培養(yǎng)高中生數(shù)學建模和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的教學研究

劉華玲

[摘 要]數(shù)學建模和數(shù)據(jù)分析是高中數(shù)學核心素養(yǎng).如何在具體的課堂教學中培養(yǎng)核心素養(yǎng)，是每個數(shù)學教師應該認真思考的問題.

[關鍵詞]數(shù)學核心素養(yǎng);數(shù)學建模;數(shù)據(jù)分析

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）32-0007-03

一、回歸分析是數(shù)學建模和數(shù)據(jù)分析的重要載體

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》明確提出數(shù)學學科的六大核心素養(yǎng)：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析.其中數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學方法構建模型解決問題的素養(yǎng).數(shù)學建模過程主要包括在實際情境中從教學的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數(shù)、計算求解，檢驗結果、改進模型，最終解決實際問題.數(shù)學建模主要表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出問題，建立和求解模型，檢驗和完善模型，分析和解決問題.數(shù)據(jù)分析是針對研究對象獲取數(shù)據(jù)，運用數(shù)學方法對數(shù)據(jù)進行整理、分析和推斷，形成關于研究對象知識的素養(yǎng).數(shù)據(jù)分析過程主要包括收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、提取信息、構建模型、進行推斷、獲得結論.回歸分析是統(tǒng)計案例特別重要的模型，是數(shù)據(jù)分析的重要載體，通過 Excel 處理回歸分析中的數(shù)據(jù)過程，加強學生對學習過程的重視，培養(yǎng)學生分析、解決問題的能力和提高學生的科學素養(yǎng).

二、教學案例分析

課題：回歸分析的基本思想及其初步應用（第2課時）.

（一）教學目標

1.根據(jù)散點圖的分布特點建立不同的回歸模型.

2.將非線性回歸模型轉(zhuǎn)化為線性回歸模型，體會“轉(zhuǎn)化”思想.

3.通過殘差和R2分析，比較幾種不同模型的擬合效果，逐步改進模型，體會“數(shù)學建?！彼枷?

（二）教學重點

將非線性回歸模型轉(zhuǎn)化為線性回歸模型，比較幾種不同模型的擬合效果.

（三）教學難點

將非線性回歸模型轉(zhuǎn)化為線性回歸模型，逐步改進模型.

（四）教學過程

師：請回憶建立回歸模型的基本步驟.

生：選變量、畫散點圖、選模型、估計參數(shù)、分析和預測.

師：我們建立模型是為了解決實際問題.新疆是產(chǎn)棉大省.棉花在生長過程中會遭受各種蟲害，其中之一就是紅鈴蟲.有關紅鈴蟲，我們一起觀看視頻了解一下.（播放視頻）

師：通過視頻我們知道紅鈴蟲產(chǎn)卵數(shù)和溫度有關系，溫度在[20 ℃∽35 ℃]，對紅鈴蟲產(chǎn)卵最有利，為了采取有效防治措施，科學家經(jīng)過長期觀測，收集了7組數(shù)據(jù).

師：我們把溫度記作解釋變量x， 產(chǎn)卵數(shù)就是預報變量y，那么怎樣建立y關于x的回歸方程呢？

生1：畫散點圖，建立線性模型.

生2：不一定是線性.

教師用Excel展示結果（如圖1）.

師（追問）：散點圖顯示不呈線性，[R2=0.7464]，模型擬合效果不是很好.我們應該用哪個函數(shù)擬合更好？

生1：二次函數(shù).

生2：指數(shù)函數(shù).

生3：冪函數(shù).

生4：對數(shù)函數(shù).

師：當回歸方程不是線性時，我們稱之為非線性回歸方程.本節(jié)課我們著重探究兩類非線性回歸模型：二次函數(shù)模型[y=c3x2+c4]和指數(shù)函數(shù)模型[y=c1ec2x].今天的重點問題是如何將非線性回歸模型轉(zhuǎn)化為線性模型.請同學們合作探究，閱讀教材后完成表2.

（觀察散點圖得二次函數(shù)的對稱軸約是20） 在指數(shù)模型中為什么選擇以[e]為底的指數(shù)呢？

能選擇其他的底數(shù)嗎？

取對數(shù)后是ln（常用對數(shù)），計算器方便計算.也可以換成以10或2為底或者任意正實數(shù)為底，用Excel演示. ]

教師用Excel現(xiàn)場演示，將表1中的數(shù)據(jù)平方得表3.

將表1中的數(shù)據(jù)取以e為底的對數(shù)得表4.

畫散點圖添加趨勢線擬合二次函數(shù)模型轉(zhuǎn)化為線性如圖2，擬合指數(shù)函數(shù)模型轉(zhuǎn)化為線性如圖3（變量計算機默認x）.

師：通過Excel演示，大家很清楚地看到將非線性轉(zhuǎn)化為線性的過程，指數(shù)函數(shù)模型的[R2]較大，擬合效果比二次函數(shù)模型好.我們還可以通過什么來比較呢？

生：殘差和殘差圖.

復習殘差計算公式和殘差圖的畫法，并用Excel演示.

學生通過殘差表5看出指數(shù)模型的殘差比二次函數(shù)模型的殘差小，圖5比圖4的殘差點落在水平帶狀區(qū)域較窄，因此說明指數(shù)函數(shù)模型擬合效果較好.

最后教師用Excel演示模型改進過程，二次函數(shù)模型的改進，Excel默認擬合效果最好的如圖6，即增加一次項的模型.

指數(shù)函數(shù)模型的改進可以變換底數(shù)以10為底，令[z=lgy]得表6，擬合結果如圖7.

也可以變換底數(shù)以2為底，令[z=log zy]得表7，擬合結果如圖8.

教師可進一步延伸拓展，借助Excel添加趨勢線，擬合更高次函數(shù)，如三次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等模型，拓寬學生的視野，體會數(shù)學源于生活又高于生活，學以致用，有效預防紅鈴蟲，只要控制溫度在20 ℃以下，35 ℃以上.數(shù)學模型沒有最好，只有更好，逐步改進模型，才能更好地為我們的生活服務.

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

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[3]? 李思聰，張仕橙.注重建模思維引領，培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)[J].數(shù)學教學通訊，2019（18）：20-21.

[4]? 郝晶杰. 高中生數(shù)學建模素養(yǎng)調(diào)查研究[D].新鄉(xiāng)：河南科技學院，2019.

[5]? 鄭葉群.如何把高中數(shù)學建模核心素養(yǎng)滲透于課堂教學[J].教育現(xiàn)代化，2019（23）：253-254.

[6]? 郭紅霞.高中數(shù)學課堂中落實核心素養(yǎng)的培育策略[J].中學數(shù)學，2019（5）：79-80.

（責任編輯 黃桂堅）