不同方向外磁場(chǎng)下海森堡自旋鏈的熱糾纏

黃利元

(廈門大學(xué)嘉庚學(xué)院 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院， 漳州 363105)

1 引 言

量子糾纏是量子世界的一個(gè)重要概念，是量子系統(tǒng)的主要微觀特征之一. 一方面，糾纏激發(fā)了人們對(duì)量子力學(xué)本身進(jìn)行更加深刻的研究和探索，另一方面，在量子信息領(lǐng)域，糾纏可以作為物理資源[1-4]，進(jìn)行量子信息處理. 但在實(shí)際情況下，由于外界環(huán)境的影響，制備最大糾纏態(tài)比較困難. 因此，一種存在于多體系統(tǒng)中自旋粒子間的熱糾纏為量子信息和固態(tài)系統(tǒng)提供了一座橋梁. 海森堡模型作為最簡(jiǎn)單而又具有實(shí)際意義的固態(tài)物理系統(tǒng)，被認(rèn)為是實(shí)現(xiàn)量子通信和量子計(jì)算最有前景的物體體系之一[5]. 基于海森堡模型所產(chǎn)生的糾纏，已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用于量子隱形傳態(tài)[6]、量子密碼[7]等各個(gè)領(lǐng)域.

目前，有關(guān)海森堡模型在均勻磁場(chǎng)和非均勻磁場(chǎng)情況下糾纏性質(zhì)的研究取得了廣泛進(jìn)展[8-17]，但之前的許多研究大都局限于把磁場(chǎng)的方向設(shè)定為沿z軸，對(duì)在其它方向磁場(chǎng)情況下系統(tǒng)糾纏性質(zhì)的研究[18， 19]還不多見. 本研究主要討論x、y方向外磁場(chǎng)下的兩粒子海森堡XXX鏈的糾纏特性.

2 糾纏度量

系統(tǒng)的兩體糾纏可用Negativity(N)[20]來度量：

(1)

3 海森堡模型

考慮沿x方向的均勻磁場(chǎng)加在Heisenberg XXX鏈的兩個(gè)量子比特上. 此時(shí)系統(tǒng)的哈密頓量可以寫為：

(2)

(3)

其本征態(tài)及相應(yīng)的本征值為：

(4)

E1=J，

E2=J-2B，

E3=J+2B，

E4=-3J.

(5)

同理，考慮沿y方向的均勻磁場(chǎng)加在Heisenberg XXX鏈的兩個(gè)量子比特上. 此時(shí)系統(tǒng)的哈密頓量可以寫為：

(6)

哈密頓量可以表示為：

(7)

其本征態(tài)及相應(yīng)的本征值為：

(8)

(9)

哈密頓量為H的熱態(tài)也可以寫成如下形式：

(10)

式中β=1/(kT)，k為玻爾茲曼常數(shù)，簡(jiǎn)單起見記為1，T為熱力學(xué)溫度,H為系統(tǒng)哈密頓量，Z=tr[exp(-βH)]為配分函數(shù). 因?yàn)棣?T)表示的是熱態(tài)，所以該態(tài)內(nèi)的糾纏稱為熱糾纏[21].

在標(biāo)準(zhǔn)基{ |00〉,|01〉,|10〉,|11〉}下,

(11)

式中

Z=2exp(βJ)cosh(2βJ)+2exp(-βJ)cosh(2βB).

(12)

同理，y方向外磁場(chǎng)下系統(tǒng)的密度矩陣同樣可以求出.

ρy(T)=1exp(-βHy)

(13)

式中

Z′=2exp(βJ)cosh(2βJ)+2exp(-βJ)cosh(2βB).

(14)

根據(jù)上述定義，通過計(jì)算，發(fā)現(xiàn)x方向和y方向下密度矩陣的糾纏度N的值相同，均為：

(15)

4 分析與討論

圖1描繪的是反鐵磁質(zhì)模型中，對(duì)于不同的J，糾纏度N隨外磁場(chǎng)B和溫度T的三維函數(shù)圖. 從圖1的任意一幅子圖可以看出，N關(guān)于磁場(chǎng)B=0對(duì)稱. 因?yàn)楫?dāng)B?-B，本征值E2?E3. 當(dāng)J一定時(shí)，當(dāng)|B|較小時(shí)，糾纏度N會(huì)在臨界磁場(chǎng)|Bc|內(nèi)一直維持在最大值. 當(dāng)磁場(chǎng)超過臨界磁場(chǎng)|Bc|時(shí)，糾纏快速地降為0. 同樣，隨著T的增大，糾纏度N會(huì)慢慢變小，當(dāng)T超過某一臨界值Tth時(shí)，N完全消失.

縱觀圖1的4幅子圖，發(fā)現(xiàn)，對(duì)于不同的J，使N處于最大值的磁場(chǎng)范圍不同. 具體來說，J越大，使N處于最大值的磁場(chǎng)范圍也越寬，即對(duì)應(yīng)的臨界磁場(chǎng)|Bc|也越大；反之，J越小，使N處于最大值的磁場(chǎng)范圍也越窄，即對(duì)應(yīng)的臨界磁場(chǎng)|Bc|也越小. 另外，我們還發(fā)現(xiàn)，J越大，臨界溫度Tth也越大，即較大的J可以使糾纏在較高溫度下存在，這一點(diǎn)很有實(shí)際意義.

5 結(jié) 論

對(duì)于兩量子比特的海森堡XXX自旋鏈，分別討論x方向和y方向均勻外磁場(chǎng)加在這兩個(gè)量子比特上時(shí)系統(tǒng)的糾纏特性，計(jì)算兩種情況下的熱糾纏，并用負(fù)度N來度量，發(fā)現(xiàn)兩種情況下的熱糾纏的表達(dá)式一致. 同時(shí)發(fā)現(xiàn)，磁場(chǎng)B、溫度T和自旋耦合系數(shù)J的取值均會(huì)影響糾纏度N，具體來說，增大的磁場(chǎng)|B|和增大的溫度T會(huì)減小糾纏，但增大的自旋耦合系數(shù)J會(huì)增大糾纏，而且它會(huì)使臨界磁場(chǎng)|Bc|和臨界溫度Tth變大. 因此，我們可以通過調(diào)節(jié)B、T和J來控制熱糾纏. 本研究的計(jì)算結(jié)果對(duì)固態(tài)系統(tǒng)中通過構(gòu)建和選擇參數(shù)調(diào)整系統(tǒng)的糾纏度具有一定的作用和意義.

圖1 當(dāng)自旋耦合系數(shù)J不同時(shí)，糾纏度N隨磁場(chǎng)B和溫度T的變化. (a) J=1；(b) J=2；(c) J=3；(d) J=4. Fig. 1 The thermal entanglements measured by the negativity N as the functions of the uniform magnetic field B and the temperature T for different coupling constants J. (a) J=1; (b) J=2; (c) J=3; (d) J=4.