重視由數(shù)想形 發(fā)展數(shù)學素養(yǎng)

謝俊峰

摘? 要：蘇科版《義務教育教科書·數(shù)學》八年級下冊“反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)”一課在操作畫圖前安排了一個由數(shù)想形的“思考”環(huán)節(jié)，由于對教材的理解粗淺、教學目標的制定存在偏差、素養(yǎng)落實缺位等原因，這一環(huán)節(jié)常常被教師所忽略. 基于由數(shù)想形的課堂教學實踐，說明由數(shù)想形有利于發(fā)展學生的直觀想象素養(yǎng)，有利于培養(yǎng)學生的代數(shù)推理能力，有利于為高中函數(shù)學習奠定方法基礎.

關鍵詞：由數(shù)想形;直觀想象;數(shù)形結(jié)合;代數(shù)推理

一、緣起

筆者作為評委參加了一次鄉(xiāng)村初中數(shù)學教師的無生課堂教學比賽，課題為蘇科版《義務教育教科書·數(shù)學》八年級下冊（以下統(tǒng)稱“教材”）的“反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)”. 教材中提供了一個思考活動，內(nèi)容如下.

思考：根據(jù)反比例函數(shù)表達式[y=6x，] 可以描述這個函數(shù)的圖象具有的一些特征. 試回答下列問題.

（1）[x，y]的值可以為0嗎？

這個函數(shù)的圖象與[x軸、y]軸有交點嗎？

（2）[x，y]所取值的符號有什么關系？

這個函數(shù)的圖象會在哪幾個象限？

（3）當[x>0]時，隨著[x]的增大（減?。?，[y]怎樣變化？當[x<0]時，隨著[x]的增大（減小），[y]怎樣變化？

這個函數(shù)的圖象與[x]軸、[y]軸的位置關系有什么特征？

參加比賽的10位教師中，有4位教師忽略了教材中的這部分內(nèi)容，直接通過列表、描點、連線畫出函數(shù)的圖象;有3位教師是先畫圖，再來進行提問，讓學生回答上述問題;有2位教師簡單分析，一帶而過，然后畫圖;僅有1位教師對此內(nèi)容進行了一定的分析，并提到了“由數(shù)想形”這個名詞.

筆者翻閱了教師用書中關于本節(jié)課的內(nèi)容，其中提到，由于反比例函數(shù)的圖象是曲線型的，又分為兩支，對此學生第一次接觸有一定的難度，因此需要分多個層次來探究：（1）由數(shù)想形;（2）描點畫圖;（3）計算機輔助. 上面的思考活動，實際上就是第一個層次，即由數(shù)想形. 筆者不禁思考：為什么參賽的大部分教師會忽視這個環(huán)節(jié)？或是調(diào)整教學順序？這個環(huán)節(jié)到底需不需要？它的教學價值體現(xiàn)在哪里？如果需要，在教學中應該如何進行這個環(huán)節(jié)的教學呢？

二、“由數(shù)想形”缺失的理性分析

1. 教材理解的粗淺

一方面，之前版本的教材在探究反比例函數(shù)圖象時，采用的是通過列表、描點、連線步驟直接畫圖，在現(xiàn)行版本的教材中，增加了“思考”環(huán)節(jié)，也就是由數(shù)想形，教材的變化并沒有引起教師的足夠重視. 另一方面，當前很多學校使用學案、教學案，或者使用課件等進行課堂教學，教師一案在手，教材基本閑置一邊. 在備課環(huán)節(jié)，教師沒有認真閱讀教材，并分析教材的編寫意圖. 例如，本節(jié)課設計“由數(shù)想形”環(huán)節(jié)的作用是什么？為什么這樣設計？教師沒有認真思考，因此在教學中就會一帶而過. 在平時的教學中不注重閱讀、理解教材，在比賽中不重視教材也就可以理解了.

2. 目標制定的偏差

教學目標的定位是教學的基礎，它明確了學生學習的具體任務，既使得教學活動有了清晰的方向，又使教學測評有了顯性的標準. 明確教學目標是教學質(zhì)量的保證，它是教學活動的出發(fā)點和歸宿點. 本節(jié)課中，參加教師全部將教學重點定位于探求反比例函數(shù)的性質(zhì)上，其中有6位教師在本節(jié)課中歸納總結(jié)了反比例函數(shù)的性質(zhì)，甚至有教師設計了利用性質(zhì)來解題. 因此，在復習了一次函數(shù)的畫圖步驟后，直接進入反比例函數(shù)的畫圖環(huán)節(jié)，“由數(shù)想形”環(huán)節(jié)則被忽視或簡化了. 但是，本節(jié)課的教學目標是畫出反比例函數(shù)的圖象，總結(jié)歸納反比例函數(shù)的性質(zhì)其實是下一節(jié)課的內(nèi)容.

3. 素養(yǎng)落實的缺位

從“雙基”到“四基”，從三維目標到核心素養(yǎng)，教育概念在不斷地發(fā)展. 但在實際課堂教學中，教師重知識傳授、輕學生能力和素養(yǎng)提升的現(xiàn)象仍然屢見不鮮. 教師在備課時，關注較多的仍然是學生知識的學習、題目的訓練，而對知識習得背后蘊涵的數(shù)學思想方法則關注較少，對學生核心素養(yǎng)的提升則關注更少. 核心素養(yǎng)水平的達成不是一蹴而就的，而是滲透在每個單元、每個課時、每個環(huán)節(jié)的教學中. 因此，要思考核心素養(yǎng)在課堂教學中的孕育點和生長點. “由數(shù)想形”環(huán)節(jié)涉及直觀想象、邏輯推理等素養(yǎng)，如果教師在日常教學中不加以關注，那么學生核心素養(yǎng)的發(fā)展就是空中樓閣、鏡花水月.

三、“由數(shù)想形”課堂教學實踐

基于以上分析，筆者在執(zhí)教這節(jié)課時，對于“由數(shù)想形”這個環(huán)節(jié)進行了如下教學設計.

問題1：同學們，上節(jié)課我們學習了反比例函數(shù)的定義，類比一次函數(shù)的學習過程，你認為我們接下來要研究什么呢？

【設計意圖】通過引導學生回憶一次函數(shù)的學習過程，發(fā)展學生類比的數(shù)學思想，幫助學生形成函數(shù)研究的一般思路和方法，即“定義—圖象—性質(zhì)—應用”.

現(xiàn)實教學反饋：學生回答還要研究函數(shù)的圖象及性質(zhì)，進而學習函數(shù)的應用. 教師板書課題：反比例函數(shù)的圖形和性質(zhì)（1）.

問題2：畫函數(shù)圖象的一般步驟是什么？對于一個陌生的函數(shù)，在畫圖象之前，我們要思考函數(shù)的一般特征是什么？該從哪些方面來思考？

【設計意圖】學生熟悉一次函數(shù)的圖象，但是反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象有所不同，所以讓學生由函數(shù)表達式精確找出圖象的特征，引入了“由數(shù)想形”.

現(xiàn)實教學反饋：學生能夠很快回憶起畫一次函數(shù)圖象的步驟，即“列表—描點—連線”. 在教師的追問下，學生知道函數(shù)圖象與函數(shù)解析式是緊密聯(lián)系的，要畫圖象，可以先從研究函數(shù)的解析式著手.

問題3：我們先看反比例函數(shù)[y=6x，] 對于函數(shù)，我們首先要思考自變量與函數(shù)的取值范圍. 自變量x的取值范圍是什么？函數(shù)值[y]的取值范圍是什么？

【設計意圖】引導學生觀察函數(shù)的解析式，讓學生知道，要研究函數(shù)，先要研究自變量與函數(shù)值的取值范圍. 同時，由自變量與函數(shù)的取值范圍，過渡到在平面直角坐標系中體現(xiàn)圖象，初步建立解析式與圖象之間的聯(lián)系.

現(xiàn)實教學反饋：自變量[x]在分母上，所以[x≠0，] 同樣[y≠0].

追問：[x≠0，y≠0]在圖象上怎么體現(xiàn)？

有些學生認為圖象不經(jīng)過坐標原點，有些學生考慮到[x]軸上點的縱坐標等于0，[y]軸上點的橫坐標等于0，所以這個函數(shù)的圖象與[x]軸、[y]軸沒有交點. 通過小組合作，學生能夠自行解決這個問題.

教師板書下述內(nèi)容.

反比例函數(shù)：[y=6x.]

自變量、函數(shù)值：[x≠0，y≠0.]

坐標：[x，y.]

圖象：與[x]軸、[y]軸沒有交點.

問題4：學習一次函數(shù)圖象時，我們知道圖象所經(jīng)過的象限與[k和b]的符號有關，觀察反比例函數(shù)[y=6x]的表達式，你認為[k=6]與自變量[x]和函數(shù)值[y]的符號有什么關系？在圖象上怎么體現(xiàn)？

【設計意圖】通過進一步類比，引導學生思考[k]的取值與[x，y]的符號的關系，再次幫助學生建立函數(shù)解析式與圖象之間的聯(lián)系.

現(xiàn)實教學反饋：反比例函數(shù)[y=6x]的表達式可以寫為[xy=6.] 學生很快得出[x，y]取值的符號是相同的，并能得到圖象分布在第一、三象限. 教師進一步追問[k=-6]時的圖象分布情況. 并整理內(nèi)容如表1所示.

問題5：結(jié)合上面的分析，思考反比例函數(shù)[y=6x]的圖象是一支還是兩支？

【設計意圖】考慮圖象所在的象限，對反比例函數(shù)圖象有初步的感知，知道反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象是不同的.

現(xiàn)實教學反饋：學生回答反比例函數(shù)[y=6x]的圖象在第一、三象限，且與[x]軸、[y]軸沒有交點，應該是兩支，不是連續(xù)的.

問題6：在一次函數(shù)圖象與性質(zhì)的學習中，我們還研究了函數(shù)的增減性，反比例函數(shù)的增減性如何呢？以[y=6x]為例，剛才分析了反比例函數(shù)的圖象是兩支，我們分為[x>0]和[x<0]兩種情形. 當[x>0]時，隨著[x]的增大（減?。琜y]怎樣變化？當[x<0]時，隨著[x]的增大（減小），[y]怎樣變化？它的增減性在圖象上是如何體現(xiàn)的呢？

【設計意圖】第三次類比一次函數(shù)的學習，讓學生知道函數(shù)的增減性是函數(shù)研究的重要方面. 同時，在增減性的學習中，讓學生感知合情推理與演繹推理是數(shù)學學習的兩種重要推理方法，著重培養(yǎng)學生代數(shù)推理的能力.

現(xiàn)實教學反饋：學生首先取特殊值代入，如當[x]取[1，2，3]時，對應的[y]值分別為[6，3，2;] 當[x]取[-3，-2，][-1]時，對應的[y值分別為-2，-3，-6.] 得到結(jié)論.

追問1：能否通過數(shù)學推理的方法來驗證這個結(jié)論？

學生通過小組合作解決問題，部分小組考慮到設[Ax1，y1，Bx2，y2]在反比例函數(shù)圖象上，當[x1>x2>0]時，[y1-y2=6x1-6x2=6x2-x1x1x2<0，] 即[y1<y2.] 因此，當[x>0]時，[y]隨[x]的增大而減小;[y]隨[x]的減小而增大. 同理可得，當[x<0]時，[y]隨[x]的增大而減小;[y]隨[x]的減小而增大.

追問2：反比例函數(shù)的增減性在圖象上如何體現(xiàn)？

學生回答：在第一、三象限內(nèi)，從左向右看函數(shù)[y=6x]的圖象是下降的.

師生整理內(nèi)容如表2所示.

問題7：反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限，且從左向右看是下降的，它可能是兩條直線嗎？

【設計意圖】再次幫助學生感知反比例函數(shù)的圖象，為畫圖象打下基礎.

現(xiàn)實教學反饋：學生思考得到兩支圖象不可能是直線，并且在每個象限內(nèi)從左向右看是下降的，有可能是兩條曲線.

問題8：下面我們通過“列表、描點、連線”來精確畫出反比例函數(shù)的圖象. 大家在腦中想象的圖象與實際圖象是不是一致的？

四、基于“由數(shù)想形”的教學思考

1. 在“由數(shù)想形”的過程中，發(fā)展學生的直觀想象素養(yǎng)

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式，特別是圖形，理解和解決數(shù)學問題的素養(yǎng). 數(shù)形結(jié)合是直觀想象素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一. 在實際教學中，學生對于數(shù)形結(jié)合的應用往往不夠靈活，不能夠建立數(shù)學對象之間的聯(lián)系. 究其原因，是因為學生未能建立數(shù)與形之間的有效連接，未能形成數(shù)與形的思維鏈. 例如，本節(jié)課教師如果直接通過列表、描點、連線讓學生畫出反比例函數(shù)的圖象，或者單純地將三個問題拋給學生，看似通過解析式畫出了函數(shù)圖象，建立了數(shù)與形的聯(lián)系，但實際上數(shù)還是數(shù)，形還是形，并沒有建立數(shù)與形本質(zhì)上的關聯(lián)，學生學習新的函數(shù)又是一頭霧水. 對數(shù)學問題只有淺層理解，無法形成數(shù)學方法.

在教學實踐中，筆者緊緊抓住了解析式、自變量與函數(shù)值、坐標、圖象之間的關聯(lián)，由解析式逐漸過渡到函數(shù)圖象，并通過自變量與函數(shù)的取值范圍、自變量與函數(shù)的取值符號，以及函數(shù)的增減性三個問題不斷進行強化，幫助學生在腦中形成清晰的數(shù)與形的聯(lián)系，今后學生再看到解析式時，就能夠很快想到它對應的圖形，要解決函數(shù)問題時，不僅可以通過函數(shù)解析式進行解決，也可以通過函數(shù)圖象來解決，這樣才能真正建立數(shù)與形的關聯(lián)，有效發(fā)展學生的直觀想象素養(yǎng).

2. 在“由數(shù)想形”的過程中，培養(yǎng)學生代數(shù)推理的關鍵能力

說到推理，大家的第一反應就是常說的幾何推理，初中數(shù)學對于形式化的幾何推理強調(diào)較多，認為代數(shù)推理更多的是在高中數(shù)學教學中得到體現(xiàn). 幾何推理主要關注圖形位置與數(shù)量關系的轉(zhuǎn)化，具有直觀性，而代數(shù)推理則側(cè)重數(shù)與式的變化，具有一定的抽象性，學生往往不感興趣，大家對代數(shù)推理的重視程度不夠，更多停留在代數(shù)運算層面.《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》提出了利用數(shù)量關系和符號進行推理教學的要求，教材中也提供了這樣的素材. 例如，本節(jié)課中“由數(shù)想形”的環(huán)節(jié)，教師引導學生由反比例函數(shù)的解析式思考自變量與函數(shù)取值范圍，自變量與函數(shù)值的符號問題，這些過程包含了代數(shù)推理. 特別是在函數(shù)增減性討論的問題中，先是學生通過合情推理得到了結(jié)論，然后教師引導學生通過演繹推理來進行驗證. 在教學實踐中，學生很容易想到用特殊值來判定增減性，對于用代數(shù)推理方法進行驗證出現(xiàn)了困難，但這樣的過程恰好是培養(yǎng)和發(fā)展學生代數(shù)推理能力的大好時機. 如果教師在教學中因為學生的學習障礙而忽視這些環(huán)節(jié)，學生的代數(shù)推理能力就不會得到提升. 初中階段沒有加強這方面的訓練，到了對代數(shù)推理要求較高的高中階段，學生就會出現(xiàn)學習上的障礙. 思維的發(fā)展是一個長期的過程，我們要抓住恰當?shù)臅r機，選取合適的素材進行代數(shù)推理教學，將代數(shù)推理提升到應有的高度，并落實在日常教學之中.

3. 在“由數(shù)想形”的過程中，奠定高中函數(shù)圖象研究方法的基礎

學生經(jīng)過前面的學習已經(jīng)掌握了如何畫一次函數(shù)的圖象，并總結(jié)了列表、描點、連線的畫圖步驟. 在反比例函數(shù)圖象的研究過程中，如果我們讓學生再一次經(jīng)歷用列表、描點、連線的方法來畫出函數(shù)圖象，這只是技術層面的一般重復，但不同的函數(shù)在具體操作環(huán)節(jié)上有許多細節(jié)上的區(qū)別. 例如，在“列表”環(huán)節(jié)，就涉及自變量的取值問題. 在連線環(huán)節(jié)，問題就更多了. 如果讓學生自己去操作，則會錯誤百出，而如果教師直接示范，學生雖然能夠畫出圖象，但在以后畫其他函數(shù)圖象時，仍然無法操作. 反之，如果讓學生在畫圖前對函數(shù)圖象有一個大致的感知，然后再通過列表、描點、連線把圖象精致地畫出來，最后讓學生對比其與預測的大致圖象的“一致性”，讓學生體驗成功和快樂. 這種“大致—精致—一致”的研究函數(shù)圖象的過程，也是后續(xù)研究其他函數(shù)圖象的過程. 學好反比例函數(shù)圖象的畫法，將會為學生高中階段的函數(shù)圖象研究奠定堅實的方法基礎.

參考文獻：

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