例談改編成語(yǔ)教數(shù)學(xué)

楊明

初中生已經(jīng)掌握了一定數(shù)量的成語(yǔ)，對(duì)一些常用的成語(yǔ)甚至能夠脫口而出。如果將學(xué)生熟悉的成語(yǔ)稍加改編，巧妙地融入數(shù)學(xué)知識(shí)，既可激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣，又能夠較好地幫助學(xué)生記憶和理解相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，有時(shí)甚至比數(shù)學(xué)語(yǔ)言效果更好。

顧此失彼——顧此“思”彼

成語(yǔ)的原意是指顧得了這個(gè)，顧不了那個(gè)。

數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之間有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系。將原來(lái)的成語(yǔ)進(jìn)行改編，目的是為了提醒學(xué)生，看到了題目給出的已知條件，應(yīng)馬上聯(lián)想到與之相關(guān)的結(jié)論。

“彼”與“此”就表現(xiàn)形式而言，可以是文字也可以是式子，甚至可以是圖形。

例如：

看到方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，馬上要想到該方程的根的判別式Δ=0。

看到3xm-1與-7x4是同類項(xiàng)，馬上要想到m-1=4.

看到直線與圓相切，馬上要想到d=r。

看到函數(shù)的圖像是雙曲線，馬上要想到相應(yīng)的函數(shù)是反比例函數(shù)。

當(dāng)然，有些“彼”只有一個(gè)結(jié)論，有些“彼”卻有多個(gè)結(jié)論。

例如：

看到正比例函數(shù)y=kx（k>0），既要想到圖像經(jīng)過(guò)第一、三象限，也要想到y(tǒng)隨x的增大而增大。

看到兩直線平行，既要想到同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，也要想到對(duì)應(yīng)三角形相似、對(duì)應(yīng)線段成比例。

學(xué)生要熟練地運(yùn)用顧此“思”彼，必須清楚每個(gè)定理的題設(shè)與結(jié)論之間的因果關(guān)系以及相關(guān)的圖形。倘若能夠經(jīng)常運(yùn)用，學(xué)生就能夠形成條件反射，準(zhǔn)確而快速地聯(lián)想到已知條件的結(jié)論，從而找到正確的解題思路。

息息相關(guān)——“式式”相關(guān)

成語(yǔ)的原意是呼吸相關(guān)聯(lián)，比喻關(guān)系密切。

成語(yǔ)改編之后的意思是指，看到一個(gè)式子馬上會(huì)聯(lián)想到與之相關(guān)的另一個(gè)式子。其作用與“顧此‘思彼”大同小異，但“式式”相關(guān)針對(duì)的主要是式子。

例如：

看到△ABC中AB=AC，馬上會(huì)聯(lián)想到∠B=∠C。

看到△ABC中∠C=90°，馬上會(huì)聯(lián)想到AB2=AC2+BC2。

看到AB//CD，AB//EF，馬上會(huì)聯(lián)想到CD//EF。

有口難分——有“口”難分

成語(yǔ)的原意是形容難以分辨清楚。

先看同一個(gè)式子的兩種不同的結(jié)果：

（1）=-=10-6=4。

（2）===×=4×2=8。

為什么≠-而=×呢？很多學(xué)生都表示不太理解。

課本曾借助4，9，16，25等完全平方數(shù)對(duì)公式=·（a≥0，b≥0）進(jìn)行過(guò)驗(yàn)算，說(shuō)明公式是成立的。

當(dāng)然，用同樣的辦法，說(shuō)明≠±（a≥0，b≥0）也不是困難的事，但總不能每次運(yùn)用都要經(jīng)過(guò)驗(yàn)算吧。

如何解決這個(gè)問(wèn)題？

筆者將有口難分改編為有“口”難分，在加、減、乘、除四種運(yùn)算中，只有“加”“減”二字含有“口”字，改編成語(yǔ)是為了提醒學(xué)生：二次根式的被開(kāi)方數(shù)如果涉及“加減法”，是不能“分”的，因此，≠-。當(dāng)然，不能分，自然也就不能合，故經(jīng)常在選擇題或填空題遇到的+=是錯(cuò)誤的。

比比皆是——比比皆是相等

成語(yǔ)的原意是指到處都是，形容極其常見(jiàn)。

成語(yǔ)改編后主要是針對(duì)相似三角形的性質(zhì)，具體包括：

相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比。

相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比。

相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線的比等于相似比。

相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比。

相似三角形面積的比等于相似比的平方。

為什么其他比比皆是相等，唯有面積的比不相等？根本原因是單位問(wèn)題，三角形的邊、三線以及周長(zhǎng)都是長(zhǎng)度，而面積則是長(zhǎng)度是乘積。

頭痛醫(yī)頭腳痛醫(yī)腳——頭痛醫(yī)頭“角”痛醫(yī)“角”

原意是比喻對(duì)問(wèn)題不從根本上解決，只從表面現(xiàn)象或枝節(jié)上應(yīng)付。

作為一個(gè)醫(yī)生，如果只會(huì)頭痛醫(yī)頭腳痛醫(yī)腳，那肯定不是一個(gè)好的醫(yī)生。

但將“頭痛醫(yī)頭腳痛醫(yī)腳”改為“頭痛醫(yī)頭‘角痛醫(yī)‘角”，那將是數(shù)學(xué)里面一個(gè)很不錯(cuò)的解題方法。

什么時(shí)候運(yùn)用此法？

先看一道例題：

當(dāng)m為何值時(shí)，以下方程是關(guān)于x的一元二次方程：（1）（m-3）x2-4x+7=0;（2）5xm-3-4x+7=0。

筆者是這樣解釋的：“頭”者，字母的系數(shù)也;“角”者，字母的指數(shù)也。

“頭痛醫(yī)頭‘角痛醫(yī)‘角”的意思是說(shuō)：若所求的字母m出現(xiàn)在字母的系數(shù)內(nèi)，就必須滿足題目關(guān)于系數(shù)的要求;若所求的字母m出現(xiàn)在字母的指數(shù)內(nèi)，就必須滿足題目關(guān)于指數(shù)的要求。

在（1）中，m出現(xiàn)在二次項(xiàng)的系數(shù)內(nèi)，由一元二次方程的定義得m-3≠0，解得m≠3。

在（2）中，m出現(xiàn)在最高次項(xiàng)的指數(shù)內(nèi)，根據(jù)一元二次方程的定義可得 m-3=2，解得m=5。

除一元二次方程外，頭痛醫(yī)頭“角”痛醫(yī)“角”同樣適用于二次函數(shù)，解題方法相同，不再舉例說(shuō)明。

不聞不問(wèn)——不“文”不問(wèn)

成語(yǔ)的原意是指對(duì)于別人說(shuō)的事情不聽(tīng)，也不主動(dòng)去問(wèn)。

改編成語(yǔ)的目的是為了讓學(xué)生清楚地知道，但凡數(shù)學(xué)概念里面沒(méi)有明文規(guī)定的，統(tǒng)統(tǒng)不予理會(huì)。

同類項(xiàng)是這樣定義的：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)。

為了讓學(xué)生全面理解同類項(xiàng)的定義，有些出題人會(huì)編制出如下的兩組單項(xiàng)式，讓學(xué)生判斷是否為同類項(xiàng)：4x3y2與-5x3y2 ;6x2y與0.3yx2 。

按照不“文”不問(wèn)的原則，既然定義里面沒(méi)有就單項(xiàng)式的系數(shù)以及字母的順序提出過(guò)要求，自然就不必理會(huì)，故上述的兩組單項(xiàng)式都是同類項(xiàng)。

由此可見(jiàn)，掌握不“文”不問(wèn)的原則，就可以避開(kāi)出題人刻意設(shè)計(jì)的各種干擾。

不“文”不問(wèn)的原則不但適用于文字，而且適用于字母。

加法交換律用字母表示為：a+b=b+a。后面沒(méi)有就其中所涉及的字母提出過(guò)任何要求，這意味著其中的a，b可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù);可以是有理數(shù)，也可以是無(wú)理數(shù)。

再看二次函數(shù)的定義：形如y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。顯然，定義只要求常數(shù)a≠0，并未對(duì)b，c作出同樣的要求，也就是說(shuō)，b，c均可以為0，故如下的函數(shù)均屬二次函數(shù)：y=x2+x（c=0），y=x2+1（b=0），y=x2（b=0，c=0）。

杯弓蛇影——杯弓“斜”影

杯弓蛇影，原義是將映在酒杯里的弓影誤認(rèn)為蛇，后比喻因疑神疑鬼而引起恐懼。

在“二次函數(shù)”這一章節(jié)，經(jīng)常遇到一些題目，給出拋物線的位置，讓學(xué)生判斷與常數(shù)a，b，c有關(guān)的代數(shù)式的正負(fù)值符號(hào)，比如b2-4ac、a+b+c、等，通?？梢越柚鷴佄锞€與坐標(biāo)軸相交的情況直接得出結(jié)論。

從學(xué)生反饋的信息中可知，當(dāng)中最容易出錯(cuò)的是abc的符號(hào)。

a的符號(hào)由拋物線的開(kāi)口方向決定，c的符號(hào)由拋物線與y軸的交點(diǎn)決定，至于b的符號(hào)，也可以借助拋物線對(duì)稱軸的位置來(lái)決定，最后將a、b、c組合起來(lái)，應(yīng)該不難判斷abc的符號(hào)的。但與學(xué)生溝通之后才恍然大悟，前面的三個(gè)“決定”學(xué)生也能夠理解，問(wèn)題是“決定”的因素太多，加上拋物線的對(duì)稱軸x=-又涉及一個(gè)負(fù)號(hào)，如此一來(lái)，難免令人暈頭轉(zhuǎn)向。

那么，能否經(jīng)過(guò)變換，使abc的符號(hào)也可以像b2-4ac一樣直觀地獲得？

經(jīng)過(guò)不斷地嘗試，筆者終于發(fā)現(xiàn)，abc的符號(hào)是可以借助學(xué)生非常熟悉的一次函數(shù)y=kx+b里面的k來(lái)確定的。

按照慣例，設(shè)拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線由兩點(diǎn)確定，拋物線與y軸只有一個(gè)交點(diǎn)C，理應(yīng)入選，問(wèn)題是拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，選點(diǎn)A嗎？點(diǎn)B有意見(jiàn);選點(diǎn)B嗎？點(diǎn)A有意見(jiàn)，那就A、B兩點(diǎn)都不選，選線段AB的中點(diǎn)，這下誰(shuí)都沒(méi)有意見(jiàn)了。線段AB的中點(diǎn)，亦即拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)D，然后作直線AD，從圖中不難知道，該直線的k值為負(fù)，于是得出結(jié)論：abc的值為負(fù)。

為了幫助學(xué)生理解和記憶，筆者將成語(yǔ)杯弓蛇影改編為杯弓“斜”影，把由y軸、對(duì)稱軸和x軸三線構(gòu)成的U型結(jié)構(gòu)看成一個(gè)豎著的杯子，按照上述方法得到的直線看成是杯子中的斜影。經(jīng)過(guò)這樣的取代，判斷abc的正負(fù)這個(gè)看似復(fù)雜的問(wèn)題就可以輕而易舉地解決。

當(dāng)然，有些拋物線與x軸是沒(méi)有交點(diǎn)的，不要緊，只要過(guò)拋物線與y軸的交點(diǎn)C與拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)D作直線，同樣可以實(shí)施取代。

這樣的取代是有理論依據(jù)的，請(qǐng)看以下的證明過(guò)程：

設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，c），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-，0），直線CD的解析式為y=kx+m，將C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入后得到k=。

雖然，k≠abc，但k=就足以說(shuō)明，k與abc同正負(fù)，也就是說(shuō)，直觀地看到k的符號(hào)，其實(shí)也就是abc的符號(hào)。

當(dāng)然，如果學(xué)生連直線中k的符號(hào)都無(wú)法正確判斷，那就真是毫無(wú)辦法了。

對(duì)于數(shù)學(xué)思想、解題方法以及記憶竅門等無(wú)形的東西，如果不賦予形象貼切的名稱，學(xué)生是很難長(zhǎng)久記住的。無(wú)法記住，自然就無(wú)法運(yùn)用了，改編成語(yǔ)正是出于這樣的目的。實(shí)踐證明，通過(guò)改編成語(yǔ)給數(shù)學(xué)中算理、方法、規(guī)律等命名，確實(shí)可以使學(xué)生感到趣味盎然，加上這個(gè)命名是由學(xué)生所熟悉的成語(yǔ)改編而來(lái)的，既可減輕學(xué)生記憶上的負(fù)擔(dān)，也能使學(xué)生的理解更加深刻。

責(zé)任編輯 羅 峰