-x)+c=f(x),故由定義知f(x)是以直線為對稱軸的軸對稱函數(shù).

2、試題的本源與變式

從近幾年的高考試題來看,可以發(fā)現(xiàn)利用函數(shù)對稱性求解含參不等式范圍問題是一個高頻考點,我們可以以本題為例開展變式題組教學,從本題的源頭出發(fā),通過變式讓學生從中體會函數(shù)這一性質(zhì)的本質(zhì),掌握這一考點的考查方式及其變化規(guī)律.

變式1題干簡潔明了,直接了當考查利用函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)求范圍問題.(注意定義域)

題1(母題1)已知f(x)是定義在I上且為單調(diào)遞增(遞減)的函數(shù),則滿足f(1-2x)≤f(x)的x的取值范圍是____.(直接考查函數(shù)單調(diào)性性質(zhì))

變式2題干給出具體函數(shù)(能通過推理比如求導判斷其單調(diào)性),先要判斷函數(shù)單調(diào)性,再根據(jù)性質(zhì)去求范圍.

題組2(1)已知函數(shù)f(x)= lnx,則滿足f(1-2x)≤f(x)的x的取值范圍是____.(注意定義域)

(2)已知函數(shù)f(x)=則滿足f(1-2x)≤f(x)的x的取值范圍是____.(以分段函數(shù)形式考查函數(shù)單調(diào)性性質(zhì))

變式3題干中給出具體函數(shù)(有些是基本初等函數(shù)或其組合,可直接觀察單調(diào)性,有些需求導來判斷單調(diào)性),對條件不等式進行改造,使其一邊為常數(shù).(找到常數(shù)作為函數(shù)的象所對應(yīng)的原象是關(guān)鍵)

題組3(1)已知函數(shù)f(x)=則滿足f(1-2x)≤的x的取值范圍是_____.(對應(yīng)的函數(shù)的原象即f(-1)=是解題的關(guān)鍵)

(2)已知函數(shù)f(x)=xex,則滿足f(3+2x)≥f(x2)的x的取值范圍是____.(右邊x2≥0 是隱含信息也是關(guān)鍵)

變式4題干給出抽象函數(shù),給出一些可以推理判斷函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)命題或條件,再行求解范圍.

題組4(1)已知函數(shù)f(x)的定義域為I,且對?x ∈I,都有f′(x)≥0,則滿足f(1-2x)≥f(x)的x的取值范圍是____.

(2)已知函數(shù)f(x)的定義域為I, 對?x1,x2∈I且x1/=x2,都有＜0(＞0)(或(x1-x2)(f(x1)-f(x2))＜0(＞0)),則滿足f(1-2x)≤f(x)的x的取值范圍是____.

(3)已知函數(shù)f(x)的定義域為I(a,b ∈I且a ＜b),且f(a)＜ f(b), 若對?x1,x2∈ I且x1/=x2, 都有f(x1)/=f(x2), 則滿足f(1-2x)≤f(x)的x的取值范圍是____.(題干中給出單調(diào)性等價命題)

變式5題干中函數(shù)增加對稱軸屬性(定義、性質(zhì)或具體函數(shù)本身具有對稱軸),結(jié)合單調(diào)性再求范圍.

題組5(1)(母題2)已知f(x)是定義域為I的偶函數(shù), 且在y軸右側(cè)定義域內(nèi)單調(diào)遞增(遞減), 則滿足f(1-2x)≤f(x)的x的取值范圍是____.

(2)已知函數(shù)f(x)的定義域為I, 若對?x ∈ I, 都有f(a+x)=f(a - x)( 或f(x)=f(2a - x)), 且函數(shù)f(x)在數(shù)軸點a右側(cè)定義域內(nèi)單調(diào)遞增(遞減), 則滿足f(1-2x)≤f(x)的x的取值范圍是____.

(3)已知函數(shù)f(x)的定義域為I,若f(x+a)是偶函數(shù),且函數(shù)f(x)在數(shù)軸點a右側(cè)定義域內(nèi)單調(diào)遞增(遞減),則滿足f(1-2x)≤f(x)的x的取值范圍是____.(函數(shù)f(x)圖像關(guān)于x=a對稱)

(4)已知函數(shù)f(x)= ex++x2+a, 則滿足f(1-2x)≤f(x)的x的取值范圍是____.(函數(shù)f(x)為偶函數(shù)且求導易知函數(shù)在y軸左側(cè)遞減,右側(cè)遞增.)

(5)已知函數(shù)f(x)= ln(1+|x-1|)-則滿足f(1-2x)≤f(x)的x的取值范圍是____.(設(shè)函數(shù)g(x)=ln(1+|x|)-易知函數(shù)g(x)為偶函數(shù)且函數(shù)在y軸右側(cè)遞增,且f(x)=g(x-1),所以直線x= 1 是函數(shù)f(x)對稱軸,在對稱軸左側(cè)遞減右側(cè)遞增)

(6)已知函數(shù)f(x)= ex-2++(x-1)2+1, 則滿足f(1-2x)≤f(x)的x的取值范圍是____.(設(shè)函數(shù)g(x)=ex-1++x2+1,易知函數(shù)g(x)為偶函數(shù)且函數(shù)在y軸右側(cè)遞增,且f(x)=g(x+1),所以直線x=-1 是函數(shù)f(x)對稱軸,在對稱軸左側(cè)遞減右側(cè)遞增)

(7)已知函數(shù)f(x)=ax2-2ax+b(a/=0)無最小值,則滿足f(1-2x)≤f(x)的x的取值范圍是____.(題干隱含拋物線開口向下,在對稱軸左側(cè)遞增右側(cè)遞減)

(8)已知函數(shù)f(x)=g(x-2a)+g(x-2b)+c的定義域為I,且g(x)為偶函數(shù),若函數(shù)f(x)在數(shù)軸點a+b右側(cè)定義域內(nèi)單調(diào)遞增(遞減),則滿足f(1-2x)≤f(x)的x的取值范圍是____.(性質(zhì)2 的應(yīng)用)

(9)已知函數(shù)f(x)= 2x2-2x+|x|+|x-1|+3, 則滿足f(1-2x)≤f(x)的x的取值范圍是____.(整理可得函數(shù)f(x)= (x2+|x|)+ ((x-1)2+|x-1|)+ 2 =g(x)+g(x -1)+ 2, 其中g(shù)(x)=x2+|x|, 利用性質(zhì)2求解)

(10)(本文開篇討論的原題)已知函數(shù)f(x)= ex+ex-1+e-x+e1-x+1,則滿足f(1-2x)≤f(x)的x的取值范圍是____.

變式6利用兩個形狀一樣,對稱軸(對稱中心)不同的兩個函數(shù)之積構(gòu)成的新函數(shù)所具有的對稱軸屬性(性質(zhì)的證明留給感興趣的讀者),結(jié)合單調(diào)性求解范圍.

題組6(1)已知函數(shù)f(x)=k·g(x-2a)·g(x-2b)+t的定義域為I, 且g(x)為偶函數(shù)(奇函數(shù)), 若函數(shù)f(x)在數(shù)軸點a+b右側(cè)定義域內(nèi)單調(diào)遞增(遞減), 則滿足f(1-2x)≤f(x)的x的取值范圍是____.

(2)已知函數(shù)f(x)=2x4-4x3+6x2-4x+5,則滿足f(1-2x)≤f(x)的x的取值范圍是____.(分析整理可得函數(shù)f(x)=2(x2+1)[(x-1)2+1]+1=2·g(x)·g(x-1)+1,其中g(shù)(x)=x2+1 為偶函數(shù)且滿足(1)中的函數(shù)構(gòu)造,故其對稱軸為直線x=

(3)已知函數(shù)f(x)= 2(ex -e-x)(ex-1-e1-x)+ 1,則滿足f(1-2x)≤f(x)的x的取值范圍是____.(設(shè)g(x)=ex-e-x,知其為奇函數(shù),則f(x)=2g(x)·g(x-1)+1且其對稱軸為x=

變式7題干中增加函數(shù)對稱中心屬性,改變題設(shè)中的條件不等式,再利用函數(shù)單調(diào)性求范圍問題.

題組7(1)已知f(x)是定義域為I,對稱中心為(a,b)的中心對稱函數(shù)(或?qū)?x ∈I,都有f(a+x)+f(a-x)=2b(或f(2a-x)+f(x)= 2b)),且在數(shù)軸點a右側(cè)定義域內(nèi)單調(diào)遞增(遞減),則滿足f(t2)+f(2t)＜2b(＞2b)的t的取值范圍是____.(這一重要性質(zhì)的證明留給感興趣的讀者)

(2)已知函數(shù)f(x)=+x+ 1, 則滿足f(a2)+f(a)≤2 的a的取值范圍是____.(注意定義域,易知(0,1)是函數(shù)f(x)的對稱中心, 且求導可知函數(shù)在(0,1)單增.)

(3)已知函數(shù)f(x)=+2x+1,則滿足f(a2)+f(2a)≥3 的a的取值范圍是____.(易知(0,是函數(shù)f(x)的對稱中心,求導可知函數(shù)在(0,+∞)單增.)

變式8考查的本質(zhì)一致,引進參數(shù),通過推理分析求參數(shù)范圍,或者改變提問方式.

題組8(1)已知函數(shù)f(x)=(a ＞0 且a /= 1), 若不等式f(ax2+bx+c)＞0 的解集為(1,2), 且b ∈(-5,1),則a的取值范圍是____.

(2)已知函數(shù)f(x)=ln(3x++1,若對m ＞0,都有f(a)≤m+-5,則a的取值范圍是____.

(3)已知函數(shù)f(x)= 21-|1-x|+1,若a=f(20.3),b=f(lg 2),c=f(log0.53),則a,b,c的大小關(guān)系是____.

三、教學啟示及備考建議

1、熟讀課標、研究高考、把握方向

課程標準是服務(wù)教學,指導教學的綱領(lǐng)性文件,熟讀課標是一線教師的基本要求,我們需明確課標中對函數(shù)教學的內(nèi)容和要求.在“一核四層四翼”新高考評價體系下,要認真研究高考,做真題、研真題、用真題,歷年高考真題為我們提供了高考考查的內(nèi)容、范圍、力度和要求,研究真題我們才能明確考試方向,掌握命題規(guī)律,才能有的放矢,把握備考方向,提高備考效率.

2、回歸教材、重視概念、注重基礎(chǔ)高考命題源于教材又高于教材,許多高考試題的原型就是教材例習題的改編,因此教師們在這一考點的備考復習教學中須立足教材,吃透課本中的典型例習題,落實基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法和基本活動經(jīng)驗.《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》明確指出:“高中數(shù)學課程應(yīng)該返璞歸真,努力揭示數(shù)學概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì).”數(shù)學概念是數(shù)學的本質(zhì),無概念則無規(guī)則可言,對于相對抽象的函數(shù)及其性質(zhì),概念更是至關(guān)重要.備考時應(yīng)該著重強調(diào)函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性)的基本概念及其數(shù)學表征形式的推理論證,引導學生掌握奇偶函數(shù)以及對稱函數(shù)的一些基本構(gòu)造原理,加強學生對這一考點基礎(chǔ)知識的訓練.解題教學時,應(yīng)該引導學生回顧概念的基礎(chǔ)上對題目信息進行加工整理和挖掘,重視解決這一類問題經(jīng)常用到的數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與劃歸、函數(shù)與方程等數(shù)學思想方法的應(yīng)用,培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力.

3、精選例題、變式訓練、提高效率在復習備考中,各類試題試卷非常多,教師們應(yīng)該在明確考綱、熟悉高考真題的基礎(chǔ)上,依綱精心選擇適合本班學生的、恰當?shù)?、質(zhì)量高的試題試卷讓學生加以學習與訓練,避開偏題和怪題,提高備考效率.函數(shù)試題綜合性強,解法靈活,抽象思維要求較高,在備考教學中適當開展“追根溯源、變式訓練、題組教學”可有效的揭示解題規(guī)律,提高學生數(shù)學抽象素養(yǎng),培養(yǎng)學生思維的靈活性和創(chuàng)造性,從而達到復習的目的和效果.