關注學生評價 叩響經(jīng)驗課堂
——《釘子板上的多邊形》教學與思考（二）

文|王扣蘭 張云杰

【教學內(nèi)容】

蘇教版五年級上冊第108、109 頁。

【教學過程】

一、創(chuàng)設情境，鋪墊規(guī)律

師：今年是建黨100 周年，同學們用自己的巧手表達了對祖國的熱愛?；仡櫋袄@線釘子板”制作的過程，想一想：什么決定了你所繞圖形面積的大小？

生：我繞的第一幅圖，發(fā)現(xiàn)邊上的釘子越多，五角星的面積越大。

生：我同意，但我有補充。我繞的第二幅圖，發(fā)現(xiàn)里面的釘子越多，五角星就越大，外面的圓及整幅圖也相應就越大。

師：說得都有道理，老師從你們的“繞線釘子板”上“聞”到了一絲數(shù)學的味道。其實數(shù)學味更濃的釘子板還是我們的老朋友，（出示學具）這節(jié)課我們就借助它來研究釘子板上的多邊形。

【設計意圖：時值建黨100 周年，學生利用假期以一幅幅精美的“釘子板繞線畫”來表達自己的情感?！皬慕?jīng)驗中學習，經(jīng)驗是一切有價值的訓練的源泉”，從學生的行為操作活動經(jīng)驗出發(fā)，以一個關鍵問題“什么決定了你所繞圖形面積的大小”打開學生的思維，幫助學生認識知識的起點，激發(fā)學生的學習興趣?！?/p>

二、實踐研究，初探規(guī)律

1.起點認知。

師：老師在釘子板上圍了兩個平面圖形：三角形（圖①）和梯形（圖②）。你能數(shù)數(shù)它們邊上的釘子數(shù)嗎？

（學生數(shù)，教師隨即板書）

師：如果每兩個釘子之間的距離是1cm，那你還知道什么呢？

生：每個小正方形的面積是1cm2。

生：三角形的面積是2cm2。

生：梯形的面積是3cm2。

（根據(jù)學生的回答完善板書《學習單1》）

2.觀察發(fā)現(xiàn)。

師：觀察黑板上的這兩組數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：面積是釘子數(shù)的一半。

師：僅僅根據(jù)這兩個圖形，能肯定這個發(fā)現(xiàn)嗎？（不一定）是的，這僅僅是你們的猜想，我們還需要更多的數(shù)據(jù)來驗證與支持。

3.驗證猜想。

（1）研究例題的后兩個圖形。

師：這里還有一個五邊形（圖③）和一個平行四邊形（圖④），請數(shù)一數(shù)、算一算、填一填《學習單1》，想一想這樣的規(guī)律還成立嗎？

學習單1

（學生獨立探究并交流匯報，后兩個圖形的數(shù)據(jù)也能證明猜想。同時，引導學生關注這些圖形的面積除了可以計算之外，還可以數(shù)一數(shù)，特別是第三個圖形，用數(shù)一數(shù)的方法更簡單）

（2）研究課前自己圍的圖形。

師：現(xiàn)在這四個圖形都能證明我們的猜想，那是不是所有圖形都存在這樣的規(guī)律呢？請同學們拿出課前圍的平面圖形（如下圖），也請你數(shù)一數(shù)、算一算，然后填一填《學習單1》，思考：這樣的規(guī)律還成立嗎？

（學生獨立計算，教師巡視收集資源：圖形內(nèi)部只有1 枚釘子：符合規(guī)律；圖形內(nèi)部釘子數(shù)不是1：不符合規(guī)律。組織交流，分別請兩名學生代表上臺匯報。如下圖）

4.比較歸納。

師：為什么老師畫的圖形都符合規(guī)律，而你們畫的圖形，有的符合，有的不符合呢？小組觀察《學習單1》上的四幅圖，再對比大屏上的四幅圖，有什么想說的？

生：我發(fā)現(xiàn)老師畫的圖形里面都只有1 枚釘子，我們畫的符合規(guī)律的圖形里面也只有1 枚釘子。

生：我同意，但我有補充。我發(fā)現(xiàn)不符合規(guī)律的圖形，里面要么沒有釘子，要么有2 枚釘子。

小結(jié)：看來多邊形的面積，除了與邊上的釘子數(shù)有關，還與它內(nèi)部的釘子數(shù)有關。當多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)是1 時，多邊形的面積是多邊形邊上釘子數(shù)的一半。

師：當多邊形內(nèi)只有1 枚釘子時，用n 表示多邊形邊上的釘子數(shù)，S 表示多邊形的面積，那么S=n÷2。

5.內(nèi)化運用。

師：這一數(shù)學規(guī)律，是我們用多個例證一步一步探究而得的。那它有什么用呢？這是李明課前圍的一只“茶壺”，你知道這只“茶壺”的面積嗎？

生：3.5cm2。

師：你怎么這么快就知道的？

生：這個“茶壺”內(nèi)部釘子數(shù)是1，邊上的釘子數(shù)是7，所以面積是3.5cm2。

師：求“茶壺”的面積，如果用數(shù)或者算的方式，你感覺如何？

生：感覺比較困難。

師：請你評價一下這個規(guī)律。

生：這個規(guī)律能幫助我們快速解答釘子板上的多邊形面積。

6.總結(jié)板書。

師：回顧規(guī)律得到的過程，我們是怎樣一步一步走過來的？

（總結(jié)板書：觀察—比較—猜想—驗證—總結(jié)—運用）

【設計意圖：波利亞曾說“學習任何知識的最佳途徑，是自己去發(fā)現(xiàn)。因為這種發(fā)現(xiàn)理解最深刻，也最容易掌握其中的內(nèi)在規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系?！苯處熯m時制造了一個認知沖突，“到底什么樣的圖形才符合規(guī)律呢”，學生通過觀察比較，發(fā)現(xiàn)需要添加一個條件。這個環(huán)節(jié)不僅激發(fā)了學生刨根問底的探究熱情，還為后面研究a≠1 做好鋪墊。此環(huán)節(jié)教師適當?shù)胤觯寣W生初步經(jīng)歷了探索規(guī)律的一般過程：觀察—比較—猜想—驗證—總結(jié)—運用，也讓學生在自主歸納規(guī)律的同時，提升了符號意識、數(shù)據(jù)分析觀念等。另外，教師特別注重評價研究：生生互評“我同意，但我有補充”；師生互評“你怎么這么快就知道的，你感覺如何”；過程評價“請你評價一下這個規(guī)律”，這樣的評價性語言讓課堂更有張力，更有深度。】

三、分組合作，拓展規(guī)律

1.合力探索。

師：用這個方法，我們探索出了內(nèi)部只有1 枚釘子的規(guī)律，那接下來你覺得可以繼續(xù)研究什么？

生：內(nèi)部有2 枚釘子的多邊形。

師：你們準備怎樣研究呢？

生：我建議小組合作，團隊的力量比較大。小組內(nèi)四個人分別在釘子板上圍一個不一樣的內(nèi)部有2 枚釘子的多邊形，數(shù)一數(shù)、填一填，然后把其中三個人的研究數(shù)據(jù)合起來探索出規(guī)律，最后用這個規(guī)律來驗證第四個人的圖。

（小組合作，借助《學習單2》進行探究，教師巡視指導）

2.小組匯報。

交流匯報：小組上臺匯報，展示四幅圖形及《學習單2》，介紹小組的研究過程，說說小組的發(fā)現(xiàn)，其他小組及時補充。

學習單2

得出結(jié)論：當多邊形內(nèi)有2枚釘子時，S=n÷2+1。

3.數(shù)形結(jié)合。

利用多媒體技術展示多邊形邊上的釘子數(shù)不變，面積與內(nèi)部釘子數(shù)的變化。明確S=n÷2+1 中，“+1”加的是哪部分？

【設計意圖：“要想走得快，就一個人走；要想走得遠，就結(jié)伴而行”。學生已經(jīng)有了a=1 的探究經(jīng)驗，接下來自然而然地產(chǎn)生了a=2的探究內(nèi)需，探究的形式是引導學生組成學習共同體，開展合作學習、互助式學習，讓學生真正站在學習的正中央。】

四、推動內(nèi)驅(qū)，完善規(guī)律

1.類比推理。

師：你還想研究什么？

生：內(nèi)部有3 枚釘子、4 枚釘子、0 枚釘子……

師：根據(jù)內(nèi)部有1 枚釘子和2枚釘子的規(guī)律，先猜猜內(nèi)部有3枚釘子的規(guī)律可能是什么樣的？

生：S=n÷2+2。

2.分組研究。

師：以小組為單位展開研究，開始前先明確活動要求。

活動要求：（1）議一議：每個小組確定一個研究主題；（2）畫一畫：小組成員按照研究主題完成《學習單3》；（3）理一理：組長收集并匯總成員研究信息；（4）說一說：觀察表格，小組交流，共同匯報研究成果。

（學生小組合作探究并完成《學習單3》）

學習單3

得出結(jié)論：當多邊形內(nèi)有__枚釘子時，S=______。

3.交流成果。

分組匯報：釘子板內(nèi)部有0枚釘子時，S=n÷2-1；釘子板內(nèi)部有3 枚釘子時，S=n÷2+2；釘子板內(nèi)部有4 枚釘子時，S=n÷2+3。

師：照這樣寫下去，5 枚呢？6枚呢？10 枚呢？你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：前面都是n÷2；后面加的數(shù)比內(nèi)部釘子數(shù)少1。

師：你能用一個簡潔的表達方式概括出這里所有的規(guī)律嗎？

生：釘子板內(nèi)部有a 枚釘子時，S=n÷2+a-1。（板書）

4.深化認知。

師：下面，我們用一組動畫來感受規(guī)律的由來。

五、運用規(guī)律，拓展認知

1.運用規(guī)律。

師：下圖中喇叭、小貓、小狗的面積各是多少？

生：喇叭邊上釘子數(shù)是8，內(nèi)部釘子數(shù)是0，則S=8÷2-1=3cm2。

生：小貓邊上釘子數(shù)是20，內(nèi)部釘子數(shù)是2，則S=20÷2+1=11cm2。

生：小狗是兩個多邊形的組合。身體面積：S=12÷2-1=5cm2；尾巴面積：S=4÷2-1=1cm2；總面積：5+1=6cm2。

2.回顧過程。

師：回顧探索和發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程，你有什么體會？

（學生自由說）

3.拓展規(guī)律。

師：同學們，今天所學的規(guī)律也叫“皮克定理”。我們一起來看看關于“皮克定理”的微視頻。說一說，有哪些異同點？

生：表示面積、內(nèi)部釘子數(shù)和邊上釘子數(shù)的字母不一樣，但規(guī)律的本質(zhì)內(nèi)涵是一樣的，都是用“邊上釘子數(shù)÷2+內(nèi)部釘子數(shù)-1”。

師：真是一群會思考、能探究、善總結(jié)的孩子！通過一節(jié)課的努力，不僅探索出大數(shù)學家皮克發(fā)現(xiàn)的定理，還能靈活運用。老師希望你們能保持這樣的探索熱情，一直這么深度思考下去！

【設計意圖：教師是學生的鏡子，學生是教師的影子，教師關注什么，學生就能得到什么。探索規(guī)律，重在探索二字，讓學生學會思維，經(jīng)歷過再三的思考直至它在個人經(jīng)驗中生根。整節(jié)課，學生經(jīng)歷了“發(fā)現(xiàn)—會發(fā)現(xiàn)—愛發(fā)現(xiàn)”的學習過程，尋幽探徑，這樣的學習過程、發(fā)現(xiàn)過程是學生自己創(chuàng)生的，如此便是深度學習?！?/p>