隨機(jī)游走定義的概念錯(cuò)誤及糾正

高宏

【摘要】本文分析了隨機(jī)游走定義將單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移與時(shí)間之間的數(shù)量關(guān)系假設(shè)為隨機(jī)變量的基本概念錯(cuò)誤，以及用刻畫(huà)大量重復(fù)試驗(yàn)中隨機(jī)事件發(fā)生可能性的概率來(lái)度量隨機(jī)游走每一步向右或向左可能性的研究方法錯(cuò)誤.隨機(jī)游走定義中的概念錯(cuò)誤會(huì)導(dǎo)致隨機(jī)游走研究對(duì)象發(fā)生錯(cuò)位，使研究對(duì)象從一個(gè)質(zhì)點(diǎn)改變?yōu)榇罅抠|(zhì)點(diǎn)，從而會(huì)得出與事實(shí)不符的結(jié)論.本文基于白噪聲序列的基本概念，重新定義了隨機(jī)游走，并分別推導(dǎo)出隨機(jī)游走樣本軌道性質(zhì)和隨機(jī)變量性質(zhì).

【關(guān)鍵詞】隨機(jī)游走;樣本軌道;隨機(jī)變量

一、引言

隨機(jī)游走（Random Walk）是隨機(jī)過(guò)程學(xué)科中用于描述動(dòng)態(tài)隨機(jī)現(xiàn)象的一種基本隨機(jī)過(guò)程，其他重要的隨機(jī)過(guò)程都可由它構(gòu)造出來(lái).隨機(jī)游走不僅在隨機(jī)過(guò)程理論中占有相當(dāng)重要的地位，而且是自然科學(xué)、工程技術(shù)和社會(huì)科學(xué)研究動(dòng)態(tài)隨機(jī)現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)工具.液體中懸浮微粒的布朗運(yùn)動(dòng)、光纖陀螺中的隨機(jī)游走誤差和股票市場(chǎng)中的價(jià)格波動(dòng)等隨機(jī)現(xiàn)象均可用隨機(jī)游走過(guò)程進(jìn)行描述.

本文分析了隨機(jī)過(guò)程教科書(shū)在定義隨機(jī)游走時(shí)，將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移與時(shí)間之間的數(shù)量關(guān)系假設(shè)為隨機(jī)變量的基本概念錯(cuò)誤，以及用刻畫(huà)大量重復(fù)試驗(yàn)中隨機(jī)事件發(fā)生可能性的概率來(lái)度量隨機(jī)游走每一步向右或向左可能性的研究方法錯(cuò)誤.隨機(jī)游走定義的概念錯(cuò)誤無(wú)形中會(huì)導(dǎo)致研究對(duì)象從一個(gè)質(zhì)點(diǎn)改變?yōu)橘|(zhì)點(diǎn)集合，只能用描述大量質(zhì)點(diǎn)空間位置分布的統(tǒng)計(jì)特性來(lái)刻畫(huà)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，從而會(huì)得出一系列與事實(shí)不符的結(jié)論.本文基于白噪聲序列的基本概念重新定義了隨機(jī)游走，并分別推導(dǎo)出隨機(jī)游走過(guò)程的樣本軌道性質(zhì)和隨機(jī)變量性質(zhì)，可為自然科學(xué)、工程技術(shù)和社會(huì)科學(xué)提供正確的理論、方法及工具.

二、隨機(jī)游走定義錯(cuò)誤分析

隨機(jī)游走有兩種形式的定義：一是對(duì)質(zhì)點(diǎn)每一步的位移概率進(jìn)行定義，二是將每一步的位移定義為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量.

1.基于概率的定義

則稱x（n）為從原點(diǎn)出發(fā)的一維簡(jiǎn)單隨機(jī)游動(dòng)[1-4].

隨機(jī)現(xiàn)象在個(gè)別試驗(yàn)中的觀察結(jié)果是隨機(jī)的，呈現(xiàn)出不確定性，但是在大量重復(fù)試驗(yàn)中其結(jié)果又具有某種固有的統(tǒng)計(jì)規(guī)律.例如，如果只拋擲一次硬幣，其結(jié)果完全隨機(jī)，無(wú)法預(yù)測(cè);但是隨著拋硬幣次數(shù)的增多，硬幣正反面出現(xiàn)的頻率會(huì)逐漸穩(wěn)定于數(shù)值0.5附近，則稱數(shù)值0.5為硬幣正反面出現(xiàn)的概率.

因此，概率是在隨機(jī)試驗(yàn)次數(shù)n充分大時(shí)，用來(lái)刻畫(huà)隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的一個(gè)數(shù)量指標(biāo).概率p和q是指隨機(jī)游走的步數(shù)n充分大時(shí)，質(zhì)點(diǎn)向右移動(dòng)的步數(shù)和向左移動(dòng)的步數(shù)與總步數(shù)n之比.

概率不能用來(lái)描述當(dāng)n=1時(shí)的隨機(jī)事件發(fā)生的可能性.對(duì)于n=1時(shí)的拋硬幣試驗(yàn)，硬幣正面出現(xiàn)的頻率不是為1，就是為0，根本不存在頻率的穩(wěn)定值.定義1的錯(cuò)誤在于將概率用于度量當(dāng)n=1時(shí)的隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小，意味著如果只拋擲一次硬幣，會(huì)同時(shí)出現(xiàn)正、反面向上的錯(cuò)誤結(jié)果.

二、基于隨機(jī)變量的定義

隨機(jī)試驗(yàn)中的一次“測(cè)量結(jié)果”與隨機(jī)過(guò)程中的一個(gè)樣本函數(shù)x（t）相對(duì)應(yīng)，樣本函數(shù)x（t）描述了人們實(shí)際觀察到的隨機(jī)現(xiàn)象隨時(shí)間演變過(guò)程，因此x（t）也被稱為隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)“實(shí)現(xiàn)”.

圖2為隨機(jī)過(guò)程X（ω，t）、隨機(jī)變量X（t）和樣本函數(shù)x（t）三者之間的關(guān)系示意圖.

從圖2可以看出，隨機(jī)變量X（t）和樣本函數(shù)x（t）描述的是完全不同的物理現(xiàn)象.隨機(jī)變量X（t）用來(lái)描述質(zhì)點(diǎn)集合在某一時(shí)刻的位置分布，樣本函數(shù)x（t）則用來(lái)描述一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移隨時(shí)間變化過(guò)程.

定義2用隨機(jī)變量X（t）來(lái)描述一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻的位移，無(wú)形中將研究對(duì)象從一個(gè)質(zhì)點(diǎn)改變?yōu)榇罅抠|(zhì)點(diǎn)，勢(shì)必會(huì)用隨機(jī)變量X（t）的統(tǒng)計(jì)特性來(lái)刻畫(huà)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的隨機(jī)游走運(yùn)動(dòng)規(guī)律，得出與事實(shí)不符的錯(cuò)誤結(jié)論.

3.質(zhì)點(diǎn)位移與時(shí)間之間的數(shù)量關(guān)系

觀察圖1中質(zhì)點(diǎn)位移x（t）隨時(shí)間t的變化過(guò)程，無(wú)論質(zhì)點(diǎn)做確定性運(yùn)動(dòng)還是隨機(jī)性運(yùn)動(dòng)，在每一個(gè)確定的時(shí)刻，都有唯一一個(gè)確定的質(zhì)點(diǎn)位置與時(shí)間“一一對(duì)應(yīng)”，因此質(zhì)點(diǎn)位移x（t）與時(shí)間t之間的數(shù)量關(guān)系為函數(shù)關(guān)系.

從物理學(xué)角度看，質(zhì)點(diǎn)位移x（t）無(wú)疑是時(shí)間t的函數(shù).從隨機(jī)過(guò)程的角度看，質(zhì)點(diǎn)位移是固定ω時(shí)的隨機(jī)過(guò)程X（ω，t），即隨機(jī)過(guò)程X（ω，t）中的一條樣本軌道x（t），而非隨機(jī)變量X（t）.

但是，定義1和定義2均將質(zhì)點(diǎn)位移與時(shí)間之間的數(shù)量關(guān)系假設(shè)為隨機(jī)變量，使研究對(duì)象從一個(gè)質(zhì)點(diǎn)改變?yōu)橘|(zhì)點(diǎn)集合，無(wú)形中導(dǎo)致樣本軌道研究對(duì)象錯(cuò)誤，由此必然會(huì)推導(dǎo)出一系列與事實(shí)不符的錯(cuò)誤結(jié)論.

三、隨機(jī)游走樣本軌道性質(zhì)

為區(qū)別隨機(jī)游走過(guò)程中的隨機(jī)變量和樣本軌道，隨機(jī)變量用大寫(xiě)的X（t）表示，樣本軌道用小寫(xiě)的x（t）表示.

由于白噪聲序列的自相關(guān)函數(shù)為“單位沖擊序列”，其功率譜密度為“常數(shù)”，在數(shù)學(xué)上具有處理簡(jiǎn)單、計(jì)算方便等突出優(yōu)點(diǎn)，因此白噪聲序列是一個(gè)理想化的數(shù)學(xué)模型，在隨機(jī)現(xiàn)象的理論研究中具有相當(dāng)重要的地位.

基于白噪聲序列的基本概念，可給出隨機(jī)游走樣本函數(shù)的定義：

表明一維簡(jiǎn)單隨機(jī)游走質(zhì)點(diǎn)的位移等于其平均速度與時(shí)間的乘積，即隨機(jī)游走的位移與步數(shù)n成正比.

3.頻域性質(zhì)

隨機(jī)過(guò)程樣本函數(shù)在時(shí)域無(wú)法用確定性的數(shù)學(xué)解析式來(lái)描述，但是在頻域可用確定性的數(shù)學(xué)解析式表示.例如，式（11）的功率譜密度函數(shù)就是隨機(jī)游走樣本軌道一階差分在頻域的解析表達(dá)式.

任何復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)均由眾多頻率不同的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)疊加而成.研究隨機(jī)游走的頻域特性，能夠發(fā)現(xiàn)隱藏在隨機(jī)游走現(xiàn)象下的確定性運(yùn)動(dòng)，從而能揭示出在時(shí)域看不到的確定性特征及規(guī)律.

從信號(hào)與系統(tǒng)的角度來(lái)看，隨機(jī)游走x（n）是白噪聲序列w（n）通過(guò)如圖4所示的系統(tǒng)后所產(chǎn)生的輸出響應(yīng).

由于系統(tǒng)輸入w（n）的功率譜密度為常數(shù)，因此系統(tǒng)輸出x（n）的功率譜密度就完全取決于系統(tǒng)的傳遞函數(shù)特性，可把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究轉(zhuǎn)變?yōu)閷?duì)確定性系統(tǒng)特性的研究.

從式（16）的累加器幅頻特性可以看出，累加器具有低通濾波特性，導(dǎo)致Δx（n）通過(guò)累加器后，原時(shí)間序列中的低頻諧波分量得到增強(qiáng)，高頻諧波分量大幅衰減，因此系統(tǒng)輸出x（n）是信號(hào)能量集中在低頻段的紅噪聲序列.

此外，累加器具有記憶性，表明當(dāng)前時(shí)刻的系統(tǒng)輸出x（n）不僅與當(dāng)前時(shí)刻的系統(tǒng)輸入w（n）有關(guān)，而且與之前所有時(shí)刻的系統(tǒng)輸入w（n）有關(guān).因此，隨機(jī)游走的質(zhì)點(diǎn)位移x（n）具有很強(qiáng)的“相關(guān)性”或“記憶性”.

四、隨機(jī)游走隨機(jī)變量性質(zhì)

1.增量數(shù)字特征

2.隨機(jī)變量數(shù)字特征

由式（15）隨機(jī)游走樣本軌道位移x（n），可直接寫(xiě)出隨機(jī)變量模型：

即X（n）服從參數(shù)為（0，n）的正態(tài)分布，與大量布朗粒子的空間位置分布規(guī)律相同，表明大量質(zhì)點(diǎn)的隨機(jī)游走是一種與布朗運(yùn)動(dòng)類似的擴(kuò)散現(xiàn)象;當(dāng)n充分大時(shí)，X（n）將變?yōu)橐蛔鍙脑c(diǎn)發(fā)出的射線.

所有樣本軌道x（n）在第n步時(shí)的位置就是隨機(jī)變量X（n） 在第n步時(shí)的狀態(tài)，因此所有樣本軌道x（n）在第n步時(shí)的位置服從均值為0和方差為n的正態(tài)分布.圖6所示為8個(gè)質(zhì)點(diǎn)的隨機(jī)游走樣本軌道，質(zhì)點(diǎn)隨步數(shù)n的增加而遠(yuǎn)離原點(diǎn).

圖6?隨機(jī)游走樣本軌道

五、隨機(jī)游走問(wèn)題重新求解

1905年，英國(guó)數(shù)學(xué)家卡爾·皮爾遜（Karl Pearson）在《自然》雜志上公開(kāi)求解隨機(jī)游走（Random Walk）問(wèn)題：如果一個(gè)酒鬼醉得非常嚴(yán)重，完全喪失方向感，走路時(shí)每步的方向完全隨機(jī).問(wèn)經(jīng)過(guò)一段時(shí)間以后，在哪里找到他的可能性最大.

1921年，匈牙利數(shù)學(xué)家喬治·波利亞（George Polya）在研究了隨機(jī)游走問(wèn)題后，假設(shè)隨機(jī)游走每一步的概率p=q=0.5，證明了P[X（n）=0，i.o.]=1，即一維簡(jiǎn)單隨機(jī)游走的質(zhì)點(diǎn)返回原點(diǎn)的概率為 1.日本數(shù)學(xué)家角谷靜夫通俗地將其表述為：喝醉的酒鬼最終會(huì)找到回家的路（A drunk man will eventually find his way home）.

根據(jù)式（13）的隨機(jī)游走位移公式，從原點(diǎn)出發(fā)的一維簡(jiǎn)單隨機(jī)游走質(zhì)點(diǎn)相對(duì)原點(diǎn)的位移x（n）與步數(shù)n成正比，表明隨著步數(shù)n的增加，喝醉的酒鬼會(huì)逐漸遠(yuǎn)離原點(diǎn).

六、結(jié)論

本文指出了隨機(jī)游走定義中的兩個(gè)基本概念錯(cuò)誤：①將質(zhì)點(diǎn)位移與時(shí)間之間的數(shù)量關(guān)系抽象為隨機(jī)變量的基本概念錯(cuò)誤;②用刻畫(huà)大量重復(fù)試驗(yàn)中隨機(jī)事件發(fā)生可能性的概率來(lái)度量隨機(jī)游走每一步向右或向左可能性的研究方法錯(cuò)誤.隨機(jī)游走定義中的兩個(gè)基本概念錯(cuò)誤無(wú)形中導(dǎo)致隨機(jī)游走樣本軌道研究對(duì)象發(fā)生錯(cuò)位，使研究對(duì)象從一個(gè)質(zhì)點(diǎn)改變?yōu)橘|(zhì)點(diǎn)集合，只能用刻畫(huà)隨機(jī)變量的空間統(tǒng)計(jì)特性來(lái)描述一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的時(shí)間運(yùn)動(dòng)規(guī)律，從而會(huì)得出一系列與事實(shí)不符的結(jié)論.本文基于白噪聲序列的基本概念，重新定義了隨機(jī)游走，分別推導(dǎo)出單個(gè)隨機(jī)游走質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和大量隨機(jī)游走質(zhì)點(diǎn)的統(tǒng)計(jì)特性，可全面、系統(tǒng)地闡明隨機(jī)游走過(guò)程的現(xiàn)象、特征及規(guī)律;同時(shí)證明了在微觀上表現(xiàn)出很強(qiáng)隨機(jī)性的隨機(jī)游走，在宏觀上具有總體的確定性和穩(wěn)定性.

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