探究Taylor公式視角下的偏移問(wèn)題

華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 陳禧杰

一、極值點(diǎn)偏移和拐點(diǎn)偏移

極值點(diǎn)的定義大家是比較熟悉的, 即若f(x0)是函數(shù)f(x)的極大(小)值,則x0為函數(shù)f(x)的極大(小)值點(diǎn),但拐點(diǎn)的定義可能不甚了解.

定義1[1]設(shè)f(x)在x0處連續(xù).若曲線y=f(x)在(x0,f(x0))左右兩側(cè)的上下凹凸性相反,則稱(x0,f(x0))為曲線y=f(x)的拐點(diǎn).

結(jié)合函數(shù)凹凸性的等價(jià)定義[1],可得:

性質(zhì)1[1]: 若f(x)二階可導(dǎo),有f′′(x0)= 0 且在x0兩側(cè)的二階導(dǎo)數(shù)異號(hào),則(x0,f(x0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn).

1.極值點(diǎn)偏移

定義2[2]已知函數(shù)y=f(x)在(a,b)上連續(xù),且在區(qū)間(a,b)內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)x0.對(duì)任意滿足f(x1)=f(x2)=m(m為常數(shù)), 且a ＜x1＜x0＜x2＜b的x1,x2,若都有x1+x2＞2x0,則稱函數(shù)f(x)在(a,b)上極值點(diǎn)x0左偏; 若都有x1+x2＜2x0, 則稱函數(shù)f(x)在(a,b)上極值點(diǎn)x0右偏.

極值點(diǎn)x0左偏的圖示可參看圖1.

圖1

2.拐點(diǎn)偏移

在極值點(diǎn)偏移的基礎(chǔ)上,各地模擬題中又出現(xiàn)了拐點(diǎn)偏移,此類題型一般以某些函數(shù)在拐點(diǎn)兩側(cè)“凹凸程度”不同,導(dǎo)致函數(shù)圖像關(guān)于拐點(diǎn)不具有中心對(duì)稱性作為命題背景.下面給出拐點(diǎn)偏移的定義.

定義3[2]已知函數(shù)y=f(x)在(a,b)上連續(xù),且在區(qū)間(a,b)內(nèi)只有一個(gè)拐點(diǎn)x0.對(duì)任意滿足f(x1)+f(x2)= 2f(x0),且a ＜x1＜x0＜x2＜b的x1,x2, 若都有x1+x2＞2x0, 則稱函數(shù)f(x)在(a,b)上拐點(diǎn)x0左偏; 若都有x1+x2＜2x0, 則稱函數(shù)f(x)在(a,b)上拐點(diǎn)x0右偏.

拐點(diǎn)偏移的題目一般是針對(duì)f(x)是(a,b)上的單調(diào)函數(shù)而言的,以拐點(diǎn)左偏為例,見(jiàn)圖2.

圖2

特別地,a可為-∞,b可為+∞.

二、Taylor 公式

高中階段經(jīng)常會(huì)遇到含有ex和lnx的超越函數(shù),若能用簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式函數(shù)來(lái)近似替代此類函數(shù),而且誤差又能滿足要求,那么對(duì)函數(shù)值的近似計(jì)算具有重要意義,且在導(dǎo)數(shù)大題中可用于放縮來(lái)簡(jiǎn)化不等式證明, 而在高等數(shù)學(xué)中的Taylor 公式便能達(dá)到這個(gè)效果.

定義4[1]若f(x)在x0的某鄰域U(x0)內(nèi)有n+1 階導(dǎo)數(shù),則對(duì)任意的x ∈U°(x0),存在ξ介于x和x0之間,使f(x)=Tn(x)+Rn(x),其中Tn(x)=(x-x0)k為f(x)在點(diǎn)x0處的n階Taylor 多項(xiàng)式,Rn(x)=(x-x0)n+1為Taylor 公式的Lagrange 型余項(xiàng),其中ξ=x0+θ(x-x0)(0＜θ ＜1).(補(bǔ)充: 某鄰域U(x0)的含義是指以x0為中心,以某一常數(shù)r(r ＞0)作為半徑的一個(gè)開(kāi)區(qū)間(x0-r,x0+r),U°(x0)=U(x0)/{x0})

中學(xué)階段可以直觀地理解為當(dāng)n越大時(shí),Tn(x)=(x-x0)k與函數(shù)f(x)的圖像就越相似.

三、Taylor 公式與偏移問(wèn)題的聯(lián)系

事實(shí)上,極值點(diǎn)偏移與函數(shù)的軸對(duì)稱性有關(guān),而拐點(diǎn)偏移則與函數(shù)的中心對(duì)稱性有關(guān),可以分別對(duì)應(yīng)中學(xué)階段熟悉的二次函數(shù)與三次函數(shù).已知二次函數(shù)具有軸對(duì)稱性,其極值點(diǎn)恰為其對(duì)稱軸,而三次函數(shù)具有中心對(duì)稱性,其對(duì)稱中心恰為其拐點(diǎn).所以在偏移問(wèn)題上,按照定義2 和定義3 的背景,二次函數(shù)不發(fā)生極值點(diǎn)偏移,即=x0(x0為極值點(diǎn)); 三次函數(shù)不發(fā)生拐點(diǎn)偏移,即=f(x0)時(shí)有=x0(x0為拐點(diǎn)).然而,當(dāng)f(x)在點(diǎn)x0處的二階Taylor 多項(xiàng)式T2(x)和三階Taylor 多項(xiàng)式T3(x)恰好分別為二次函數(shù)和三次函數(shù),而且Taylor 多項(xiàng)式可以用于逼近原函數(shù),所以可以嘗試通過(guò)分別對(duì)f(x)與T2(x)和f(x)與T3(x)的差異進(jìn)行分析,將Taylor 公式與偏移問(wèn)題聯(lián)系起來(lái),下面來(lái)看看如何應(yīng)用作差法分析其差異.

定理1[3]連續(xù)函數(shù)f(x)在(a,b)上有二階導(dǎo)數(shù)且只有一個(gè)極值點(diǎn)x0,f′(x)在(a,x0)和(x0,b)上異號(hào),T2(x)=f(x0)+(x-x0)2為f(x)在x=x0處的二階Taylor多項(xiàng)式, 記差函數(shù)為D2(x)=f(x)- T2(x), 對(duì)任意滿足f(x1)=f(x2)=m(m為常數(shù)),且a ＜x1＜x0＜x2＜b的x1,x2:

(1)若D2(x)f′(x)＜0,?x /=x0,則x1+x2＞2x0,即函數(shù)f(x)在(a,b)上極值點(diǎn)x0左偏;

(2)若D2(x)f′(x)＞0,?x /=x0,則x1+x2＜2x0,即函數(shù)f(x)在(a,b)上極值點(diǎn)x0右偏.

證明[3]不妨設(shè)極值點(diǎn)x0為極小值點(diǎn), 類似可證為極大值點(diǎn)的情況.因?yàn)槎魏瘮?shù)T2(x)=f(x0)+(x-x0)2是以(x0,f(x0))為頂點(diǎn), 以x=x0為對(duì)稱軸, 所以m ＞f(x0)時(shí),T2(x)也必定存在兩個(gè)不等實(shí)根x′1,x′2使得f(x1)=f(x2)=m=T2(x′1)=T2(x′2),且由二次函數(shù)的軸對(duì)稱性可得x′1+x′2= 2x0, 故不妨設(shè)a ＜x′1＜x0＜x′2＜b.

(1)若D2(x)f′(x)＜0,?x /=x0,如圖3,因?yàn)閤=x0為極小值點(diǎn), 故x ∈(a,x0),f′(x)＜0, 所 以D2(x)=f(x)-T2(x)＞0,即f(x)＞T2(x).所以f(x′1)＞T2(x′1)=f(x1), 又因?yàn)閒′(x)＜0,f(x)單調(diào)遞減, 所以可推出x′1＜x1.同理可證當(dāng)x ＞x0時(shí), 有x′2＜ x1.故由x′1＜ x1和x′2＜ x2可推出x1+x2＞x′1+x′2=2x0.

圖3

(2)若D2(x)f′(x)＞0,?x/=x0,同理可證得x1+x2＜x′1+x′2=2x0.

定理2連續(xù)的函數(shù)f(x)在(a,b)上有三階導(dǎo)數(shù)且 只 有一個(gè)拐點(diǎn)x0,f′′(x)在(a,x0)和(x0,b)上 異號(hào),T3(x)=f(x0)+f′(x0)(x - x0)+(x-x0)3為f(x)在x=x0處的三階Taylor 多項(xiàng)式, 記差函數(shù)為D3(x)=f(x)-T3(x),對(duì)任意滿足f(x1)+f(x2)=2f(x0),且a ＜x1＜x0＜x2＜b的x1,x2:

(1)若f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x ∈(a,x0)時(shí),f′′(x)＜0(＞0)且D′3(x)＜0, 當(dāng)x ∈(x0,b)時(shí),f′′(x)＞0(＜0)且D′3(x)＞0,則x1+x2＜2x0,即拐點(diǎn)右偏;

(2)若f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x ∈(a,x0)時(shí),f′′(x)＜0(＞0)且D′3(x)＞0, 當(dāng)x ∈(x0,b)時(shí),f′′(x)＞0(＜0)且D′3(x)＜0,則x1+x2＞2x0,即拐點(diǎn)左偏;

(3)若f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x ∈(a,x0)時(shí),f′′(x)＜0(＞0)且D′3(x)＞0, 當(dāng)x ∈(x0,b)時(shí),f′′(x)＞0(＜0)且D′3(x)＜0,則x1+x2＜2x0,即拐點(diǎn)右偏;

(4)若f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x ∈(a,x0)時(shí),f′′(x)＜0(＞0)且D′3(x)＜0, 當(dāng)x ∈(x0,b)時(shí),f′′(x)＞0(＜0)且D′3(x)＞0,則x1+x2＞2x0,即拐點(diǎn)左偏.

證明不妨證“若f(x)單調(diào)遞增, 當(dāng)x ∈(a,x0)時(shí),f′′(x)＜0 且D′3(x)＜0, 當(dāng)x ∈(x0,b)時(shí),f′′(x)＞0 且D′3(x)＞0,則x1+x2＜2x0”,其他情況類似可證.

T3(x)=f(x0)+f′(x0)(x - x0)+(x-x0)3為f(x)在x=x0處的三階Taylor 多項(xiàng)式, 而T′3(x)=f′(x0)+(x-x0)2恰好等于f′(x)在x=x0處的二階Taylor 多項(xiàng)式, 而f′(x)代替f(x)后的D2(x)恰為D′3(x)=f′(x)-T′3(x).所以當(dāng)x ∈(a,x0)時(shí),f′′(x)＜0 且D′3(x)＜0,當(dāng)x ∈(x0,b)時(shí),f′′(x)＞0 且D′3(x)＞0,可推得D′3(x)f′′(x)＞0,?x /=x0,由定理1 可得f′(x)在(a,b)上極值點(diǎn)x0右偏.

令g(x)=f(x)+f(2x0-x),則g′(x)=f′(x)-f′(2x0-x).因?yàn)閒′(x)在(a,b)上極值點(diǎn)x0右偏,所以對(duì)任意滿足f′(x1)=f′(x2),且a ＜x1＜x0＜x2＜b的x1,x2,若都有x1+x2＜2x0,則2x0-x1＞x2＞x0.因?yàn)楫?dāng)x ∈(x0,b)時(shí),f′′(x)＞0, 所以f′(x)單調(diào)遞增, 得f′(2x0- x1)＞f′(x2)=f′(x1), 所以f′(x1)-f′(2x0-x1)＜0, 所以當(dāng)x ∈(x0,b)時(shí),g′(x)＜0, 所以g(x)在(a,x0)上單調(diào)遞減.同理可得,g(x)在(x0,b)上單調(diào)遞增.于是當(dāng)x ∈(a,b)且x/=x0時(shí),g(x)＞g(x0),即f(x)+f(2x0-x)＞2f(x0).所以f(2x0-x1)＞2f(x0)-f(x1)=f(x2).又因?yàn)閒(x)在(a,b)單調(diào)遞增,所以2x0-x1＞x2,即x1+x2＜2x0.

四、實(shí)戰(zhàn)演練

經(jīng)過(guò)上面的分析,我們從這兩個(gè)定理中得到了兩個(gè)用于證明偏移問(wèn)題的判定定理,下面來(lái)嘗試應(yīng)用到具體的例題當(dāng)中.

例1(2016年高考全國(guó)卷Ⅰ理科第21 題)已知函數(shù)f(x)= (x-2)ex+a(x-1)2有兩個(gè)零點(diǎn).(1)求a的取值范圍;(2)設(shè)x1,x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn),證明:x1+x2＜2.

解析(1)f′(x)= (x -1)(ex+ 2a), 分類討論后得a ∈(0,+∞),過(guò)程略.

(2)經(jīng)分析得在R 上只存在一個(gè)極小值點(diǎn)x0= 1 且f(x1)=f(x2)= 0, 故不妨設(shè)x1＜1＜x2.f′′(x)=xex+ 2a得T2(x)=f(x0)+a)(x-1)2-e.D2(x)=f(x)-T2(x)=(x-2)ex+e.D′2(x)= (x-1)(ex -e), 易證在(-∞,1)和(1,+∞)上(ex -e)與(x-1)同號(hào),所以D′2(x)≥0(當(dāng)x= 1 時(shí)取等號(hào)),所以D2(x)是單調(diào)遞增的,故在(-∞,1)上D2(x)＜D2(1)= 0,在(1,+∞)上D2(x)＞D2(1)= 0.同時(shí), 因?yàn)閍 ＞0,ex ＞0, 所以f′(x)= (x-1)(ex+2a)在(-∞,1)上f′(x)＜0, 在(1,+∞)上f′(x)＞0.綜上,D2(x)f′(x)＞0(?x/=1),所以由定理1 得x1+x2＜2x0=2.

例2([4] 中例2)設(shè)函數(shù)f(x)=xlnx -(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)證明: 當(dāng)x1/=x2, 且f(x1)+f(x2)=0 時(shí),x1+x2＞2.

解析(1)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,過(guò)程略.

(2)令f′′(x)=-1=0,結(jié)合性質(zhì)1 可分析得f(x)在(0,+∞)上只存在一個(gè)拐點(diǎn)x0= 1, 又f(x1)+f(x2)=0 = 2f(1), 故不妨設(shè)0＜ x1＜1＜ x2.T3(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0)+所以D′3(x)= (f(x)-T3(x))′= lnx+1-x+-1 + (x -1),+ 1.因?yàn)椋?, 所以在(0,+∞)上單調(diào)遞增, 又因?yàn)?1)= 0, 易得= 0, 所以D′3(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增, 又因?yàn)镈′3(1)= 0, 所以當(dāng)x ∈(0,1)時(shí),f′′(x)=-1＞0 且D′3(x)＜0, 當(dāng)x ∈(1,+∞)時(shí),f′′(x)＜0 且D′3(x)＞0,所以由定理2 可得x1+x2＞2x0=2.

五、總結(jié)

本文通過(guò)結(jié)合Taylor 公式和二次函數(shù)的軸對(duì)稱性和三次函數(shù)的中心對(duì)稱性找到解決“極值點(diǎn)偏移”和“拐點(diǎn)偏移”問(wèn)題的兩條判定定理,將兩類偏移問(wèn)題通過(guò)Taylor 公式統(tǒng)一起來(lái).所以在平時(shí)的學(xué)習(xí)中,若能對(duì)這類有明顯特征的題目進(jìn)行問(wèn)題本源的探究,得出一般化的解題策略,便能做到“四兩撥千斤”,避免題海戰(zhàn)術(shù),提升思維的廣闊性.