滲透數(shù)形結(jié)合思想，提升數(shù)學(xué)解題能力

韓輝

摘? 要：學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力培養(yǎng)要通過(guò)合理有效的途徑來(lái)實(shí)現(xiàn)，而數(shù)形結(jié)合思想的理解與領(lǐng)會(huì)可以有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，通過(guò)以數(shù)解形引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)題目中的規(guī)律，通過(guò)以形助數(shù)，映射數(shù)形結(jié)合思維，讓學(xué)生結(jié)合題目中的條件需求、抓住隱含條件進(jìn)行題目解答，通過(guò)題目的轉(zhuǎn)化實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的融會(huì)貫通，最終讓學(xué)生習(xí)得數(shù)形結(jié)合思想的精髓，切實(shí)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力。

關(guān)鍵詞： 初中數(shù)學(xué);數(shù)形結(jié)合;解題能力

數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中必不可少的思想之一，它是通過(guò)將定量的數(shù)字和形象圖形相結(jié)合的方式，利用兩方面的條件進(jìn)行綜合思索，最后實(shí)現(xiàn)題目解答的目的。通過(guò)讓學(xué)生習(xí)得數(shù)形結(jié)合思想，能夠有效促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力提高，讓學(xué)生真正對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法技巧形成自己的正確經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

一、以數(shù)解形，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

（一）解計(jì)算題，聯(lián)動(dòng)轉(zhuǎn)化

在教學(xué)過(guò)程中滲透數(shù)形結(jié)合思想，首先要引導(dǎo)學(xué)生以數(shù)解形，通過(guò)數(shù)字解出圖形的相關(guān)元素，發(fā)現(xiàn)題目規(guī)律，在這一步驟中，首先要針對(duì)計(jì)算題目進(jìn)行聯(lián)動(dòng)轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)對(duì)于圖形結(jié)合的計(jì)算題目的解答，實(shí)現(xiàn)自身解題能力的提高，這屬于滲透數(shù)形結(jié)合思想的基礎(chǔ)步驟，為后續(xù)教學(xué)策略的開展打下良好基礎(chǔ)。

如在“矩形、菱形、正方形”這一節(jié)中，學(xué)生需要學(xué)習(xí)到與矩形、正方形面積計(jì)算相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，此時(shí)教師就可以讓學(xué)生針對(duì)計(jì)算題目進(jìn)行練習(xí)，將數(shù)字轉(zhuǎn)化為圖形中的參數(shù)進(jìn)行解題規(guī)律的發(fā)現(xiàn)。教師首先向?qū)W生講述正方形、長(zhǎng)方形的面積如何計(jì)算，正方形的四條邊都相等，因此可以轉(zhuǎn)化為面積S=邊長(zhǎng)a×邊長(zhǎng)a，而長(zhǎng)方形的面積可以轉(zhuǎn)化為S=長(zhǎng)a×寬b，在學(xué)生理解這兩個(gè)面積公式后，教師為學(xué)生出計(jì)算題讓學(xué)生進(jìn)行計(jì)算：“在這一長(zhǎng)方形中，其中一條邊的邊長(zhǎng)為8cm，與之相鄰的一條邊邊長(zhǎng)為4cm，求這一長(zhǎng)方形的面積，以4cm的邊進(jìn)行正方形的繪制，求正方形的面積。”學(xué)生此時(shí)就會(huì)將題目條件中給出的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為圖形中的參數(shù)，發(fā)現(xiàn)可以將給出的8cm、4cm變?yōu)殚L(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，因此長(zhǎng)方形的面積就比較容易求得為8×4=32cm2，而正方形的邊長(zhǎng)是相等的，因此一條邊的邊長(zhǎng)為4cm，就可以看作邊長(zhǎng)a=4cm，因此面積就是S=4×4=16cm2。這樣就實(shí)現(xiàn)了通過(guò)數(shù)字解答圖形問(wèn)題，讓課本中的知識(shí)轉(zhuǎn)化為解題能力的過(guò)程，讓學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想得到初步積累和發(fā)揚(yáng)，奠定了基礎(chǔ)。

計(jì)算題目鍛煉的是學(xué)生的計(jì)算能力，讓學(xué)生能夠根據(jù)基本的圖形進(jìn)行較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)計(jì)算，為學(xué)生的數(shù)形結(jié)合打下較為深厚的計(jì)算基礎(chǔ)，從而促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)題目解答，幫助學(xué)生在數(shù)字方面實(shí)現(xiàn)能力增長(zhǎng)和進(jìn)步。

（二）解證明題，聯(lián)動(dòng)比較

證明題鍛煉的是學(xué)生的邏輯思維能力，教師要在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中為學(xué)生引入證明題目，讓學(xué)生在其中進(jìn)行較為深入的線索尋找和比較證明，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)動(dòng)比較，通過(guò)對(duì)證明題目的解答實(shí)現(xiàn)自身邏輯思維能力的提高。在這一步驟中，學(xué)生在習(xí)得數(shù)形結(jié)合思想時(shí)所需的思維能力也得到了有效培養(yǎng)。

如在“軸對(duì)稱圖形”這一節(jié)中，學(xué)生要學(xué)習(xí)到與軸對(duì)稱相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，此時(shí)教師就可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行證明題的解答，聯(lián)動(dòng)比較幾種圖形不同的變換特點(diǎn)和操作方式。教師首先為學(xué)生講解平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱三種平面圖形變換的基本概念，接著為學(xué)生出一道證明題：“圖中的三角形經(jīng)過(guò)了平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱三種圖形變化后變?yōu)榱擞覀?cè)三角形，請(qǐng)證明這一命題?！睂W(xué)生此時(shí)就會(huì)開始觀察，首先由于圖中右側(cè)三角形和原圖形存在一定距離，因此學(xué)生可以肯定的是這一圖形進(jìn)行了平移變化，學(xué)生計(jì)算出向右平移了6格，接著就需要證明這一圖像經(jīng)過(guò)了旋轉(zhuǎn)，由于給出的圖形為直角三角形，而右側(cè)三角形的直角明顯不在原位置，因此學(xué)生可以判斷進(jìn)行了軸對(duì)稱或者旋轉(zhuǎn)，學(xué)生首先將圖形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，發(fā)現(xiàn)依舊無(wú)法和原圖形重合，但是經(jīng)過(guò)180°旋轉(zhuǎn)后的圖形，在經(jīng)過(guò)軸對(duì)稱變換可以與原圖形重合，這樣就證明了這一圖形總共經(jīng)過(guò)了3種變換才形成了右側(cè)三角形，就實(shí)現(xiàn)了證明題的解答。教師此時(shí)讓學(xué)生針對(duì)這三種方式進(jìn)行比較：“這三種圖形變化的方式存在哪些不同？”學(xué)生此時(shí)就會(huì)進(jìn)行聯(lián)動(dòng)比較，回答教師：“平移是只針對(duì)圖形的位置進(jìn)行移動(dòng)，而旋轉(zhuǎn)是針對(duì)圖形的角度進(jìn)行變化，軸對(duì)稱則是依照某一對(duì)稱軸進(jìn)行對(duì)折，三種屬于不同的變換方式?！边@樣學(xué)生就實(shí)現(xiàn)了對(duì)證明題解答后的知識(shí)比較。

這樣讓學(xué)生進(jìn)行證明題的思考，讓學(xué)生能夠聯(lián)系題目中的各類條件，形成綜合思維解答數(shù)學(xué)題目，有效促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維能力培養(yǎng)，為數(shù)形結(jié)合思想的形成打下良好的基礎(chǔ)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)邏輯梳理方法和模型的建立，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力。

二、以形助數(shù)，映射思維

（一）結(jié)合條件需求，化數(shù)為圖

在教學(xué)過(guò)程中滲透數(shù)形結(jié)合思想，不僅僅需要以數(shù)解形，發(fā)現(xiàn)題目中的規(guī)律，還需要教師引導(dǎo)學(xué)生以形助數(shù)，將數(shù)學(xué)思維有效映射出來(lái)。首先教師要在為學(xué)生講解題目時(shí)，教會(huì)學(xué)生結(jié)合題目中的條件需求，將數(shù)字化為圖形，通過(guò)圖形實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)題目的解答，這種方法既可以運(yùn)用于數(shù)學(xué)題題目的講解，也可以運(yùn)用于數(shù)學(xué)原理的領(lǐng)會(huì)。

如在“豐富的圖形世界”這一節(jié)中，學(xué)生初次接觸到與長(zhǎng)方體、正方體相關(guān)的數(shù)學(xué)概念，此時(shí)教師就可以引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合條件需求，化數(shù)為圖。教師首先讓學(xué)生了解長(zhǎng)方形和正方形的概念：“大家看到我黑板上畫出的圖形，長(zhǎng)方形有四條邊，對(duì)邊相等，有四個(gè)角都是直角，由長(zhǎng)方形構(gòu)成了我們要學(xué)習(xí)的長(zhǎng)方體。而正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角，所有面都是正方形的幾何體就是正方體。”為學(xué)生展示兩個(gè)幾何體的圖片，教師在這一過(guò)程中講述：“我們只有把握好了正方形、長(zhǎng)方形的概念才能進(jìn)一步把握長(zhǎng)方體、正方體的概念，兩個(gè)圖形主要是通過(guò)邊長(zhǎng)進(jìn)行區(qū)分，例如長(zhǎng)為4cm、寬為3cm的長(zhǎng)方形，我們是這樣對(duì)圖形進(jìn)行量化區(qū)分?！贝龑W(xué)生理解教師所說(shuō)后，教師為學(xué)生出題，讓學(xué)生結(jié)合條件需求將數(shù)字轉(zhuǎn)化為圖形：“請(qǐng)同學(xué)們?cè)诩埳袭嫵鲆粋€(gè)邊長(zhǎng)5cm的正方形和長(zhǎng)為8cm，寬為4cm的長(zhǎng)方形?！睂W(xué)生此時(shí)就會(huì)開始在筆記本上進(jìn)行繪畫，在繪制完成后，教師讓學(xué)生繼續(xù)進(jìn)行繪制：“畫出以剛剛圖形為底面的長(zhǎng)方體和正方體。”這樣學(xué)生就結(jié)合教師給出的幾何圖形邊長(zhǎng)的這一條件需求，實(shí)現(xiàn)了將數(shù)字轉(zhuǎn)化為圖形的基本操作，這樣學(xué)生就能夠?qū)﹂L(zhǎng)方體、正方體的邊長(zhǎng)產(chǎn)生一定敏感，以后更好地實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的有效運(yùn)用。

條件需求為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指明了思考的目標(biāo)和中心，教師要告知學(xué)生數(shù)學(xué)題目的解答要時(shí)刻圍繞題目中的條件需求進(jìn)行，在這一前提下將題目中的數(shù)字變?yōu)閳D片，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的領(lǐng)會(huì)，促進(jìn)自身數(shù)學(xué)思維能力的提高。

（二）抓住隱含條件，追溯線索

讓學(xué)生進(jìn)行以形助數(shù)，映射思維，同樣需要教師引導(dǎo)學(xué)生抓住題目中的隱含條件，進(jìn)行線索的追溯，在追溯線索、梳理解題方法的過(guò)程中，學(xué)生能夠自主的將圖形和數(shù)字相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，培養(yǎng)自身的數(shù)形結(jié)合能力。

如在“角”這一節(jié)中，學(xué)生要學(xué)習(xí)到與角大小相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，此時(shí)教師就可以讓學(xué)生抓住隱含的條件進(jìn)行解題線索的追溯。教師首先帶領(lǐng)學(xué)生了解課本中的直角、平角等概念，讓學(xué)生了解直角為90°，平角為180°這類定量知識(shí)，接著為學(xué)生出題：“在一個(gè)直角中，角一為45°，那么角二為多少度？你能夠不使用量角器進(jìn)行解答嗎？”學(xué)生此時(shí)就會(huì)開始思考，如果不使用量角器進(jìn)行測(cè)量，就必須通過(guò)題目中的條件進(jìn)行解答，但是題目中沒(méi)有明確給出相關(guān)角的度數(shù)，突然學(xué)生發(fā)現(xiàn)題目中存在著隱含條件“在一個(gè)直角中”，因此學(xué)生就理解了外部的大角為90°，若要計(jì)算其中的角二，用90°-45°即可，最后得出了相關(guān)答案45°，這就讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)了利用題目中的隱含條件進(jìn)行解題。

引導(dǎo)學(xué)生抓住題目中的隱含條件，可以讓學(xué)生學(xué)會(huì)在解答題目時(shí)通過(guò)線索的梳理發(fā)現(xiàn)題目中隱藏的解題思路，讓學(xué)生通過(guò)追溯線索實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合。

三、相互轉(zhuǎn)變，融會(huì)貫通

（一）分析數(shù)量關(guān)系，直觀展示

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的最終步驟，就是讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)字和圖形之間相互轉(zhuǎn)化，幫助學(xué)生真正實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的融會(huì)貫通。在這一過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)學(xué)題目中的數(shù)量關(guān)系，讓學(xué)生通過(guò)圖形實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的直觀展示，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的有效學(xué)習(xí)。

如在“數(shù)據(jù)的收集、整理、描述”這一節(jié)中，學(xué)生要學(xué)習(xí)到與統(tǒng)計(jì)圖相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，此時(shí)教師就可以讓學(xué)生進(jìn)行數(shù)據(jù)收集，讓學(xué)生通過(guò)分析數(shù)量關(guān)系制作圖表進(jìn)行直觀展示。教師首先讓學(xué)生收集全班同學(xué)的身高數(shù)據(jù)，接著讓學(xué)生以10cm為一區(qū)間，將同學(xué)們的身高繪制在統(tǒng)計(jì)圖中，此時(shí)學(xué)生就開始繪制圖表，例如身高在130～139cm的同學(xué)有5人，學(xué)生就會(huì)在統(tǒng)計(jì)圖上繪制出5人的條塊來(lái)表示，當(dāng)學(xué)生將所有同學(xué)的身高都?xì)w入統(tǒng)計(jì)圖中后，就實(shí)現(xiàn)了對(duì)數(shù)據(jù)的直觀展示。

分析數(shù)量關(guān)系不僅僅是對(duì)數(shù)學(xué)題目中條件的分析，同樣是在進(jìn)行解題思路和線索的尋找，教師將這種數(shù)量關(guān)系直觀展示給學(xué)生，可以讓學(xué)生清晰判斷出應(yīng)當(dāng)采用何種計(jì)算方式針對(duì)這樣的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行計(jì)算。

（二）嘗試整體代入，凸顯思路

進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，還可以直接將數(shù)字整體帶入圖形，實(shí)現(xiàn)對(duì)圖形中各個(gè)條件進(jìn)行全面的梳理和歸納，從而找出相應(yīng)的解題思路，這種方法主要是通過(guò)數(shù)字條件輔助圖形進(jìn)行解題，有效促進(jìn)了學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)。

如在“對(duì)稱圖形——圓”這一節(jié)中，學(xué)生要學(xué)習(xí)到與計(jì)算圓面積相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，此時(shí)教師就可以讓學(xué)生利用圓的面積公式將題目條件直接帶入，例如在進(jìn)行圓環(huán)面積計(jì)算時(shí)，不需要先計(jì)算大圓面積再減去小圓面積，而是直接可以通過(guò)半徑相減R-r整體帶入面積公式實(shí)現(xiàn)計(jì)算，這就凸現(xiàn)了較為簡(jiǎn)便的解題思路。

這樣嘗試整體帶入后，全部的圖形條件和數(shù)量條件都呈現(xiàn)在了學(xué)生面前，有效促進(jìn)了學(xué)生對(duì)解題思路的思考，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)題目的解答，鍛煉并培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想。

在數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中滲透數(shù)形結(jié)合思想，可以有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力。未來(lái)期待有更多學(xué)者針對(duì)這一理念展開更深層次的研究，探索出更加有效可行的方法促進(jìn)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想培養(yǎng)，為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打開高效之門。