基于不同邊界條件下微分矩陣的特征分解

霍俊蓉，張榮培，溫學(xué)兵

（1. 沈陽(yáng)師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，沈陽(yáng) 110034；2. 廣東工業(yè)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，廣州 510006）

0 引言

近年來(lái)，許多學(xué)者采用有限差分方法對(duì)逼近多種模型方程進(jìn)行了研究，包括Allen-Cahn方程［1］，Cahn-Hilliard方程［2］，反應(yīng)擴(kuò)散方程［3］，薛定諤方程［4］等等. 這些方程在物理、化學(xué)、化工、材料科學(xué)［5-8］等方面有越來(lái)越廣泛的應(yīng)用. 在數(shù)值分析中，計(jì)算矩陣的特征值與特征向量是一項(xiàng)主要研究?jī)?nèi)容，也是求解矩陣的重點(diǎn). 應(yīng)用有限差分方法離散數(shù)值方程時(shí)，將得到方程的微分矩陣，在大多數(shù)情況下，需結(jié)合微分矩陣的特征值與特征向量對(duì)其進(jìn)行特征分解，進(jìn)而得到對(duì)角矩陣，使得計(jì)算更加簡(jiǎn)便快捷. 本文總結(jié)了微分矩陣的特征分解形式，并通過(guò)求解其特征值與特征向量來(lái)驗(yàn)證三種不同邊界條件下的分解形式.

1 微分矩陣的特征分解

設(shè)有三種不同邊界條件，即齊次Neumann邊界，Dirichlet邊界，周期邊界. 利用二階中心差分方法對(duì)模型方程進(jìn)行離散，可以得到方程在網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)差分格式. 定義常數(shù)ε1，ε2，方程在三種邊界條件下對(duì)應(yīng)的N×N階微分矩陣分別為A，B，C. 其中（A）ii=（B）ii=（C）ii= 2，i= 2 ，…，N-1，Aii-1=Bii-1=Cii-1-1，i= 2 ，…，N，Aii+1=Bii+1=Cii+1=-1，i= 1 ，…，N-1，A1，1=AN，N= 1，Bii-1=BN，N=C1，1=CN，N= 2，C1，N=CN，1=-1，矩陣A，B，C中其他位置的元素均為0.

考慮如下特征值問(wèn)題：

其中λ為特征方程的特征值；v為相應(yīng)的特征函數(shù)；由于微分矩陣是由二階導(dǎo)數(shù)差分后離散得到，因此可以考慮v在離散點(diǎn)的值作為矩陣的特征向量，記為y.

1.1 齊次Neumann 邊界

首先，設(shè)定邊界條件為齊次Neumann邊界，即

將求解區(qū)域等距劃分為N個(gè)網(wǎng)格，其中步長(zhǎng)為hA= 1N，網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)為xi= (i- 1 2)hA，i= 1，2，…，N，為了證明邊界處的二階精度，由網(wǎng)格中心點(diǎn)的定義，在邊界左右各增加一個(gè)虛擬網(wǎng)格，其中心點(diǎn)坐標(biāo)分別為x0= -1 2hA，xN+1= 1+1 2hA，下面求解其對(duì)應(yīng)的特征值與特征向量. 求解（1）式對(duì)應(yīng)的特征方程，即

(i) 當(dāng)λA≤0時(shí)，根據(jù)對(duì)應(yīng)的特征方程的通解，由條件（2），可得v=ε1，求得特征值λA= 0.

(ii) 當(dāng)λA> 0 時(shí)，特征方程通解為，由條件（2），可得特征值=(mπ)2，m= 0，1，…，N- 1，相應(yīng)的特征函數(shù)v= cos(mπx)，當(dāng)m= 0時(shí)，λ0A= 0，v=ε1，此時(shí)包含(i)中結(jié)果.

矩陣A的特征向量為ym= (cosmπx1，…，cosmπxN)T，m= 0，1，…，N- 1，下面將矩陣A進(jìn)行對(duì)角化，根據(jù)三角函數(shù)的和差化積公式，得到：

進(jìn)而可將內(nèi)部網(wǎng)格點(diǎn)的差分格式表示為：

由于cos(mπx0)= cos(mπx1)，cos(mπxN)= cos(mπxN+1)，因此可將邊界網(wǎng)格點(diǎn)差分格式表示為：

結(jié)合（6）式及（7）式可以得到A=PA ΛAPA-1，其中矩陣PA=(y0，y1，…，yN-1)，對(duì)角矩陣ΛA=diag(2-2cosmπh).

（三）寄生蟲(chóng)性腹瀉 主要由球蟲(chóng)、蛔蟲(chóng)、錐蟲(chóng)引起的腹瀉較為多見(jiàn)，發(fā)生于20日齡以上的豬只，通常呈慢性經(jīng)過(guò)，伴有食欲不振、咳嗽、呼吸困難、貧血等癥狀，有的腹瀉與便秘交替出現(xiàn)，或伴有體溫略升高，病豬因發(fā)育不良、瘦弱、衰竭死亡或變成“僵豬”。

1.2 Dirichlet 邊界

設(shè)定邊界條件為Dirichlet邊界，即

將求解區(qū)域等距劃分為N+1個(gè)網(wǎng)格，其中步長(zhǎng)為hB= 1（N+1），網(wǎng)格點(diǎn)坐標(biāo)為xj=jhB，j= 1，2，…，N，左右邊界點(diǎn)坐標(biāo)分別為x0= 0，xN+1= 1，下面求解其對(duì)應(yīng)的特征值與特征向量. 求解（1）式對(duì)應(yīng)的特征方程，即

(i) 當(dāng)λA≤0時(shí)，根據(jù)對(duì)應(yīng)的特征方程的通解，由條件（8），可得v≡0，無(wú)法求得特征值.

(ii)當(dāng)λB> 0時(shí)，特征方程通解為，由條件（8）可得特征值m= 1，2，…，N，相應(yīng)的特征函數(shù)v= sin(mπx).

矩陣B的特征向量為下面將矩陣B進(jìn)行對(duì)角化，根據(jù)三角函數(shù)的和差化積公式，得到：

進(jìn)而可將內(nèi)部網(wǎng)格點(diǎn)的差分格式表示為

其中矩陣PB=(y1，y2，…，yN)，對(duì)角矩陣ΛB= diag(2 - 2cosmπh).

1.3 周期邊界

設(shè)定邊界條件為周期邊界，即

將求解區(qū)域劃分為N個(gè)網(wǎng)格，則步長(zhǎng)為hC= 1N，內(nèi)部網(wǎng)格坐標(biāo)為xi=khC，k= 1，2，…，N- 1，其左右邊界點(diǎn)坐標(biāo)分別為x0= 0，xN= 1，下面求解其對(duì)應(yīng)的特征值與特征向量. 求解（1）式對(duì)應(yīng)的特征方程，即

(i)當(dāng)λC< 0時(shí)，特征方程通解為，由條件（13），可得

(ii) 當(dāng)λC= 0時(shí)，特征方程通解為v=ε1+ε2x，由條件（13），可得v≡ε1，特征值λA= 0.

(iii)當(dāng)λC> 0時(shí)，特征方程通解為由條件（13）可得

矩陣C的特征向量為，下面將矩陣C進(jìn)行對(duì)角化，假設(shè)ε1= 0，ε2= 1，此時(shí)特征函數(shù)為v=e-i2mπx，可將內(nèi)部網(wǎng)格點(diǎn)的差分格式表示為：

由于xN-1= 1 -x1，則有cos2mπx1= cos2mπxN-1，進(jìn)而可以將邊界網(wǎng)格點(diǎn)的差分格式表示為：

結(jié)合（16）式及（17）式可以得到：

其中矩陣PC= (y0，y1，…，yN-1)，對(duì)角矩陣ΛC= diag(2 - 2cos2mπh).

2 總結(jié)

本文在三種不同邊界條件下，通過(guò)求解微分矩陣的特征值與特征向量，總結(jié)有限差分法離散二階導(dǎo)數(shù)方程后得到的微分矩陣的特征分解形式. 將微分矩陣表示為由其特征值和特征向量表示的矩陣之積，其中包含對(duì)角矩陣，可以有效地提高求解非線性常微分方程組的速度與效率.