中國三十年來小學(xué)階段分數(shù)研究文獻的系統(tǒng)分析及啟示

黃曉林，黃秦安

中國三十年來小學(xué)階段分數(shù)研究文獻的系統(tǒng)分析及啟示

黃曉林，黃秦安

（陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，陜西 西安 710119）

文獻系統(tǒng)分析發(fā)現(xiàn)，圍繞教與學(xué)形成側(cè)重作為知識的分數(shù)和關(guān)注分數(shù)認知事實兩條不同研究主線，且偶有交叉，反映了傳統(tǒng)教育“教學(xué)圍繞教師發(fā)生”特點的影響．以分數(shù)教學(xué)研究為透鏡，探討以學(xué)生分數(shù)認知為基礎(chǔ)進行教材編排，由測量模型引入分數(shù)概念的可行性，體現(xiàn)教育研究對學(xué)生學(xué)習(xí)的真切關(guān)懷．提出基于“學(xué)”展開數(shù)學(xué)知識探討以豐富知識內(nèi)涵；關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)發(fā)生真實過程以改進教學(xué)實踐；深化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)評價以促進學(xué)生核心素養(yǎng)培養(yǎng)；強化教師數(shù)學(xué)教學(xué)觀以指導(dǎo)教學(xué)實踐研究，為數(shù)學(xué)教育提供借鑒．

分數(shù)概念；分數(shù)教與學(xué)；教材編寫；測量模型

對“數(shù)”的認識與學(xué)習(xí)是小學(xué)數(shù)學(xué)階段的重要內(nèi)容，學(xué)生的學(xué)習(xí)“不僅包括數(shù)學(xué)結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果形成的過程和蘊涵的數(shù)學(xué)思想方法”[1]．相對于自然數(shù)而言，分數(shù)的學(xué)習(xí)明顯地表現(xiàn)出“承上啟下”的性質(zhì)[2]．分數(shù)異于自然數(shù)的符號特征與其自身豐富內(nèi)涵增加了學(xué)生學(xué)習(xí)的難度．無論從數(shù)系擴張的角度，把握分數(shù)作為數(shù)的本質(zhì)屬性，兼顧其產(chǎn)生的歷史進程及教學(xué)啟示；還是從學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的角度，理解學(xué)生分數(shù)認知規(guī)律，為學(xué)習(xí)與發(fā)展構(gòu)建基礎(chǔ)，都對分數(shù)學(xué)習(xí)產(chǎn)生重要影響．因此，不難理解分數(shù)作為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中一個具體內(nèi)容，卻引起了心理學(xué)和教育學(xué)學(xué)術(shù)研究者、教研員和一線教師的廣泛關(guān)注．近30年來，研究者透過不同的視角，采用不同的策略與方法，在教學(xué)實踐與學(xué)術(shù)研究中成果豐碩．作為數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域眾多重要議題中的一個，其研究結(jié)果中既有作為分數(shù)教學(xué)內(nèi)容特有的典型特征，也有中國基礎(chǔ)教育階段共有的特點，以此審視小學(xué)數(shù)學(xué)的“教”與“學(xué)”，進行分數(shù)研究知識脈絡(luò)的系統(tǒng)分析，為后續(xù)數(shù)學(xué)教育研究積累些許經(jīng)驗是有意義的．

選取CNKI收錄的732篇（其中57篇核心期刊來源文獻）小學(xué)階段分數(shù)研究文獻，采用系統(tǒng)分析的方法，梳理了分數(shù)主題研究的知識發(fā)展脈絡(luò)，勾勒知識演進過程；聚焦分數(shù)研究的核心問題，審視分數(shù)教學(xué)研究是否符合學(xué)生的認知發(fā)展和教育目標(biāo)；探討學(xué)生“學(xué)”與教師“教”之間怎樣實現(xiàn)更好的互動，以推動學(xué)生自主學(xué)習(xí)，實現(xiàn)全面發(fā)展．

1 中國近30年分數(shù)研究主題文獻要素的整體分析

從作者身份上看，將研究者分為，一線教師為主的教學(xué)實踐者、教研員為主的教師教育者、高校教師為主的學(xué)術(shù)研究者3類．從研究涉及的內(nèi)容上看，具有典型特征的教學(xué)實踐者關(guān)注到了分數(shù)教學(xué)的幾乎全部內(nèi)容，編碼頻次由高到底分別是分數(shù)的運算、分數(shù)的應(yīng)用、分數(shù)的認識、分數(shù)的意義、分數(shù)基本性質(zhì)以及分數(shù)的表示．在這些工作中，教師嘗試以具體知識內(nèi)容為載體探討分數(shù)教學(xué)問題．而學(xué)術(shù)研究者的工作中，少部分同教學(xué)實踐者一樣，聚焦分數(shù)具體知識，如分數(shù)運算中的除法、分數(shù)大小的比較、解分數(shù)應(yīng)用題；多數(shù)工作關(guān)注分數(shù)概念的本質(zhì)含義，在教材中的編排與呈現(xiàn)，兒童分數(shù)認知發(fā)展．

從研究視角上看，教學(xué)實踐者多借助具體的教學(xué)設(shè)計和課堂實錄進行教學(xué)片段分析、課堂教學(xué)活動反思，闡釋教學(xué)案例背后的教學(xué)方法和理念，且具有較高同質(zhì)性．相反，學(xué)術(shù)研究者較少關(guān)注具體內(nèi)容的教學(xué)實踐問題，而是通過分數(shù)概念內(nèi)涵的探討、教材比較等方式獲得對分數(shù)本質(zhì)的認識；關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)中分數(shù)概念的理解、發(fā)展與建構(gòu)，以及對學(xué)習(xí)結(jié)果的評價；基于心理學(xué)科視角，對兒童學(xué)習(xí)分數(shù)概念的認知思維、表征方式、學(xué)習(xí)加工模式等進行實證研究．

2 分數(shù)研究的知識演進脈絡(luò)分析

從分數(shù)研究的文獻增長量上考察分數(shù)相關(guān)研究的整體進展，發(fā)現(xiàn)1991—2000的10年間僅6篇文獻在核心期刊上發(fā)表，主要研究工作集中在2006—2020年．以《小學(xué)數(shù)學(xué)參考》連續(xù)26年的發(fā)文量與所檢索到的核心期刊文獻數(shù)量變化比較發(fā)現(xiàn)，進入21世紀(jì)后關(guān)于分數(shù)的研究似乎淡出了研究者的視野．其中，2000—2005年檢索CSSCI期刊文獻數(shù)量為0．盡管2006年前15年發(fā)表在核心期刊上的文獻不多，但研究工作呈現(xiàn)出聚焦學(xué)生分數(shù)學(xué)習(xí)的特征：一類關(guān)注教學(xué)實踐中學(xué)生的分數(shù)計算和問題解決，關(guān)心學(xué)生成績；一類基于心理學(xué)視角，關(guān)注兒童對于分數(shù)的認知加工和表征，考察學(xué)生對于分數(shù)的理解．以下重點探討近15年來的知識演進脈絡(luò)．

2.1 分數(shù)研究的近15年知識演進過程

縱觀2006年后的研究工作，“數(shù)概念”成為關(guān)鍵詞聚類的中心，表明認識分數(shù)概念的本質(zhì)逐漸成為研究工作的立足點，分數(shù)中諸如“分數(shù)概念”“分數(shù)乘除法”等具體問題是多數(shù)研究繞不過的載體．研究主題圍繞著“教”與“學(xué)”形成了兩條研究主線．

2.1.1 圍繞教學(xué)展開的研究

在“怎樣教”的問題上經(jīng)歷了關(guān)注教學(xué)設(shè)計和具體教學(xué)問題；探討整體教學(xué)結(jié)構(gòu)；聚焦承載“教什么”和指導(dǎo)“怎么教”的教材比較研究3個階段．探討“怎樣教”的過程中，研究者或從兒童分數(shù)概念學(xué)習(xí)的發(fā)展階段及困難點出發(fā)[3]，或基于當(dāng)前分數(shù)教學(xué)模式，由學(xué)生分數(shù)除法、分數(shù)意義的理解層次[4–5]，建構(gòu)文章分析和測量框架，從學(xué)習(xí)結(jié)果出發(fā)展開研究，反觀學(xué)習(xí)不足，提出具體改進建議．如，強調(diào)重視學(xué)生對分數(shù)及各部分概念和意義的深刻理解[6–7]．或圍繞分數(shù)教學(xué)中應(yīng)“教什么”進行概念辨析，厘清分數(shù)概念的本質(zhì)與內(nèi)涵[8–10]，提出“模式主導(dǎo)，雙向多維”的分數(shù)意義的整體教學(xué)設(shè)計方案[11]和具體的教學(xué)實踐改進策略．如，從度量模型引入分數(shù)單位[12]，展開行動研究[13]，推進研究者對于分數(shù)概念與教學(xué)的深入理解[14–15]．

在聚焦“教什么”和“怎么教”的教材比較研究中，研究者就具體的分數(shù)內(nèi)容對中、美及新加坡教材中定義類型、表征方式和編排順序做了比較研究[16]；在整體內(nèi)容的編寫依據(jù)、組織結(jié)構(gòu)，以及教科書編寫理念和呈現(xiàn)方式等方面的比較亦有涉及[17–18]；中、日、新加坡，中、韓，以及中國大陸和中國臺灣地區(qū)教材中例題和習(xí)題及分數(shù)除法內(nèi)容編排的比較，橫向上進行內(nèi)容組織對比分析，縱向上對不同版本教材的難易程度，知識點呈現(xiàn)的認知深度，學(xué)生認知發(fā)展進行了研究[19–22]．此外，研究者還透過不同的理論視角反觀現(xiàn)有教材，提出編寫建議[23–24]．

2.1.2 圍繞學(xué)習(xí)展開的研究

關(guān)于學(xué)生分數(shù)學(xué)習(xí)困難和學(xué)習(xí)認知的研究，最初延續(xù)關(guān)注學(xué)生分數(shù)學(xué)習(xí)結(jié)果，圍繞學(xué)生分數(shù)學(xué)習(xí)困難的思路[25]，反思學(xué)生在分數(shù)學(xué)習(xí)中對等分、單位量、等值分數(shù)等概念理解的發(fā)展階段與實際困難，認為“整數(shù)偏向”是兒童學(xué)習(xí)分數(shù)的抑制因素，并探討教學(xué)實施策略[26]．隨著研究的深入，對學(xué)生分數(shù)學(xué)習(xí)困難的研究視角逐漸由借助學(xué)生的分數(shù)學(xué)習(xí)結(jié)果反觀學(xué)習(xí)困難，轉(zhuǎn)變成考察學(xué)生分數(shù)學(xué)習(xí)具體問題，嘗試從心理學(xué)角度解釋學(xué)習(xí)困境．如，學(xué)生通過“部分—整體”模型習(xí)得分數(shù)概念后形成的誤區(qū)及學(xué)習(xí)困難[27]．

在分數(shù)認知方面，通過實證研究對兒童的分數(shù)概念認識、分數(shù)表征，以及認知加工方式等進行深入探討．從關(guān)注個體學(xué)習(xí)出發(fā)，梳理了兒童建構(gòu)分數(shù)概念時所采用的分割計數(shù)和相對量的知覺兩種心理基礎(chǔ)及建構(gòu)機制，對分數(shù)概念語義理解水平和模式進行深入探討[28–30]；嘗試從兒童思維發(fā)展水平和對等值分數(shù)語言認知兩個方面，解釋兒童在理解等值分數(shù)概念時的困難，將小學(xué)一～三年級兒童等值分數(shù)概念的發(fā)展劃分為整體量概念、數(shù)量化的相對量概念、正式的等值分數(shù)概念3個階段；設(shè)計并實施干預(yù)實驗，提出嘗試開展等值分數(shù)的早期教學(xué)，從小學(xué)低年級入手，在個體的非正式整體量基礎(chǔ)上逐步推進對正式概念的學(xué)習(xí)；通過讓兒童關(guān)注等值分數(shù)任務(wù)情境中各對應(yīng)維度之間的乘法關(guān)系，能有效促進兒童乘法思維發(fā)展的具體教學(xué)建議[31–32]．在分數(shù)表征與認知加工方式研究方面，聚焦兒童非符號材料上的分數(shù)表征方式[33–34]、分數(shù)數(shù)量表征的準(zhǔn)確性及形式[35–36]、分數(shù)估計的表征模式[37]、分數(shù)表征轉(zhuǎn)化能力[38]、整數(shù)數(shù)量表征與分數(shù)數(shù)量表征的關(guān)系[39]、在分數(shù)比較或解決分數(shù)應(yīng)用題的認知加工方式等[40]，通過被試的表達，對問題測量結(jié)果進行統(tǒng)計分析，得出兒童分數(shù)表征和分數(shù)認知的事實結(jié)果．其中，分數(shù)教學(xué)的宏觀指導(dǎo)建議詳見結(jié)果討論部分．

2.2 分數(shù)研究的知識主線分離

值得注意的是，將學(xué)術(shù)研究者的研究工作分為“分數(shù)教學(xué)及分數(shù)學(xué)習(xí)”和“學(xué)生分數(shù)認知”兩組，分析文獻共被引發(fā)現(xiàn)，研究者僅在討論小學(xué)數(shù)學(xué)中分數(shù)的多層級理解[10]及整體構(gòu)建分數(shù)意義的教學(xué)行動研究[13]，引用了學(xué)生分數(shù)概念認知的相關(guān)工作．另一邊，僅一項五年級和六年級學(xué)生分數(shù)表征轉(zhuǎn)化能力的調(diào)查研究[38]參考了已有分數(shù)教學(xué)問題的相關(guān)結(jié)果．這反映出，一方面，心理學(xué)研究工作關(guān)注學(xué)生分數(shù)認知的事實規(guī)律，卻較少關(guān)注認知規(guī)律對教學(xué)活動的真實影響，這可能與心理學(xué)科研究者的科研工作多從學(xué)術(shù)角度出發(fā)，對實踐關(guān)切不足有關(guān)．另一方面，教學(xué)研究關(guān)注的焦點在于知識層面的概念與內(nèi)涵，忽視學(xué)生認知能力狀態(tài)，多從“教師教”的角度，基于實踐思維考察分數(shù)教學(xué)的相關(guān)主題，忽略學(xué)生自分數(shù)學(xué)習(xí)之始已將其先前經(jīng)驗（如幼兒早期對于非符號分數(shù)的計算能力、整數(shù)計算能力等）帶入學(xué)習(xí)中的事實，對學(xué)生作為學(xué)習(xí)的積極參與者和知識的共同建構(gòu)者在學(xué)習(xí)活動中的主體性關(guān)注不夠．

從數(shù)學(xué)教育傳統(tǒng)來看，可能是在教與學(xué)的統(tǒng)一活動中，普遍重視教多于重視學(xué)；基于“跟我學(xué)”思維邏輯展開學(xué)習(xí)指導(dǎo)與實踐研究，是“我教你，你去學(xué)”，而不是“你去學(xué)，我適時、恰當(dāng)?shù)亟獭?；漠視學(xué)生學(xué)習(xí)真正發(fā)生的過程，疏于反思教的本質(zhì)是為了促進和幫助學(xué)生更好去學(xué)的事實．從中國教育的歷史中考察，教學(xué)大致圍繞著教師來發(fā)生是傳統(tǒng)中國教育的一個十分重要的特色[41]．傳統(tǒng)教學(xué)中，通過會話或?qū)υ挼姆绞絹斫虒W(xué)，一方面使因材施教得以實現(xiàn)，另一方面強化了教學(xué)方式中教師引導(dǎo)的重要地位．隨著社會工業(yè)化的發(fā)展，傳統(tǒng)的小組式學(xué)習(xí)和師生會話的教學(xué)方式面臨著整班教學(xué)的挑戰(zhàn)；規(guī)范的學(xué)科知識體系，細致明確的教學(xué)目標(biāo)，定時定量完成的教學(xué)任務(wù)，沖擊著教師因材施教的可能性．然而，教學(xué)圍繞著“教”展開的認知卻在撕裂了的師生雙主體的傳統(tǒng)教學(xué)形式中保存了下來，使得教師教與學(xué)生學(xué)的統(tǒng)一活動中，呈現(xiàn)出對“教師教”的思考多于對“學(xué)生學(xué)”的關(guān)注；教學(xué)內(nèi)容依據(jù)教學(xué)計劃展開，忽略學(xué)生學(xué)習(xí)的真實需求；教學(xué)方法依據(jù)教學(xué)內(nèi)容選定，漠視學(xué)生學(xué)習(xí)真實發(fā)生過程．伴隨著信息化時代的浪潮，關(guān)注每一個學(xué)生的學(xué)習(xí)再一次成為教學(xué)的方向和可能．因此，嘗試從教學(xué)活動的另一面，“學(xué)生學(xué)”的視角探討分數(shù)研究主題是未來研究的新動向．

3 分數(shù)研究的重要問題梳理與討論

如前所述，通過對文獻的系統(tǒng)分析，從教師、學(xué)生和分數(shù)教學(xué)內(nèi)容，及3者相互聯(lián)系的角度，立足于溝通教師與學(xué)生、學(xué)生學(xué)習(xí)與所學(xué)內(nèi)容，嘗試勾勒分數(shù)研究的知識脈絡(luò)．對于研究者重點關(guān)注的分數(shù)概念的內(nèi)涵，學(xué)生的分數(shù)認知、教材編排、分數(shù)教學(xué)等議題，以分數(shù)教材的編排與分數(shù)概念的引入為抓手，做進一步梳理和闡釋，探討基于“學(xué)生學(xué)”的教材編寫和分數(shù)概念引入．

3.1 分數(shù)教材編排：分數(shù)的概念意義或?qū)W生的分數(shù)認知

3.1.1 分數(shù)的概念意義

在學(xué)生的分數(shù)學(xué)習(xí)研究中，研究者傾向從分數(shù)的意義出發(fā)探討分數(shù)是什么而決定學(xué)生需要學(xué)什么．對于分數(shù)意義的研究多參考Kieren對于分數(shù)概念解讀的5個方面：整體與部分的關(guān)系、比、商、測量與運算符（operators）[42]，發(fā)展出對分數(shù)的不同解釋．張奠宙先生用“份數(shù)”解釋分數(shù)定義與除法的包含除、平均分的關(guān)系，強調(diào)“先將整體平均分成若干份”是等分除角度的定義，“部分占整體大小”是包含除模型[43]．Kieren也認為，比的關(guān)系包含了“整體與部分關(guān)系”與“部分與部分關(guān)系”兩種解釋，提出分數(shù)“整體與部分關(guān)系”的解釋是“比”的一種特殊情形，同時強調(diào)了兩種思維方式在認知心理上的不同．也有研究者放棄整體與部分關(guān)系的含義，探討分數(shù)作為比、商、測量和運算的4種解釋方式[3，13]．從數(shù)系擴張的角度看，用兩個線段長度比表達分數(shù)，是用幾何的方法解釋無理數(shù)[44]；分數(shù)純數(shù)學(xué)上的定義，是指兩個整數(shù)相除的商[3]，即表示兩個數(shù)關(guān)系的數(shù)．

3.1.2 學(xué)生的分數(shù)認知

分數(shù)認知是數(shù)學(xué)認知研究的一個關(guān)鍵領(lǐng)域，從兒童認知角度來探討其理解分數(shù)困難的形式和原因是近年來國內(nèi)外分數(shù)研究關(guān)注的重要主題．其中，整數(shù)偏向（whole number bias）[46]是指學(xué)生趨于穩(wěn)定使用有關(guān)整數(shù)的獨立單元計數(shù)圖式來解釋分數(shù)的傾向，被認為在學(xué)生的分數(shù)認知中普遍存在，主要體現(xiàn)在比較分數(shù)大小、排序和分數(shù)的加減法運算上[27]，它是否是兒童分數(shù)學(xué)習(xí)困難的影響因素？ 中國研究者在這個問題上的研究，首先關(guān)注到教學(xué)實踐中整數(shù)偏向?qū)τ趯W(xué)生分數(shù)學(xué)習(xí)的負面影響[47]，梳理了整數(shù)偏向的可能成因，即學(xué)生在構(gòu)建分數(shù)概念時新舊知識之間的干擾和數(shù)字認知的起源和發(fā)展的更普遍問題．其中與分數(shù)教學(xué)相關(guān)的因素是，教師在教授分數(shù)概念時從部分—整體引入，強調(diào)了整數(shù)概念，造成學(xué)生對分數(shù)測量含義的不理解，教授分數(shù)比較和運算時，用先前的整數(shù)策略使學(xué)生更快捷地習(xí)得解題方法，雖為學(xué)生從整數(shù)系統(tǒng)擴展到有理數(shù)系統(tǒng)提供了很好的橋梁作用，但也為整數(shù)偏向的出現(xiàn)提供了可能性[27]．研究者測查55～75個月幼兒非符號的分數(shù)和整數(shù)計算能力發(fā)現(xiàn)，避開符號的干擾后，幼兒的分數(shù)計算能力盡管略低于整數(shù)計算能力，但遠好于隨機水平，且兩者具有相似的發(fā)展模式[33]，排除了整數(shù)偏向發(fā)生的認知起源和發(fā)展因素，將發(fā)生的可能因素聚焦在分數(shù)學(xué)習(xí)過程的影響上．進一步，通過對小學(xué)生在非符號材料上的分數(shù)表征方式的實證研究發(fā)現(xiàn)，放棄分數(shù)符號轉(zhuǎn)用非符號性分數(shù)材料，排除了整數(shù)的影響時，被試可以很好地完成分數(shù)比較任務(wù)[34]．這促使研究者反思，整數(shù)偏向或其它系統(tǒng)性的誤解并不是影響學(xué)生學(xué)習(xí)分數(shù)的主要因素，不準(zhǔn)確的類比才真正阻礙了學(xué)生的學(xué)習(xí)．并提出了在教學(xué)中密切聯(lián)系幼兒的早期分數(shù)經(jīng)驗[33]，考慮將分數(shù)教學(xué)提前，甚至可以和整數(shù)知識同時教授給學(xué)生的教學(xué)建議[28，34]．

盡管國內(nèi)研究者從兒童認知層面關(guān)注到整數(shù)偏向問題的時間較國外晚，但隨著研究的不斷深入，后續(xù)的工作進展與國際研究工作幾乎同步．研究者基于Siegler等提出“分數(shù)和整數(shù)的理解之間具有關(guān)鍵的連續(xù)性”[48]的觀點，進一步發(fā)現(xiàn)，兒童與成人在不同的數(shù)字線上的分數(shù)表征與整數(shù)表征結(jié)果非常類似，并認為分數(shù)作為一種數(shù)量符號是對整數(shù)符號的擴展[37]；分數(shù)與整數(shù)的數(shù)字線任務(wù)的研究證實了五、六年級學(xué)生整數(shù)數(shù)字線估計對分數(shù)數(shù)字線估計的積極預(yù)測作用，說明整數(shù)數(shù)量的理解是分數(shù)理解的重要前提[39]．上述研究不僅解釋了整數(shù)的認知不會抑制分數(shù)的學(xué)習(xí)，相反，強調(diào)了分數(shù)的測量意義對于兒童理解分數(shù)和整數(shù)的聯(lián)系和相似點的益處，為合理地安排學(xué)習(xí)內(nèi)容，促進學(xué)生將整數(shù)的認知擴展到分數(shù)等其它類型數(shù)概念的理解提供了理論基礎(chǔ)．

3.1.3 教材內(nèi)容編排的研究述評

中國教學(xué)實踐活動對教材依賴程度較高，教材的編排方式往往對教和學(xué)產(chǎn)生較大影響．研究者通過對不同國家及版本教材的對比分析，對分數(shù)教學(xué)內(nèi)容編排提出指導(dǎo)性建議；通過關(guān)注分數(shù)內(nèi)涵及其歷史演變過程，聚焦分數(shù)知識本身在教學(xué)中的重要作用，從教育工作者期望達成的教學(xué)目標(biāo)出發(fā)，圍繞分數(shù)認知模型、任務(wù)設(shè)計、材料提供、習(xí)題選擇、課時保證對教材內(nèi)容進行編排．然而此類研究落腳點在教師的教學(xué)，而不是學(xué)生的學(xué)習(xí)，是知識本位視角的探討．盡管有研究者關(guān)注到教學(xué)內(nèi)容的編排應(yīng)關(guān)照不同年齡段學(xué)生的認知特點，從認知復(fù)雜程度及認知深度出發(fā)對分數(shù)教學(xué)內(nèi)容進行適切性調(diào)整，但是這樣的研究從學(xué)生認知發(fā)展的一般規(guī)律出發(fā)，并沒有真切地反應(yīng)出學(xué)生在具體分數(shù)學(xué)習(xí)過程中產(chǎn)生學(xué)習(xí)困難的原因及心理因素．

促進學(xué)生學(xué)習(xí)發(fā)生是教材編寫的核心任務(wù)，關(guān)注分數(shù)概念意義與學(xué)生分數(shù)認知是在“分數(shù)”內(nèi)容和學(xué)生學(xué)習(xí)之間搭建橋梁的基礎(chǔ)．教材編寫從分數(shù)的意義出發(fā)，不能僅落腳于分數(shù)知識，需從學(xué)生分數(shù)學(xué)習(xí)出發(fā)關(guān)注兒童分數(shù)認知的真實狀況．關(guān)于分數(shù)認知的研究中，學(xué)生的分數(shù)概念語義理解水平，對分數(shù)的認知和整數(shù)認知相互聯(lián)系的關(guān)系；“部分—整體”認知模型帶來的整數(shù)偏差；測量意義上分數(shù)概念理解的重要性；分數(shù)作為“數(shù)”的概念對于理解分數(shù)和分數(shù)運算的重要作用等，對于指導(dǎo)兒童的分數(shù)學(xué)習(xí)具有重要的意義．教材編寫不能僅依賴“分數(shù)概念本質(zhì)”這一知識本位的編寫思路，更應(yīng)關(guān)注學(xué)生分數(shù)學(xué)習(xí)的真實困境，考量分數(shù)認知發(fā)展的研究成果，區(qū)別作為學(xué)生學(xué)習(xí)的分數(shù)知識與分數(shù)知識本身之間的差異，體現(xiàn)教育研究對學(xué)生學(xué)習(xí)的真實關(guān)懷．

3.2 分數(shù)概念的引入：“切蛋糕/分桃子”模型或測量模型

3.2.1 分數(shù)概念引入教學(xué)的現(xiàn)狀

考察已有98份“分數(shù)認識”相關(guān)文獻，從涉及的人教版、北師版、蘇教版教材的分數(shù)概念定義來看，人教版教材強調(diào)“將整體平均分為若干份”，分數(shù)是指“取其中一份或幾份”，北師版和蘇教版教材從單位“1”的角度對整體所表達的含義不僅包含“一個物體”，還包含“把多個物體看作一個整體”做了說明，從部分—整體的視角引入分數(shù)概念，更多關(guān)注到的是分數(shù)“作為整體的部分”的含義，淡化“整體”與“部分”的關(guān)系．基于文獻中的教學(xué)實錄、教學(xué)設(shè)計，教學(xué)片段反思可知，分數(shù)概念教學(xué)多采用區(qū)域模型（分割一個具體的圓等圖形或?qū)嵨铮┖碗x散物體模型（分一堆桃子等實物）為表征方式呈現(xiàn)學(xué)習(xí)活動，從“不能夠用整數(shù)恰當(dāng)表達一個數(shù)”的教學(xué)情境出發(fā)，引發(fā)學(xué)生認知沖突，借助“部分—整體”模型引入概念．教學(xué)反思時，教師關(guān)注具體情境中學(xué)生的學(xué)習(xí)過程對于促進數(shù)學(xué)思考的影響；探討直觀演示、操作活動對于提升學(xué)生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗及形成分數(shù)概念的教學(xué)效果．鮮有教師關(guān)注到學(xué)生的分數(shù)認知基礎(chǔ)和認知結(jié)構(gòu)，通過學(xué)生解決分數(shù)問題的方法對其思維過程進行合情推理．

3.2.2 分數(shù)概念構(gòu)建機制

對于兒童來說，進入分數(shù)學(xué)習(xí)之前可能是帶著關(guān)于分數(shù)的相對量大小的知覺，或分割（split）和迭代（iterate）的先前經(jīng)驗的．兒童在其發(fā)展早期，可能基于類比數(shù)量表征能力來籠統(tǒng)認識分數(shù)量的大小，而在發(fā)展后期，可以基于分割計數(shù)操作來實現(xiàn)對分數(shù)量大小更為精確的認識[28]．從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度考察其分數(shù)概念如何在個體先前經(jīng)驗基礎(chǔ)上建構(gòu)而成，能夠從分數(shù)認知層面為更合理的引入分數(shù)概念，為優(yōu)化分數(shù)教學(xué)提供心理學(xué)的理論基礎(chǔ)．研究者在梳理了Tzur的反省抽象過程和Kieren的遞歸過程這兩個分數(shù)概念的個體建構(gòu)理論發(fā)現(xiàn)，Tzur借用了皮亞杰提出的反省抽象，并具體說明了個體如何從自身的分割動作之中抽象出分數(shù)概念的部分—總體含義，是分數(shù)概念建構(gòu)的過程模型；而Kieren將分數(shù)概念的建構(gòu)機制比喻為邏輯上的遞歸過程，側(cè)重于強調(diào)分數(shù)概念建構(gòu)的不同層次及層次間的同構(gòu)關(guān)系，即高層次理解是對低層次理解的拓展，是分數(shù)概念建構(gòu)的層次模型[28]．

在分數(shù)概念層次理論上，研究者綜合分析了Kieren的分數(shù)概念層次結(jié)構(gòu)理論、Behr的分數(shù)概念語義結(jié)構(gòu)論和Vergnaud的分數(shù)概念域理論，嘗試依據(jù)3種理論試圖解決的分數(shù)概念的多個含義關(guān)系和分數(shù)概念不同含義與分數(shù)運算任務(wù)之間關(guān)系為理論框架，探查兒童對于分數(shù)概念語義理解的水平[30，50]．一個有趣的結(jié)果是，中國學(xué)生語義含義的理解水平上，學(xué)生理解和掌握水平最高的是商的含義而不是部分—整體含義，與理論之間存在一定的差異，也從側(cè)面反映教學(xué)干預(yù)對于學(xué)生認知發(fā)展的影響．

3.2.3 從測量角度引入分數(shù)概念的可行性探索

事實上，從分數(shù)知識的抽象程度來看，分割和形成分數(shù)單位是進行復(fù)合單位運算的基礎(chǔ)，對分數(shù)單位的正確理解是進行分數(shù)概念學(xué)習(xí)、運算學(xué)習(xí)的關(guān)鍵和核心．而如何看待“分數(shù)單位”這一重要概念是“切蛋糕/分桃子”模型區(qū)別于測量模型的關(guān)鍵之處．換言之，“分數(shù)單位”是一個來自整體的部分的分數(shù)，還是獨立于整體之外，和整體之間存在倍數(shù)關(guān)系的分數(shù)，是兩種分數(shù)概念建構(gòu)方式的沖突所在．基于學(xué)生分數(shù)認知發(fā)展特點，從學(xué)生數(shù)概念擴展的角度來看，建立分數(shù)單位概念基礎(chǔ)將更有利于學(xué)生思維結(jié)構(gòu)的發(fā)展，而將測量單位看作是分數(shù)概念的起點，能夠較為合理地解釋分數(shù)的起源以及用乘法推理思維解釋分數(shù)的運算．

4 分數(shù)研究主題進一步探討及啟示

分數(shù)作為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，其典型性和代表性不言而喻，以上通過與學(xué)生分數(shù)學(xué)習(xí)緊密聯(lián)系的教與學(xué)研究的立體考察，可清晰地看到研究者對“教師教”與“學(xué)生學(xué)”非二元對立的理解，以及分數(shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)的具體知識內(nèi)容，為教師教與學(xué)生學(xué)的活動建立起自動聯(lián)結(jié)的關(guān)注．以下進一步探討與分析分數(shù)研究主題，為中國數(shù)學(xué)教與學(xué)的研究提供一個反思性的視角，也為數(shù)學(xué)教育研究工作提供些許經(jīng)驗和啟示．

4.1 基于“學(xué)”的知識探討是應(yīng)然視角下內(nèi)涵分析的有益補充

對于教學(xué)而言，“教什么”和“學(xué)什么”是構(gòu)成教與學(xué)活動的核心基礎(chǔ)之一，對分數(shù)本質(zhì)認識的深入探討是必要且重要的．然而，已有研究多是分數(shù)知識角度展開的應(yīng)然探討，較少見到對學(xué)生分數(shù)學(xué)習(xí)實然角度的關(guān)注．研究者不僅需要關(guān)注分數(shù)概念的部分—整體關(guān)系，比、商、測量、運算符等模型意義；從分數(shù)概念本質(zhì)的角度厘清學(xué)生學(xué)習(xí)的分數(shù)知識具有怎樣的結(jié)構(gòu)和含義；處于小學(xué)階段“數(shù)與代數(shù)”知識框架的何處，對于后續(xù)有理數(shù)學(xué)習(xí)有著怎樣的基礎(chǔ)意義；也需要探討學(xué)生在自身分數(shù)概念建構(gòu)中分數(shù)數(shù)感的建立、分數(shù)大小的理解；以及分數(shù)計算，特別是除法學(xué)習(xí)過程中，由于分數(shù)與整數(shù)、分數(shù)除法和整數(shù)除法相類似的概念結(jié)構(gòu)，受到整數(shù)先驗知識干擾導(dǎo)致的整數(shù)偏向?qū)Ψ謹?shù)學(xué)習(xí)的影響．因而，從“學(xué)”的角度對于知識的探討是應(yīng)然視角下對知識內(nèi)涵分析的有益補充．

4.2 關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的真實發(fā)生是改進教學(xué)實踐活動的基礎(chǔ)

關(guān)于分數(shù)內(nèi)容“怎么教”，一直是學(xué)術(shù)研究者和教學(xué)實踐者共同關(guān)注的議題．學(xué)術(shù)研究通過教學(xué)設(shè)計的整體架構(gòu)和教材內(nèi)容的編排研究對改進分數(shù)教學(xué)提供指導(dǎo)建議；教學(xué)實踐則更多關(guān)注教學(xué)環(huán)節(jié)操作層面的改進．事實上，研究者在教學(xué)研究活動之前，已經(jīng)對分數(shù)概念有了深刻理解，甚至形成了對分數(shù)理解的固有模型，作為知識的已知者，在進行教學(xué)設(shè)計時常著眼于如何將知識概念以符合教學(xué)一般規(guī)律的方式，邏輯清晰、條理分明地呈現(xiàn)出來．換言之，教給學(xué)生的是教師認為恰當(dāng)、合適的數(shù)學(xué)，往往忽略了學(xué)生作為學(xué)習(xí)主體，其自身所具備的學(xué)習(xí)經(jīng)驗和概念基礎(chǔ)，使得教師的教與學(xué)生的學(xué)淪為兩個看似融合，實則獨立的活動，教學(xué)實踐改進難有本質(zhì)突破．關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)真實過程中的認知困難和學(xué)習(xí)困境，有針對性地開展教學(xué)實踐或許是跨越“教”與“學(xué)”鴻溝的有效方式．因此，理解學(xué)生的數(shù)學(xué)認知不能僅僅是學(xué)術(shù)研究的議題，以學(xué)生數(shù)學(xué)認知研究結(jié)果與方法為基礎(chǔ)，與教學(xué)實踐中的具體困境相結(jié)合是改進教學(xué)實踐的方向之一．

4.3 基于學(xué)生學(xué)習(xí)的評價是促進學(xué)生核心素養(yǎng)培養(yǎng)的風(fēng)向標(biāo)

在分數(shù)學(xué)習(xí)評價方面，研究者從學(xué)生分數(shù)學(xué)習(xí)結(jié)果出發(fā)，反思學(xué)生分數(shù)學(xué)習(xí)中學(xué)習(xí)困難，反觀學(xué)生的分數(shù)認知狀態(tài)，卻較少有對學(xué)生分數(shù)學(xué)習(xí)過程監(jiān)測、思維發(fā)展等議題的探討．譬如，研究者關(guān)注到學(xué)生分數(shù)計算的準(zhǔn)確性和流暢性，卻忽略學(xué)生的計算能力來源于對計算程序性知識的熟練掌握，還是對分數(shù)運算概念的理解，抑或是兩者相互支持的結(jié)果．研究者關(guān)注到學(xué)生在解決分數(shù)問題，特別是分數(shù)應(yīng)用題中對分數(shù)單位概念的迷思，缺乏問題解決意識等現(xiàn)象，卻鮮有關(guān)注分數(shù)問題解決背后學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，忽略學(xué)生分數(shù)概念建構(gòu)的認知理論和認知基礎(chǔ)．換言之，在強調(diào)應(yīng)讓學(xué)生學(xué)會理解分數(shù)概念，學(xué)會分析問題和解決問題的同時，忽視了分數(shù)概念培養(yǎng)與學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展相聯(lián)系的契合點，如，單位分數(shù)概念的建立與乘法推理思維發(fā)展、分數(shù)計算與有理數(shù)計算的合理類比等．評價導(dǎo)向是當(dāng)前教學(xué)實踐活動的現(xiàn)實起點，基于學(xué)生學(xué)習(xí)過程的評價研究，實現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)評價過程和結(jié)果的統(tǒng)一是未來研究的重要議題．

4.4 教師的數(shù)學(xué)教學(xué)觀研究是指導(dǎo)教學(xué)實踐活動的前提和保障

在分數(shù)教學(xué)的研究中，一方面，職前和職后教師是否具備理解分數(shù)概念，解釋錯誤分數(shù)模式的知識，理解學(xué)生在分數(shù)學(xué)習(xí)過程中特殊的認知過程，選取恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方式是研究者關(guān)注的重要議題．另一方面，教師應(yīng)具備怎樣的分數(shù)知識、分數(shù)教學(xué)知識，以及學(xué)生的分數(shù)學(xué)習(xí)知識以支持其在教學(xué)活動中做到尊重、理解學(xué)生關(guān)于分數(shù)的先前經(jīng)驗并指導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)活動，也是關(guān)于分數(shù)研究的一個重要的、國內(nèi)相關(guān)文獻研究較少涉及的主題．此外，關(guān)于教師分數(shù)教學(xué)知識的研究中，研究者也注意到教師所具備的理論知識和實踐經(jīng)驗的差距，其中典型的表現(xiàn)是，教師具備的分數(shù)教學(xué)知識與單調(diào)傳統(tǒng)的教學(xué)實踐行為的不一致．在教師具備豐富的學(xué)科教學(xué)知識對學(xué)生學(xué)習(xí)具有積極影響是教師教育領(lǐng)域的重要共識下，關(guān)注職后學(xué)習(xí)如何促進教師的學(xué)科教學(xué)知識和教學(xué)信念的發(fā)展，教師所具備的學(xué)科教學(xué)知識如何對數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實踐產(chǎn)生影響，是教師形成數(shù)學(xué)教學(xué)觀的前提，也是教學(xué)實踐活動順利展開以促進學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與素養(yǎng)提升的保障．

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Teaching and Learning Fractions in Chinese Elementary: A Review of Literature in the Past 30 Years

HUANG Xiao-lin, HUANG Qin-an

(School of Mathematics and Statistics, Shaanxi Normal University, Shaanxi Xi’an 710119, China)

Based on a systemic review of papers involving fractions, there are two main lines of study around the questions of teaching and learning primary school fractions. One focuses on fractions as knowledge and the other pays more attention to knowledge of the cognition around fractions. These lines occasionally intersect, reflecting the effects of traditional education in China—by which teaching and learning activities revolve around teachers—on the study of mathematics teaching. From the perspective of the teaching and learning of fractions, we attempted to explore the feasibility of teaching materials compiled on students’ cognition of fractions and the method of introducing the concept of fractions using the measurement model to show that the concern of education research to students’ learning. We put forward the following viewpoints: based on “l(fā)earning,” explore mathematical knowledge to enrich knowledge connotation; pay attention to the process of student learning to improve teaching practices; deepen mathematics learning evaluation to promote the cultivation of students’ core literacy; strengthen teachers’ mathematics teaching views to guide their teaching practices; and provide references for mathematics education studies.

the concept of fractions; teaching and learning of fractions; teaching material compiling; measurement model

G622.0

A

1004–9894（2021）06–0039–07

黃曉林，黃秦安．中國三十年來小學(xué)階段分數(shù)研究文獻的系統(tǒng)分析及啟示[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2021，30（6）：39-45．

2021–08–10

國家哲學(xué)社會科學(xué)基金2017年度教育學(xué)重點招標(biāo)項目——教師核心素養(yǎng)和能力建設(shè)研究（AFA170008）；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金資助——基于乘法推理教學(xué)的小學(xué)數(shù)學(xué)教師數(shù)學(xué)教育觀念系統(tǒng)研究（2019TS091）

黃曉林（1984—），女，安徽定遠人，博士生，主要從事數(shù)學(xué)教育與數(shù)學(xué)教師教育研究．

[責(zé)任編校：周學(xué)智、陳漢君]