利用重心基準(zhǔn)的激光跟蹤三維測(cè)邊網(wǎng)平差

劉 碩，劉光博，劉尚國(guó)

(1.山東科技大學(xué) 測(cè)繪與空間信息學(xué)院，山東 青島 266590；2.通用技術(shù)集團(tuán)工程設(shè)計(jì)有限公司，山東 濟(jì)南 250031)

在工業(yè)測(cè)量領(lǐng)域，常面臨觀(guān)測(cè)目標(biāo)尺寸大、精度要求高、測(cè)量現(xiàn)場(chǎng)環(huán)境復(fù)雜等一系列問(wèn)題，對(duì)高精度控制網(wǎng)的構(gòu)建提出了更高的要求[1-3]。激光跟蹤儀采用激光干涉測(cè)距，距離測(cè)量的精度極高，且測(cè)量范圍大，自動(dòng)化程度高，操作簡(jiǎn)便，已成為目前構(gòu)建精密三維控制網(wǎng)的重要手段[4-5]。然而，為了保證其動(dòng)態(tài)測(cè)量速度的需要，激光跟蹤儀測(cè)角系統(tǒng)一般采用光柵度盤(pán)，很難消除度盤(pán)誤差對(duì)其測(cè)角誤差的影響[6]，而測(cè)角誤差是影響其點(diǎn)位誤差的主要因素[7]。因此，相比于微米級(jí)測(cè)距精度，激光跟蹤儀的測(cè)角精度并沒(méi)有顯著提高，鑒于激光跟蹤儀的測(cè)距精度對(duì)空間點(diǎn)位精度起主導(dǎo)作用[8]，為消除測(cè)角誤差的影響，在構(gòu)建精密三維網(wǎng)時(shí)通常僅使用激光跟蹤儀的高精度測(cè)距結(jié)果。而在具體平差計(jì)算時(shí)，必須解決自由網(wǎng)平差基準(zhǔn)秩虧的問(wèn)題。文獻(xiàn)[9]采用混合總體最小二乘迭代算法求解多測(cè)站空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)，并分析了測(cè)站定位與定向?qū)す飧檭x光束法平差的影響。文獻(xiàn)[10]則針對(duì)激光跟蹤三維測(cè)邊控制網(wǎng)中的秩虧問(wèn)題，提出利用矩陣奇異值分解性質(zhì)求解未知參數(shù)，實(shí)現(xiàn)對(duì)激光跟蹤儀測(cè)角誤差的有效約束，方法實(shí)用性強(qiáng)且易于編程實(shí)現(xiàn)，可解決自由網(wǎng)平差基準(zhǔn)秩虧的問(wèn)題，但在附加重心基準(zhǔn)約束及其平差結(jié)果校驗(yàn)等方面，尚需開(kāi)展進(jìn)一步探討。

本研究以L(fǎng)eica AT930型激光跟蹤儀為研究對(duì)象，通過(guò)激光跟蹤儀多站位測(cè)量，構(gòu)建了高精度三維測(cè)邊網(wǎng)。利用公共點(diǎn)轉(zhuǎn)換模型，求取激光跟蹤儀各測(cè)站點(diǎn)在基準(zhǔn)坐標(biāo)系下的近似坐標(biāo)，再利用測(cè)邊網(wǎng)平差前后重心位置不變的性質(zhì)，引入重心基準(zhǔn)作為附加約束條件；并利用該性質(zhì)作為測(cè)邊網(wǎng)平差后的檢核條件，以解決測(cè)邊網(wǎng)中秩虧自由網(wǎng)平差的問(wèn)題。

1 激光跟蹤三維測(cè)邊網(wǎng)的構(gòu)建

第i個(gè)測(cè)站對(duì)第j個(gè)全局控制點(diǎn)的激光干涉測(cè)距值

(1)

對(duì)式(1)進(jìn)行線(xiàn)性化，可得誤差方程式：

vij=aijδXi+bijδYi+cijδZi-aijδxj-bijδyj-cijδzj-lij，

(2)

式中，系數(shù)aij、bij、cij與常數(shù)lij分別如下所示。

其中，lij表示的是第i個(gè)測(cè)站與第j個(gè)控制點(diǎn)間激光干涉測(cè)距值與近似值的差值。

對(duì)測(cè)量空間內(nèi)m個(gè)測(cè)站、n個(gè)控制點(diǎn)應(yīng)用式(1)，建立誤差方程并寫(xiě)成矩陣形式，則有

Vmn×1=Amn×3(m+n)δX3(m+n)×1-lmn×1。

(3)

式中：V為殘差向量，δX為待求未知參數(shù)向量，A為系數(shù)矩陣，l為距離差值常數(shù)向量，分別如下所示。

V=[v11,v12,…,v1n,…,vm1,vm2,…,vmn]T，l=[l11,l12,…,l1n,…,lm1,lm2,…,lmn]T，

δX=[δX1,δY1,δZ1,…,δXm,δYm,δZm,…,δx1,δy1,δz1,…,δxn,δyn,δzn]T，

2 平差前測(cè)邊網(wǎng)近似三維坐標(biāo)的解算

在利用重心基準(zhǔn)的激光跟蹤三維測(cè)邊網(wǎng)平差中，測(cè)站點(diǎn)與全局控制點(diǎn)的近似三維坐標(biāo)計(jì)算是平差處理的首要問(wèn)題。全局控制點(diǎn)的近似三維坐標(biāo)，一般取自基準(zhǔn)坐標(biāo)系(假定第1測(cè)站坐標(biāo)系為基準(zhǔn)坐標(biāo)系)下的單測(cè)站觀(guān)測(cè)成果。而關(guān)于各測(cè)站近似坐標(biāo)的處理，本研究首先考慮利用空間距離后方交會(huì)的方法進(jìn)行解算。如圖1所示，假設(shè)PA、PB、PC三個(gè)控制點(diǎn)在基準(zhǔn)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)已知，PE點(diǎn)為未知點(diǎn)。在PE點(diǎn)處設(shè)置激光跟蹤儀測(cè)站，依次觀(guān)測(cè)PA、PB、PC控制點(diǎn)，獲取3個(gè)激光干涉測(cè)距值D1、D2、D3。

圖1 距離后方交會(huì)

由空間距離的計(jì)算公式，可得

(4)

通過(guò)解算上述三元二次方程，即可求得未知測(cè)站點(diǎn)PE的三維坐標(biāo)。但使用后方交會(huì)方法獲取測(cè)站點(diǎn)近似坐標(biāo)時(shí)，解的精確與否與三點(diǎn)交會(huì)的網(wǎng)形有很大關(guān)系，若網(wǎng)形不佳如PA、PB、PC三點(diǎn)接近共線(xiàn)或共圓，會(huì)造成解算結(jié)果的失真，影響下一步測(cè)邊網(wǎng)的平差工作。

因此，考慮利用公共點(diǎn)轉(zhuǎn)換模型求取各測(cè)站的近似坐標(biāo)。即在某測(cè)量空間選取不少于3個(gè)目標(biāo)點(diǎn)，并保證所選目標(biāo)點(diǎn)在每一個(gè)測(cè)站下都得到了觀(guān)測(cè)。選擇某測(cè)站坐標(biāo)系為基準(zhǔn)坐標(biāo)系，將每一測(cè)站下所選目標(biāo)點(diǎn)轉(zhuǎn)換至基準(zhǔn)坐標(biāo)系，求取坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)，然后導(dǎo)入相應(yīng)測(cè)站坐標(biāo)，即可求得其在基準(zhǔn)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。將求得的各測(cè)站點(diǎn)近似坐標(biāo)、基準(zhǔn)坐標(biāo)系下的單測(cè)站觀(guān)測(cè)成果作為三維測(cè)邊網(wǎng)平差前的初始值。

3 基于重心基準(zhǔn)的三維測(cè)邊網(wǎng)平差模型

對(duì)式(3)應(yīng)用最小二乘原理，可得法方程式：

NδX-W=0，

(5)

式中，法方程系數(shù)矩陣N=ATPA，常數(shù)陣W=ATPl，P為權(quán)矩陣，參考文獻(xiàn)[11]，P可由式(6)確定

Pij=(1/mSSij)2。

(6)

式中mS為儀器出廠(chǎng)時(shí)的標(biāo)稱(chēng)測(cè)距精度。

在激光跟蹤三維測(cè)邊控制網(wǎng)中，所有測(cè)站點(diǎn)、控制點(diǎn)三維坐標(biāo)作為未知參數(shù)參與平差，且基于激光干涉測(cè)距值構(gòu)建的激光跟蹤三維測(cè)邊網(wǎng)，僅有尺度基準(zhǔn)而缺少位置、方位基準(zhǔn)，因此該三維測(cè)邊網(wǎng)的平差解算屬于典型的秩虧自由網(wǎng)平差問(wèn)題[12]。系數(shù)矩陣A為秩虧矩陣，因此法方程系數(shù)矩陣N為奇異矩陣，式(5)的解不唯一。為了獲得唯一解，需加入新的約束條件。依據(jù)秩虧網(wǎng)平差原理，三維控制網(wǎng)中重心位置是固定不變的。因此，可利用重心基準(zhǔn)條件進(jìn)行約束，其平差模型為：

GTδX=0，

(7)

式中G為附加約束矩陣。激光跟蹤三維測(cè)邊網(wǎng)的基準(zhǔn)數(shù)為6[13]，因此，該附加約束矩陣為：

由式(7)可得到：

(8)

(9)

聯(lián)立式(8)與式(9)可得平差后重心坐標(biāo)為：

(10)

從式(10)可以看出，平差后測(cè)站點(diǎn)與全局控制點(diǎn)重心坐標(biāo)等于平差前各點(diǎn)的重心坐標(biāo)，該特性可作為基于重心基準(zhǔn)的激光跟蹤三維測(cè)邊網(wǎng)平差后的檢核條件。

由秩虧自由網(wǎng)平差公式，可分別得到未知參數(shù)δX及其協(xié)因數(shù)矩陣QδXδX：

δX=(N+GGT)-1ATPl，

(11)

QδXδX=(N+GGT)-1N(N+GGT)-1。

(12)

單位權(quán)中誤差μ和未知參數(shù)精度mδX分別為：

(13)

(14)

4 實(shí)驗(yàn)與算例分析

4.1 實(shí)驗(yàn)測(cè)試方案

如圖2所示，在山東科技大學(xué)3D試驗(yàn)場(chǎng)內(nèi)，選取約10 m×10 m的測(cè)量范圍，均勻布設(shè)7個(gè)全局控制點(diǎn)，編號(hào)為Ph(h=1,2,…,7)，其中P1、P2、P4、P5位于地面上，P3、P6、P7位于墻面上，點(diǎn)間最大高差約為0.9 m。

圖2 測(cè)邊控制網(wǎng)及實(shí)驗(yàn)場(chǎng)景

采用Leica AT930型激光跟蹤儀作為測(cè)量設(shè)備，共設(shè)置10個(gè)測(cè)站，編號(hào)依次為Stk(k=1,2,…,10)，依次觀(guān)測(cè)7個(gè)全局控制點(diǎn)。觀(guān)測(cè)前用熱熔膠固定控制點(diǎn)基座，將球棱鏡放置于基座上并調(diào)整好激光入射角度即可進(jìn)行觀(guān)測(cè)。

4.2 三維坐標(biāo)初始值的計(jì)算

假設(shè)各測(cè)站點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0,0)，選擇St1測(cè)站坐標(biāo)系作為基準(zhǔn)坐標(biāo)系，利用公共點(diǎn)轉(zhuǎn)換模型，求取其他各測(cè)站點(diǎn)在St1測(cè)站下的坐標(biāo)值，將其作為激光跟蹤三維測(cè)邊網(wǎng)平差前的初始值，各測(cè)站點(diǎn)坐標(biāo)初值與全局控制點(diǎn)坐標(biāo)初值如表1所示。

表1 測(cè)站點(diǎn)與全局控制點(diǎn)坐標(biāo)初值

4.3 重心基準(zhǔn)約束下的算法及程序設(shè)計(jì)

該激光跟蹤三維測(cè)邊網(wǎng)中，有70個(gè)觀(guān)測(cè)方程，51個(gè)未知參數(shù)，6個(gè)基準(zhǔn)數(shù)，25個(gè)多余觀(guān)測(cè)數(shù)，誤差方程有解。通過(guò)軟件編程，實(shí)現(xiàn)了附加重心基準(zhǔn)約束條件的秩虧自由網(wǎng)平差解算(圖3)。算法流程如圖4所示，導(dǎo)入測(cè)站點(diǎn)、控制點(diǎn)坐標(biāo)初值，并將激光干涉測(cè)距值作為真實(shí)值參與平差。計(jì)算平差前測(cè)邊網(wǎng)的重心坐標(biāo)O1與平差后的重心坐標(biāo)O2，用以檢驗(yàn)該測(cè)邊網(wǎng)平差后的準(zhǔn)確性。平差后，單位權(quán)中誤差為5 μm，平差結(jié)果與各未知參數(shù)精度如表2、表3所示。

圖3 平差模型解算界面Fig. 3 Solution interface of adjustment model

圖4 三維測(cè)邊網(wǎng)平差算法流程圖

由表2、表3測(cè)站點(diǎn)與全局控制點(diǎn)平差結(jié)果，可以反算各測(cè)站到全局控制點(diǎn)的距離，其與激光干涉測(cè)距值的差值可用以檢驗(yàn)平差結(jié)果的準(zhǔn)確性。圖5表示平差前與平差后各點(diǎn)坐標(biāo)反算距離與激光干涉測(cè)距值的差值。

圖5 平差前后坐標(biāo)反算距離與激光干涉測(cè)距值的差值

4.4 實(shí)驗(yàn)分析

1) 對(duì)表2、表3依據(jù)重心公式計(jì)算可得，平差前該控制網(wǎng)重心坐標(biāo)O1等于平差后點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算的重心坐標(biāo)O2，驗(yàn)證了激光跟蹤三維測(cè)邊網(wǎng)平差前后，網(wǎng)重心位置不變的性質(zhì)。

表2 測(cè)站點(diǎn)坐標(biāo)平差結(jié)果

2) 測(cè)站點(diǎn)與全局控制點(diǎn)平差后，平面精度平均值約為14 μm，而高程精度平均值為62 μm，即平差后點(diǎn)的高程精度略差于平面精度。

3) 由表3可以看出，地面控制點(diǎn)精度平均值為43 μm，墻面控制點(diǎn)精度平均值為115 μm，即地面點(diǎn)精度優(yōu)于墻面點(diǎn)精度，分析原因是部分布設(shè)在墻面上的點(diǎn)位穩(wěn)定性較差，對(duì)最終點(diǎn)位測(cè)量精度產(chǎn)生了較大影響。

表3 全局控制點(diǎn)坐標(biāo)平差結(jié)果

4) 經(jīng)平差處理后，激光跟蹤儀測(cè)站點(diǎn)位誤差最大值為79 μm，最小值為42 μm，平均值為57 μm；而全局控制點(diǎn)點(diǎn)位誤差最大值為160 μm，最小值為35 μm，平均值為74 μm，即測(cè)站點(diǎn)精度略高于控制點(diǎn)精度。

5) 由圖5可以看出，利用重心基準(zhǔn)的激光跟蹤三維測(cè)邊網(wǎng)平差后，點(diǎn)坐標(biāo)反算距離與激光干涉測(cè)距值的差值較平差前更為均勻。平差前該差值最大為26.5 μm，最小為-30.1 μm，平均值為-1.8 μm；平差后該差值最大為10.3 μm，最小為-9.6 μm，平均值僅為0.2 μm，證明該平差模型可對(duì)激光跟蹤儀測(cè)角誤差進(jìn)行有效的約束。

5 結(jié)論

本研究利用激光跟蹤儀微米級(jí)測(cè)距精度的優(yōu)勢(shì)，在試驗(yàn)場(chǎng)內(nèi)構(gòu)建了高精度三維測(cè)邊網(wǎng)，基于控制網(wǎng)平差前后重心基準(zhǔn)不變的性質(zhì)，較好地解決了三維測(cè)邊網(wǎng)中秩虧自由網(wǎng)平差的問(wèn)題。實(shí)驗(yàn)表明，利用重心基準(zhǔn)的激光跟蹤三維測(cè)邊網(wǎng)平差模型，可有效地消除激光跟蹤儀測(cè)角誤差對(duì)整體測(cè)量精度的影響，在10 m×10 m測(cè)量范圍內(nèi)，平差后的測(cè)站、控制點(diǎn)點(diǎn)位精度平均值優(yōu)于0.1 mm。平差后，點(diǎn)坐標(biāo)反算距離與激光干涉測(cè)距值的差值可控制在10 μm以?xún)?nèi)。