多維探究典型問(wèn)題 培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維

上海市行知中學(xué)(201999)范廣哲

不等式作為高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一, 有著廣泛的應(yīng)用.不等式的綜合應(yīng)用對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有著重要作用.

多角度探究問(wèn)題可以培養(yǎng)學(xué)生細(xì)致的觀察力、豐富的聯(lián)想力和創(chuàng)造性的思維能力.在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中,教師應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行多角度、多層次、多維度地進(jìn)行分析,提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的遷移和運(yùn)用能力,有效地培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)新思維.

教師在平時(shí)教學(xué)過(guò)程中,應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生注重解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的通性通法,培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)系數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、洞察數(shù)學(xué)問(wèn)題本質(zhì)的能力,才能更有效地落實(shí)數(shù)學(xué)課程的育人目標(biāo)與育人價(jià)值.筆者在平時(shí)教學(xué)過(guò)程中,發(fā)現(xiàn)有一類三元最值問(wèn)題在大學(xué)自招及高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中時(shí)常出現(xiàn),本文給出這類典型問(wèn)題的一般形式及多種解法,希望能給讀者帶來(lái)一些思考和啟發(fā).

題目已知x1,x2,x3∈R+, 常數(shù)k1,k2,k3,m2,m3∈R+,求S=的最大值.

解以下證明:Smax=當(dāng)且僅當(dāng)x1:x2:x3=時(shí)等號(hào)成立.

解法一(先柯西不等式后基本不等式)由于表達(dá)式具有齊次性,設(shè)其中k ＞0.

因而S≤當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=時(shí)等號(hào)成立.

解法二(先柯西不等式后三角換元)不妨設(shè)k1x21+k2x22+k3x23=k2,其中k ＞0.

令x1=其中θ ∈則

解法三(三角換元法)設(shè)其中k ＞0,則設(shè)

解法四(球坐標(biāo)法)設(shè)=k2,其中k ＞0,設(shè)

當(dāng)且僅當(dāng)x1=x3=時(shí)等號(hào)成立.

解法五(拉格朗日函數(shù)法)設(shè)k1x21+k2x22+k3x23=k2, 其中k ＞0, 構(gòu)造拉格朗日函數(shù)L(x1,x2,x3,λ)=m2x1x2+m3x1x3+λ(k1x21+k2x22+k3x23-k), 下面對(duì)L(x1,x2,x3,λ)分別求關(guān)于x1,x2,x3,λ的一階偏導(dǎo)并分別令其等于零,可得

解得

這就是拉格朗日函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn), 可得此值為函數(shù)的最大值,代入可得Smax=

解法六(配方法)由題設(shè):k1x21+k2x22+k3x23=從而

解法七(待定系數(shù)法)引入?yún)?shù)λ, 滿足λ ∈(0,k1).設(shè)相加得,設(shè)

即S≤當(dāng)且僅當(dāng)x1:x2:x3=:k1k3m2:k1k2m3時(shí)等號(hào)成立.

解法八(先基本不等式后柯西不等式)

解法九(判別式法)由題設(shè)得到將其視作x1的一元二次方程,方程有實(shí)根.因而,Δ = (m2x2+m3x3)2-由柯西不等式可得

一是配套政策和法律制度不健全，當(dāng)前針對(duì)綠色債券的相關(guān)法律制度尚未完全形成，缺少財(cái)稅優(yōu)惠政策以及政府為主導(dǎo)的擔(dān)保機(jī)制和風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償機(jī)制。二是綠色債券產(chǎn)品較為單一，當(dāng)前我國(guó)綠色債券主要以綠色金融債為主，綠色資產(chǎn)證券化、綠色債券指數(shù)產(chǎn)品發(fā)展較為滯后。三是融資成本偏高，受2017年初債券市場(chǎng)利率走高的影響，市場(chǎng)流動(dòng)性趨弱，綠色債券融資成本增加。占比最多的AAA級(jí)和AA+主體發(fā)行利差與同級(jí)別普通債券相比多為負(fù)，融資成本偏高。

即S≤當(dāng)且僅當(dāng)x1:x2:x3=k1k3m2:k1k2m3時(shí)等號(hào)成立.

推論已知x1,x2,x3∈R+, 常數(shù)k1,k2,k3,m2,m3∈R+, 且滿足= 1, 則S=m2x1x2+m3x1x3的最大值為Smax=

以下給出如上結(jié)論的應(yīng)用..

例1(2020年《數(shù)學(xué)通訊》問(wèn)題征解第2 期437 問(wèn)題)已知x,y,z為正數(shù),若不等式4x2+y2+3z2≥λ(2xy+3yz)恒成立,求λ的最大值.

分析由于求最大值,因而考慮正數(shù)情況.在結(jié)論中令k1=1,k2=4,k3=3,m2=2,m3=3,則即λ的最大值為1.

例2(2019年上海交大自主招生)已知x,y,z不全為0,求的最大值.

分析由于求最大值,因而考慮正數(shù)情況.在結(jié)論中令k1=k2=k3=1,m2=1,m3=2,則

例3(2016年高聯(lián)福建預(yù)賽)已知x,y,z ＞0, 求的最大值.

分析在結(jié)論中令k1=k2=k3= 1,m2= 4,m3= 1,則

例4(2015年《數(shù)學(xué)教學(xué)》947 問(wèn)題)已知x2+y2+z2=1,求xy+2xz的最大值.

分析由于求最大值,因而考慮正數(shù)情況.在推論中令k1=k2=k3=1,m2=1,m3=2,則Smax=

例5(2012年高聯(lián)甘肅預(yù)賽)已知x2+y2+z2=1,求xy+yz的最大值.

分析由于求最大值,因而只考慮正數(shù)情況.在推論中令k1=k2=k3=m2=m3=1,則Smax=

例6(2009年高聯(lián)浙江預(yù)賽)已知x2+y2+z2=1,求的最大值.

分析由于求最大值,因而只考慮正數(shù)情況.在推論中令

最后,給出其n元推廣形式,有興趣的讀者可自行證明.

變式(n元形式)已知x1,x2,··· ,xn ∈R+, 常數(shù)k1,k2,··· ,kn,m2,m3,··· ,mn ∈R+, 其中n≥3,n ∈N,求的最大值.

結(jié)論(Sn)max=

注若n= 2 時(shí),(S2)max=其結(jié)果與上式亦吻合.