小學生解決萬以內(nèi)退位減法錯誤類型及影響研究

范文貴，李 燕

小學生解決萬以內(nèi)退位減法錯誤類型及影響研究

范文貴1，李 燕2

（1．天津師范大學 教育學部，天津 300387；2．山西省大同市實驗小學，山西 大同 037000）

解決退位減法問題是運算的基礎之一，國際學者非常重視退位減法問題研究．以Carla Fiori等人研究結果為基礎，利用問卷調(diào)查方法對天津市4所小學455名學生進行測驗．結果表明，學生解決退位減法問題包括5類錯誤：退位錯誤、使用運算法則錯誤、位值理解錯誤、混淆退位含義、其它錯誤；經(jīng)過回歸分析和相關分析發(fā)現(xiàn)退位錯誤對總失分影響最大．退位減法教學策略建議：明確跨0退位減法運算程序，多維度滲透位值制，利用圖示表征退位減法算理，鼓勵學生創(chuàng)新問題解決方法．

小學生；退位減法；錯誤類型；教學策略

1 問題提出

整數(shù)計算涉及到多種計算法則的綜合使用．學生依據(jù)運算法則進行多位數(shù)計算時，把計算過程分解成許多步，使得每一步都只涉及一位數(shù)或者兩位數(shù)的計算．整數(shù)除法、小數(shù)減法與除法都與整數(shù)減法相關，解決“萬以內(nèi)退位減法”既檢驗學生掌握兩位數(shù)減法水平，又是后續(xù)整數(shù)除法、小數(shù)減法的基礎．

退位減法問題研究是國際數(shù)學教育研究者關注的熱點問題之一．Torbeyns等人研究結果顯示：大多數(shù)學生總是依靠一種策略來解決退位減法問題，只有少數(shù)成績較好的學生表現(xiàn)出解決退位減法策略的多樣性和靈活性[1]．四年級學生可以有效地使用間接加法策略解決退位減法．間接加法是一種有效的計算策略，間接加法可以促進學生更深刻地理解數(shù)字組成和數(shù)學問題解決過程．與大差問題（如，913-27）相比，學生更愿意使用間接加法解決小差問題（如，802-778）[2]．Carla Fiori等人將學生解決退位減法出現(xiàn)的錯誤分為5類，其中帶0的被減數(shù)錯誤率較高，“從0退位”是最容易引起學生出現(xiàn)計算錯誤的[3]．國際研究成果引發(fā)對“退位減法問題研究”的深入思考．由于退位減法的復雜性，小學生并不能完全理解它的算理．學生計算錯誤背后隱藏著計算法則錯誤，學生在執(zhí)行計算過程中運用錯誤的程序性知識．有的教師只是將學生的算術計算錯誤看成由學生的粗心或者不良計算習慣造成的，這是片面的認識．

學生解決萬以內(nèi)退位減法現(xiàn)狀如何？研究將為教師提供小學生解決“萬以內(nèi)退位減法問題”出現(xiàn)錯誤類型及其原因，有助于教師更好地把握學生解決減法問題的表現(xiàn)，為教師開展退位減法教學以及整數(shù)除法、小數(shù)減法教學奠定基礎，以確保學生有機會在數(shù)學學習上取得成功．

2 學生解決退位減法問題研究基礎

2.1 關于“錯誤”

van Lehn對學生解決問題持續(xù)發(fā)生的程序錯誤進行分析，反映出學生缺乏概念知識的程序錯誤與偶爾發(fā)生的程序錯誤；一些數(shù)學事實錯誤是由于學生的算法不規(guī)范而導致的．這些錯誤反映學生從長期記憶中檢索數(shù)學基礎運算的困難或使用不正確計數(shù)策略[4]學生的普遍錯誤不同于隨機錯誤，有些錯誤概念即使經(jīng)教師一再提出證據(jù)講解、提醒，仍然重復出現(xiàn)．有一些錯誤概念具有歷史前導（historical precedence），意指當前學生所犯的錯誤，以前的學生也發(fā)生過．學生的錯誤概念并非是隨機發(fā)生的，他們的概念發(fā)展類似于科學歷史的演進．錯誤能夠反映出學生在解決問題時的內(nèi)在思維過程；換個視角來看，將錯誤從負面的學習失敗轉化為診斷學習的工具，展示錯誤有其教育上重要的價值[5]．不同的人會有同樣的錯誤，具有系統(tǒng)性，通?？梢哉业秸_的理論加以解釋．有一些錯誤是個體所獨有的，必須觀察學生回答一連串問題的反應后，理解學生思考特點．

學生的計算錯誤除了基本運算過程的偶然錯誤之外，最主要是來自于系統(tǒng)性的錯誤，而且這樣的系統(tǒng)性錯誤多是在學習過程中產(chǎn)生．學生通常不知道他們使用了錯誤的計算過程，而認為他們所使用的計算過程是正確的，錯誤是隨機出現(xiàn)的．學生只是將錯誤的運算過程固著于認知過程中，這種錯誤就很不容易改變，會影響以后的學習效果．

Ashlock指出：計算的錯誤并非是由于粗心或缺乏過程性知識所造成的，錯誤是由于不完全的學習和漸漸養(yǎng)成習慣所造成的．學生使用不同種類的錯誤過程，會產(chǎn)生更多種類的錯誤，因此分析學生錯誤的類型，探究學生犯這類錯誤所使用錯誤策略的原因，可作為改進教學的指導方向[6]．Blando研究結果則顯示學生一再犯同樣的錯誤，表示其對數(shù)學基本概念的誤解[7]．學生錯誤的答案通常有一部分是正確的，它反映了學生對數(shù)學知識理解程度；找出錯誤的部分并且理解為什么它是錯的，將會為學生的理解能力和元認知能力的發(fā)展提供強有力的幫助．

上述關于“錯誤”研究，確定錯誤的頻繁性、穩(wěn)定性和普遍性，闡明錯誤矯正的復雜性與反復性．這些結論對小學生的退位減法解題錯誤的分類與歸因具有指導作用．對學生錯誤模式的定性分析，為教師提供識別學生錯誤類型并確定學生的誤解和困難的機會．如果這些錯誤模式未及早糾正，則錯誤模式可能會持續(xù)存在，影響學生更高層次數(shù)學學習．

2.2 學生解決退位減法的錯誤

國際學者開展退位減法問題研究，從不同角度將錯誤進行分類．解決多位數(shù)的退位減法問題，當0在中間位數(shù)時會產(chǎn)生特別一類的退位錯誤類型[11]．Carla Fiori 給出4個錯誤類型：E1（借位技術錯誤，忘記退位），E2（不需要借位，而出現(xiàn)借位），E3（基礎計算錯誤，例如：計算20以內(nèi)減法錯誤），E4（疏忽，或者抄錯數(shù)等）[3]．Raghubar將學生的錯誤分為5類：基礎計算技能（14-8=5），豎式計算中用大數(shù)減小數(shù)（83-44=41，即個位4-3=1），忘記退位后減1（742-136=616，其中十位4-3=1，忘記從4退1，只剩下3），跨越0借位出現(xiàn)“0-N=N”模式（例如，106-70=176，其中十位0-7=7)，其它錯誤（視覺監(jiān)控錯誤：計算結果中多一個9，如圖1），馬虎[12]．西班牙學者從“書寫數(shù)字的錯誤、數(shù)字位置錯誤、運用計算法則錯誤、重組減法錯誤（忘記退位、或者總是退位）”等方面對學生解決退位減法所犯的錯誤進行分類[13]．Watson等人研究葡萄牙小學生加減計算問題，確定減法錯誤類型，包括計算錯誤、退位錯誤、有關0的錯誤、用大數(shù)字減小數(shù)字、遺漏數(shù)字等[14]．Riccomini研究發(fā)現(xiàn)：只有60%的教師正確地識別學生進行減法運算時出現(xiàn)的兩類系統(tǒng)性錯誤（smaller-from-larger（SFL））和borrowing across a zero digit（BAZ）的問題[15]．

圖1 視覺監(jiān)控錯誤

學生解決退位減法可以采用以下策略：分解策略（例如，學生嘗試分解兩個整數(shù)的多個百位、十位和個位，并分別減去它們）；順序策略（例如，457-298=？先減去數(shù)個百，接下來減去數(shù)個十，最后由第二個整數(shù)減去第一個未分割整數(shù)）；多變的策略（它涉及到學生根據(jù)對數(shù)字關系的理解或算術運算的屬性靈活調(diào)整問題中的數(shù)字和操作）[16]．Nemeth等人研究結果表明，在引入標準書寫算法后，不管數(shù)字的特點如何，學生都主要使用它．學生靈活使用數(shù)字分解（補償）策略解決多位數(shù)字減法問題頻率偏低[17]．Fischer等從答案的正確性方面分析學生使用計算方法解決退位減法問題的有效性，明確學生運算結果正確率與使用的書面計算方法密切相關．與三年級學生相比，五年級學生更多選擇分解方法來解決退位減法問題[18]．

綜上，退位減法的相關研究受到諸多國際研究者關注．研究者基于定量和定性層面開展退位減法解題錯誤研究，識別錯誤分類，確定錯誤的特征．這些研究成果構成對學生解決退位減法問題的錯誤進行分類研究的一個基本模型，是退位減法錯誤類型研究的重要理論來源之一．

3 研究問題與設計

3.1 研究問題

基于以上文獻分析，確定3個研究問題：（1）學生解決“萬以內(nèi)退位減法”的錯誤類型及相關分析；（2）學生解決“萬以內(nèi)退位減法”出現(xiàn)錯誤的原因；（3）基于錯誤原因分析，提出開展退位減法教學策略．

3.2 研究工具與數(shù)據(jù)分析方法

研究對象來自天津市南開區(qū)WML小學、河西區(qū)LZ小學、西青區(qū)DLT小學以及寧河區(qū)LY小學的三年級學生，每所小學隨機選取測試班級，有效試卷共計455份，占總數(shù)98.6%．其中市區(qū)小學兩所，郊區(qū)小學兩所．

為了考查學生關于退位減法的算理和分步計算的理解能力，研究采用自編退位減法測試題．包括4個維度：

（1）被減數(shù)不含0且不含1的退位減法，共5個題；

（2）被減數(shù)含0但不含1的退位減法，共5個題（其中包括三位數(shù)減法4個題、四位數(shù)減法1個題）；

（3）被減數(shù)含1但不含0的退位減法，共9個題（其中包括三位數(shù)減法6個題、四位數(shù)減法3個題）；

（4）被減數(shù)既含0又含1的退位減法，共4個題（都是四位數(shù)減三位數(shù)的題）．還設計3個選擇題，共計26個計算題，學生用40分鐘完成．

研究試卷總計90分，按位值計算得分，即個、十、百、千位得分互不干擾，計算正確一位就得一分．在測驗卷中學生扣掉一分代表一種錯誤．最后統(tǒng)計每一位學生在每一題上的得分及總分，形成EXCEL數(shù)據(jù)表，并利用SPSS軟件對“退位錯誤、運用運算法則錯誤、位值理解錯誤、混淆退位含義、其它錯誤”進行數(shù)據(jù)分析．

3.3 信度和效度

為了更進一步研究學生解決萬以內(nèi)退位減法的錯誤類型及不同錯誤類型對學生學習退位減法的影響大小，根據(jù)《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》要求和人教版教材內(nèi)容，確定測試內(nèi)容．首先，通過整理大量文獻，借鑒國際研究成果的試題結構，在綜合研究的基礎上編制了萬以內(nèi)退位減法測試卷．然后，邀請心理學專家、數(shù)學教育專家對劃分測試維度和指標、組卷前測試題目與相關測試指標的適切性進行有效評估．接著，分別從測試評價和課堂教學等不同角度讓教研員、小學數(shù)學教師對測試題內(nèi)容、難度提出意見（例如，原題有的數(shù)字偏大，多次退位、難度大）．最后，研究者對測試內(nèi)容進行反復斟酌，研討每一個試題，對測試卷進行兩次修改，力求提高問卷的內(nèi)容效度．信效度分析結果如表1、表2所示．

表1 信度分析結果

表2 效度分析結果

4 錯誤類型對總失分影響的統(tǒng)計分析

4.1 錯誤類型失分與總失分之間積差相關

基于上述相關文獻分析，結合《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》，綜合專家、小學數(shù)學教師訪談的結果，確定學生錯誤分析的5個維度：退位錯誤、運用運算法則錯誤、位值理解錯誤、混淆退位含義、其它錯誤．

表3 錯誤類型及試卷測評指標

進一步研究5種錯誤類型與學生總失分之間的影響程度，利用積差相關系數(shù)分析總失分與不同錯誤類型的關系，結果如表4所示．

表4 測驗總失分與5種錯誤之間相關矩陣

注：*表示<0.05，**表示<0.01

從表4中可以看出，測驗卷的總失分與歸類后5種錯誤類型以及5種錯誤類型之間在<0.01水平（雙側）上都呈顯著正相關．其中，總失分與退位錯誤兩者呈高度正相關（=0.849），表明學生犯退位錯誤越多，對總失分影響越大．退位錯誤與運算法則錯誤（=0.330）、混淆退位含義（=0.103）、其它錯誤（=0.375）之間呈低度相關；運算法則錯誤與其它錯誤（=0.356）、位值與占位錯誤（=0.111）之間呈低度相關，與總失分（=0.535）之間呈中度相關；位值與占位錯誤與其它錯誤（=0.209）之間呈低度相關，與總失分之間（=0.294）之間呈低度相關；混淆退位含義與總失分（=0.197）之間呈低度相關；其它錯誤與總失分（=0.761）之間呈高度相關；除此以外其它兩兩錯誤類型之間并沒有顯著相關性．

4.2 回歸分析

回歸分析不僅可以定量揭示不同錯誤類型失分與總失分之間的影響大小，還可以通過回歸方程對總失分進行預測和控制．對5種錯誤類型進行數(shù)據(jù)統(tǒng)計的回歸分析（表5）．

表5 回歸系數(shù)

從表5的統(tǒng)計數(shù)據(jù)來看，退位錯誤、運用運算法則錯誤、位值理解錯誤、混淆退位含義、其它錯誤對總失分存在顯著性影響．5個標準化回歸系數(shù)中，退位錯誤的系數(shù)最大（0.497）．減法計算過程中的錯誤主要是正確規(guī)則的缺失或者不恰當?shù)匾肓似渌嬎慵寄艿囊?guī)則．“退1作10”是高階到低階單位轉換的過程，同時在運算過程中，退位數(shù)位發(fā)生的變化是非典型分割的過程．相關的退位錯誤又可分為多個種類，例如，越過“0”借位，即在借位遇到0時，跳過0向前一數(shù)位借；忘記退位（例如，63-57=16），也常有學生對借位的時機做出錯誤判斷，即不該借位時卻借位（詳見下文有關案例）．回歸分析結果表明：在5種錯誤中，退位錯誤對總失分影響更大一些．研究結果進一步說明：學生的計算錯誤并非隨機發(fā)生，不同人會犯相同錯誤，一些錯誤具有普遍性，退位錯誤應引起教師重視．

5 退位減法運算錯例及原因分析

學生學習減法程序性知識即是獲取恰當新的運算法則．學生計算退位減法出現(xiàn)錯誤的原因：正確運算法則的缺失或者不恰當?shù)匾肓似渌嬎慵寄艿囊?guī)則．下面結合案例，分析學生解決退位減法的5種錯誤的原因．

5.1 退位錯誤

前面量化分析中，退位錯誤是減法運算中錯誤率最高的類型．案例分析學生退位錯誤的原因，如圖2，個位上0減9不夠減，向十位借位，十位上5退位后應該減去1變?yōu)?，但學生在處理時仍然采用5-4=1，導致錯誤．學生在進行計算時，某一位上數(shù)值不夠減，學生知道需要向前一位借位后進行計算，但存在忘記退位的現(xiàn)象．

學生解決運算問題涉及記取關鍵要素及其相互關系．學生在解題時，往往在認知負荷較大的步驟上產(chǎn)生較多的錯誤，其錯誤的原因并非沒有掌握有關的解題規(guī)則，而是其工作記憶的容量有限的緣故[19]．

圖2 退位錯誤（1）

有證據(jù)表明退位減法運算增加了問題難度，特別是連續(xù)退位，需要學生記憶多步退位[20]．受加法進位順序影響，學生直接按照進位加的順序標注退位點．這將引起退位混亂，有的學生忘記某數(shù)位是否退位（特別是被減數(shù)中間帶0或者幾百、幾千）．忘記退位的突出表現(xiàn)在解決連續(xù)退位，特別是解決被減數(shù)帶0的退位減法，學生出錯明顯．當學生嘗試從零借來并且不繼續(xù)從零向左的退位時（圖3，602-437=265，學生沒有從百位借1），發(fā)生向零位數(shù)字借位．

認知發(fā)展不僅是掌握復雜的規(guī)則，而且必須能夠抑制先前獲得的一些經(jīng)過熟練學習和使用的知識與技能．受到負遷移學生錯誤判斷借位的時機，即不該借位時卻借位．學生先前所接受的知識技能對即將要解決問題造成干擾，從而導致錯誤的現(xiàn)象．有的學生還出現(xiàn)不需要退位卻退位的狀況．如圖4，個位上0減9不夠減，向十位借1．在計算十位時，雖然十位上4減4夠減，但學生仍然向百位借1．

圖3 退位錯誤（2）

圖4 退位錯誤（3）

如圖5，在運算1?000減777時，在被減數(shù)個位0上也點了退位點，沒有考慮到個位是否有退位需求或是個位退位的合理性，體現(xiàn)出學生見到0即想退位的思維定勢．如圖6，明顯十位夠減，但是學生還是在被減數(shù)的百位上點退位點．

圖5 退位錯誤（4）

圖6 退位錯誤（5）

當學生在學習計算、建構知識時，企圖利用自己的觀念去修正所學的知識，因此造成了錯誤的觀念，并在往后的作業(yè)中一再出現(xiàn)相同的錯誤類型．有的學生出現(xiàn)“退位兩次”的錯誤，特別是連續(xù)退位減法中，對某一數(shù)位上連續(xù)退位兩次，即計算時將本位上的數(shù)字減去2進行計算．例如圖7，學生運算400減165時給出他的自然的錯誤解法：“我先列豎式，相同數(shù)位對齊，從個位開始減，個位上是0，0減5不夠減，向十位借，十位上是0，借不到，所以向百位借，并在4上面點上個點，借1當10，10減5等于5；再算十位，十位上也是0，0減6不夠減，所以再向百位的4借1當10，再點上一個點，十位的10減6等于4；再算百位，百位上的4借了兩次，所以還剩下2，2減1等于1．所以，400-165=145．”

圖7 退位錯誤（6）

5.2 使用運算法則錯誤

在解題過程中，學生遇到困難，不會立即放棄，會尋求其它法則來解決問題，若是在尋求其它解決方法中有誤，則整個解答過程便會產(chǎn)生錯誤．作減法時，有的學生雖然明白不夠減需要退位，但在實際的運算中，卻采用的是加法的運算法則，在同一個減法計算中，學生一會采用減法，一會采用加法計算，導致運算出現(xiàn)錯誤．圖8中，個位數(shù)字是3減7不夠減，學生明白需要向前一位借1，但在實際中卻直接將大數(shù)7減去小數(shù)3，將所得結果4寫在差的位置．

有的學生依據(jù)自己先前學習的知識建構出不適當或錯誤的運算規(guī)則．他們學習新的數(shù)學知識時，對正確的運算規(guī)則做出過度類比或臆想，誤用舊經(jīng)驗解決新問題，新的知識與舊經(jīng)驗相互干擾產(chǎn)生錯誤．當學生不了解教師所教授的知識和書本的說明時，學生會企圖利用自己的觀念去改變所學的知識，因而造成錯誤．有的學生在計算時，將退位后所得10直接減去減數(shù)上所對應數(shù)位，將所得結果寫在差相應數(shù)位上，而不加上被減數(shù)中原位置上數(shù)字，出現(xiàn)程序錯誤．圖9中，十位上退位后為2，2減4不夠減，向百位借1，學生將百位退1后得到的10直接減去4，而沒有加上十位上數(shù)字2，而出現(xiàn)錯誤．

圖8 退位錯誤（7）

圖9 退位錯誤（8）

5.3 位值理解錯誤

5.3.1 位值含義理解錯誤

由于數(shù)學程序知識與概念知識之間的密切關系，學生的程序錯誤反映出學生缺乏十進制位置概念系統(tǒng)知識．David M M研究表明：學生解決退位減法最頻繁出現(xiàn)的錯誤模式來自于缺乏對位值制數(shù)字系統(tǒng)的意義理解[12]．對于被減數(shù)的數(shù)字經(jīng)過借位或數(shù)字重組后，有的學生認為數(shù)字在借位前和借位后，被減數(shù)的數(shù)值會改變．

在學習歷程中，概念的混淆常常是來自記憶中學習經(jīng)驗的相互干擾．需要退“1”作十解決退位減法問題時，一些學生不能將十進制與豎式減法聯(lián)系起來[21]．如圖10，學生在表示十位的方框中寫10，則被減數(shù)就變成“53?101”不是原來的四位數(shù)，因改變豎式計算中位值本身的含義而出現(xiàn)錯誤．學生使用自己的方法解決問題并且感到滿意，而不管題目的原義，只要能求出他認為對的答案就可以了．

圖10 退位錯誤（9）

5.3.2 首位誤用0占位

學生誤用記數(shù)規(guī)則．如圖11、圖12，在測驗中，有的學生忘記記數(shù)規(guī)則，在計算時遇到首位上得數(shù)為0時，首位上仍然寫0占位．

圖11 退位錯誤（10）

圖12 退位錯誤（11）

5.4 混淆退位含義

在不連續(xù)退位情況下，減法退位順序與加法進位順序相似，左側數(shù)退“1”，退到右側數(shù)位形成退“1”作十，與右側數(shù)位上的數(shù)組合（這是數(shù)字等價變換），但是有的學生存在理解錯誤．

5.4.1 混淆1退位后含義

當被減數(shù)中含有1的減法在向1退位時，有的學生將1看作10，1退位后變成9，當計算1所在數(shù)位時按照退位后所得9來進行計算．如在圖13中，個位上4減7不夠減，向十位借1，退位后個位變成14減7得7；十位上學生將1退位后當作9，9減3得6，出現(xiàn)錯誤．

5.4.2 混淆0退位后含義

針對“從0退位的錯誤”的類型，以往研究中有多位數(shù)的退位問題，當0在中間位數(shù)時會產(chǎn)生特殊的退位錯誤類型．如圖14，被減數(shù)中含有兩個0，十位上“1”點上一個退位點后，個位“0”的含義變?yōu)?0，10減9得1，第二個“0”在百位，由于已經(jīng)退過位，此時百位“0”上點退位點的含義為9，而學生仍然將此“0”當作10來計算而出錯．

5.5 其它錯誤

圖13 退位錯誤（12）

圖14 退位錯誤（13）

在退位減法計算中，學生已經(jīng)掌握基本算理，運算過程也正確，但由于粗心出現(xiàn)的個別錯誤，如：抄錯題、遺漏數(shù)字、馬虎、空題等錯誤，由于這些因素并不是學生在退位減法中加強算理等認知因素所引起的，在測驗中將此類錯誤歸為其它錯誤．

6 基于退位減法錯誤研究開展教學

6.1 明確跨0退位減法運算程序

教師不僅識別出學生解決問題中出現(xiàn)的特殊類型錯誤，他們能根據(jù)這些錯誤的特點提供有針對性的指導．為了矯正學生解決退位減法出現(xiàn)的從0退位的錯誤（圖2；文[3]、文[11]等），基于減法的原始豎式形式，學生要理解退位原理．

古代中國人用算籌進行計算，有一套方便方法．籌算加減法很簡單，“由高位算起”（圖15，即由左向右計算）[22]．

圖15 算籌計算案例

雖然現(xiàn)在計算都是從低位算起，但是在連續(xù)退位情況下，減法退位順序與加法進位順序相反，特別是被減數(shù)中間帶0或者被減數(shù)是幾百、幾千，需要在非0的高位點退位點（退“1”），再按數(shù)位向右依次退“1”作十．如圖16，在進行計算500減403時，學生發(fā)現(xiàn)個位是0不夠減，結合以前學習經(jīng)驗，學生會讓十位退“1”；而十位同樣為0，無法退“1”；學生要想到繼續(xù)向前，讓百位退“1”．即學生明確跨0的退位減法程序：首先從非0的高位退“1”，再完成后續(xù)各個數(shù)位退“1”作十，直至個位減法．

6.2 多維度滲透位值制

教師將位值概念轉化成有利學生理解數(shù)字的方式．學生能察覺到退位減法的方向性、被減數(shù)與減數(shù)不可互換；自左鄰位值退“1”作十到靠右的該位值，并了解退位使得該位值數(shù)量變大、使整個多位數(shù)數(shù)量變??；任一位值的數(shù)字相減時，如同個位數(shù)相減．退位也就是在高階單位和低階單位之間做轉換，總之不會因為重新命名而改變．

圖16 跨0退位減法案例

減法運算的過程與位值概念的發(fā)展是密不可分的．學生對位值的理解，影響學生在進行減法運算時所使用的策略．讓學生明白不同位值所代表的含義，在遵循減法運算基本規(guī)則下，引發(fā)學生認知沖突；利用教具或者課件向學生呈現(xiàn)“退位”后各個數(shù)位上數(shù)值的變化，學生理解根據(jù)不同數(shù)位上數(shù)值，再進行減法運算．

教師要了解位值概念的發(fā)展模式，掌握各成分知識的難易排序，依據(jù)由易至難順序：位置知識、群組知識、數(shù)字對應、分割知識．學生不僅了解滿10進“1”和退“1”作10、知道10個“1”等于１個“10”，以及“相鄰單位呈十倍關系”，還要能夠將數(shù)依典型分割或非典型分割方式表示，同時也能依據(jù)數(shù)字所在位置辨識其數(shù)值．

6.3 利用圖示表征退位減法算理

學生沒有掌握算理，很可能還是不會解決問題，甚至重復地出現(xiàn)相似或者相同的錯誤，即使大量重復訓練，也會導致其數(shù)學問題解決能力發(fā)展故步自封、停滯不前[23]．學生從具體表征階段需經(jīng)歷“半具體、半抽象”階段才到達“抽象”階段，學生將知識內(nèi)化，逐漸將表征抽象化，將真實世界與數(shù)學抽象世界聯(lián)系起來．針對退位的步驟，教師訪談學生“被減數(shù)退位后數(shù)值的變化情況？”發(fā)現(xiàn)多數(shù)學生只是熟記運算法則，對于退位的深層意義根本不了解，也不知道退位的動作并不會使被減數(shù)的數(shù)量減少．

Thanheiser利用正方形、條形圖、點子圖等圖形給出解釋數(shù)字重新組合，說明重新組合后數(shù)字的值保持不變[24]．從具體、半具體到抽象，讓學生畫出符合題意的圖示表征以協(xié)助學生理解題意．例如，403-158=？學生理解算法背后的算理嗎？明確點“兩個退位點”順序嗎？通過畫圖，學生解釋算理（如圖17）：畫4個大圓表示400，畫3個小棒表示3，3-8不夠減，而十位是0，無法退位，進而讓百位退“1”．百位上4退“1”（1個百）后圈出一個圓，這一個圓（表示1個百）到達十位后變成10個小圓（每個小圓表示1個十）．繼續(xù)向個位退“1”，十位圈出一個小圓到個位，變成10個小棒，加上原來的3根小棒，此時個位上數(shù)字為“13”．個位上13-8=5，十位上剩余9，9-5=4，百位上剩余3-1=2，得數(shù)245．

圖17 退位計算算理

學生的計算能力建立在數(shù)列、數(shù)物、基數(shù)等能力完備發(fā)展的基礎上，這些先備知識對于學生以后數(shù)學學習成效影響深遠．在課堂教學中，在遇到難點時，教師指導一些學生借助畫圖的方式輔助思考算理．從文字表征轉譯為圖像表征的轉譯活動，將問題復雜且抽象的關系，透過畫圖表征讓學生了解題目的特征，使一些難以理解的數(shù)量關系變得具體化且有可詮釋性，促進學生發(fā)現(xiàn)隱藏在條件間的關系．

6.4 鼓勵學生創(chuàng)新問題解決方法

《計算之書》描述的整數(shù)四則運算規(guī)則與現(xiàn)在的計算規(guī)則基本相同，但“退位”方法與現(xiàn)今不同，現(xiàn)在的規(guī)則是把被減數(shù)下一位減去“退位數(shù)”，而斐波那契卻把減數(shù)下一位加上“退位數(shù)”．例如圖18，如要從380中減去92，把92寫在380的下面，因為從0中減去2是不可能的，將0加上10，得10，減去較小數(shù)中的2，得8，把它放在第一位，因為增加10，故把1保留在手中，把它加上9，得10，從8中減去10，但是這是不可能的；把它從18中減去，得8，放在第二位，保留1并從3中減去；得2，放在第三位，因此得到288就是減法的差[25]．

圖18 斐波那契的退位方法

Carpenter T P等人的研究結果表明，孩子們可以發(fā)明加法和減法的策略，大約90%的學生使用自己發(fā)明的問題解決策略．在學習標準算法之前，使用發(fā)明策略的學生更好理解十進制概念．與最初學習標準算法的學生相比，他們會更成功地將他們發(fā)明的問題解決策略應用到新的情境[26]．Carroll和Porter研究發(fā)現(xiàn)，有的學生自己發(fā)明退位減法的解決問題策略，當減數(shù)較大時，不需要“退位”或重組，而是用負數(shù)，例如，62-25=40+(-3)=37[27]．

Thanheiser從“數(shù)的組成與分解、退1等10”兩個角度探究學生計算“735-264=471”的方法[28]．學生學會靈活解決問題．這些策略涉及到根據(jù)對數(shù)字關系的理解或算術運算的屬性靈活調(diào)整問題中的數(shù)字和操作．變化策略的一個例子是補償策略，例如，601-234=(600-234)+1=366+1=367；457-298=457-(300-2)=157+2=159．

7 研究結論與討論

研究提供了小學生解決多位數(shù)退位減法中所犯的錯誤類型的系統(tǒng)分析．基于國際視野，把握退位減法的前沿研究成果，收集問卷測試數(shù)據(jù)，經(jīng)過相關分析和回歸分析，發(fā)現(xiàn)5類錯誤與總失分之間關系．特別是，退位錯誤對總失分影響最大．在案例分析研究中，發(fā)現(xiàn)學生難以理解0的含義以及將其作為數(shù)字來解決退位減法問題．教師應關注學生解決問題的高概率錯誤．這項研究幫助教師在處理減法時參與選擇練習，使他們意識到選擇所用計算方法的重要性．解決減法問題使學生對數(shù)學產(chǎn)生恐懼并對其掌握數(shù)學概念的能力失去信心[29]．基于理解視角，學習數(shù)學需要教師具有識別學生錯誤類型的能力，這些錯誤反映了學生對概念缺乏深刻地理解．開展退位減法的錯誤分析為教師提供有關學生思維、理解和誤解的重要信息．理解位值制對于提升學生多位數(shù)加法、減法計算技能至關重要．診斷評估學生錯誤模式有利于教師盡早為學生提供有意義矯正錯誤的機會，促進學生獲得數(shù)學成功的機會．

研究只以天津455名學生作為調(diào)查對象，存在地區(qū)局限性，未來可繼續(xù)探索全國多區(qū)域小學生解決退位減法的現(xiàn)狀；探索小學生解決整數(shù)退位減法與小數(shù)減法之間的關系．

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Study of the Error Patterns and Influences of Primary School Students in Performing Subtractions with Regrouping for Numbers Less Than Ten Thousand

FAN Wen-gui1, LI Yan2

(1. Faculty of Education, Tianjin Normal University, Tianjin 300387, China;2. Experimental Primary School, Shanxi Datong 037000, China)

Solving subtraction problems with regrouping is one of the foundations of mathematical operations. International scholars attach great importance to the study of subtraction with regrouping. Based on the results of Carla Fiori et al., 455 students were tested using a questionnaire survey. The findings demonstrated that students solved subtraction problems with regrouping with five patterns of errors: regrouping errors, algorithm errors, misunderstanding place value, confusing the meaning of regrouping, and other errors. After regression and related analyses, it was found that the regrouping error had the greatest impact on the total loss. Based on an analysis of the cause of the error, the following teaching strategies for subtraction with regrouping are proposed: clearing the operation procedure of cross-zero subtraction with regrouping, penetrating the place-value system with multiple dimensions, graphically representing the arithmetic of subtraction with regrouping, and encouraging students to innovate problem-solving methods.

elementary school students; the subtractions with regrouping; error pattern; teaching strategy

G622.4

A

1004–9894（2021）06–0032–07

范文貴，李燕．小學生解決萬以內(nèi)退位減法錯誤類型及影響研究[J]．數(shù)學教育學報，2021，30（6）：32-38．

2021–07–02

天津市哲學社會科學規(guī)劃資助項目——學校教育共同體精準幫扶系統(tǒng)構建與實效研究（TJJX18-014）

范文貴（1965—），男，遼寧錦州人，教授，博士，碩士生導師，主要從事教師教育、小學數(shù)學教育研究．

[責任編校：陳雋、陳漢君]