一類二階半線性微分方程的振動(dòng)性

羅紅英，俞元洪

(1.曲靖師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南 曲靖 655011；2.中國科學(xué)院 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院，北京 100190)

1 引言

微分方程有著悠久的歷史。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，微分方程理論在自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域均具有廣泛的應(yīng)用。對(duì)于微分方程的振動(dòng)性而言，若其解是振蕩的，則方程的解就是振動(dòng)的。近年來，微分方程振動(dòng)性理論作為微分方程定性理論的重要內(nèi)容之一，受到人們的普遍關(guān)注，其發(fā)展相當(dāng)迅速，從線性到非線性，從低階到高階，從分散到連續(xù)，都有一些新的研究成果。因此，對(duì)其進(jìn)行研究不僅具有重要的理論意義，也具有重要的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。文獻(xiàn)[1]研究了二階微分方程

(r(t)(z′(t))α)′+q(t)f(x(σ(t)))=0

文獻(xiàn)[2]研究了n階微分方程

文獻(xiàn)[3]研究了二階微分方程

的振動(dòng)性。

文獻(xiàn)[4-6]研究了二階微分方程的振動(dòng)性，但文獻(xiàn)[1-6]都只考慮了微分方程中兩項(xiàng)的次數(shù)相等(即α=β)的情形，是按照常規(guī)的Riccati變換方法得到微分方程振動(dòng)的充分條件。文獻(xiàn)[7-16]也研究α=β的情況，將所作的二階方程Riccati變換推廣到相應(yīng)的三階微分方程，得到了三階微分方程振動(dòng)的充分條件。但由于文獻(xiàn)[1-6]研究二階方程時(shí)是對(duì)α=β情形進(jìn)行了研究，因此，在將二階微分方程的Riccati變換推廣到三階微分方程時(shí),只能針對(duì)三階微分方程α=β的情形進(jìn)行了研究[7-16]?？墒牵駝?dòng)性問題不能僅僅只研究α=β的特殊情形，對(duì)于α>β和β≥α的情形，如果還采用常規(guī)的Riccati變換方法就不行了。文獻(xiàn)[17]在改進(jìn)了文獻(xiàn)[1-16]所作的常規(guī)Riccati變換技巧后，得到了方程

在α≥β>0情形振動(dòng)的充分條件。文獻(xiàn)[18]對(duì)文獻(xiàn)[17]中采用的Riccati變換和積分平均技巧作進(jìn)一步的推廣，對(duì)文獻(xiàn)[17]研究的方程在兩種情況下得到了該方程振動(dòng)的充分條件，推廣和改進(jìn)了文獻(xiàn)[17]的方法和結(jié)論。

在文獻(xiàn)[18]的基礎(chǔ)上，研究如下的帶積分項(xiàng)的二階半線性中立型微分方程：

(1)

為了能對(duì)α>β和β≥α兩種情況都能進(jìn)行研究，我們推廣文獻(xiàn)[18]的Riccati變換和積分平均技巧，利用推廣的廣義Riccati變換和積分平均技巧，得到方程(1)振動(dòng)的充分條件。

H1)r(t)∈C1([t0,∞),R+),r′(t)≥0，r(t)>0；

σ(t,ξ)關(guān)于變量ξ是減函數(shù)；

2 主要結(jié)論

針對(duì)方程(1)中出現(xiàn)的α和β的情形，對(duì)α>β和β≥α兩種情況研究方程(1)的振動(dòng)，在文獻(xiàn)[18]的基礎(chǔ)上，應(yīng)用推廣的Riccati變換和積分平均技巧，得到方程(1)在α>β和β≥α兩種情況下振動(dòng)的充分條件。

定理1設(shè)

(2)

且存在ρ(t)∈C1([t0,∞),R+)，使得

(3)

證明：用反證法。假設(shè)方程(1)有非振動(dòng)解x(t)，不妨設(shè)x(t)>0，由方程(1)，有

斷言z′(t)>0。否則z′(t)<0，有

(r(t)(-z′(t))α)′>0。

即r(t)(-z′(t))α是增函數(shù)，則存在T>0，對(duì)?t>T，有

r(t)(-z′(t))α≥r(T)(-z′(T))α=k1，

其中k1=r(T)(-z′(T))α，則

將上式在[T,t]上積分，得

上式與式(2)矛盾，因此，z′(t)>0。

由z(t)的定義，z(t)≥x(t)，則z(τ(t,ξ))≥x(τ(t,ξ))，而z′(t)>0，z(t)是增函數(shù)，z(τ(t,ξ))≤z(t)，故

即

x(t)≥z(t)[1-p(t)]，x(σ(t,ξ))≥z(σ(t,ξ))[1-p(σ(t,ξ))]。

而σ(t,ξ)關(guān)于變量ξ是減函數(shù)，有σ(t,ξ)≥σ(t,d)，故z(σ(t,ξ))≥z(σ(t,d))，則

x(σ(t,ξ))≥z(σ(t,d))[1-p(σ(t,ξ))]。

則

由式(1),得

(r(t)(z′(t))α)′+Q(t)zβ(σ1(t))≤0。

(4)

定義函數(shù)

則

1) 若β≥α，則

則

由條件H1)和H3)，r(σ1(t))≤r(t)，因此，有

(5)

2) 若α>β，則

由于(r(t)(z′(t))α)′≤0，得z″(t)≤0，故z′(t)是減函數(shù)，有z′(σ1(t))≥z′(t)，則

又z′(t)是減函數(shù)，則對(duì)?t>T，有

則

(6)

綜上所述，令λ=min{α,β}，k=min{βk2,βk3}，則式(5)與式(6)合并寫成

在[T,∞)上積分，得

此式與式(3)矛盾，則方程(1)振動(dòng)。

推論1若存在函數(shù)ρ(t)∈C1([t0,∞),R+)，使得

證明：易驗(yàn)證滿足定理1條件。

推論2設(shè)式(2)成立，若存在ρ(t)∈C1([t0,∞),R+)，使得

(7)

(8)

成立，則方程(1)振動(dòng)。

證明:由式(8)知，存在ε0>0和t1>t0，使得對(duì)t>t1，有

則

即

在[t1,t]上積分，得

由式(7)知滿足定理1條件，則方程(1)振動(dòng)。

定理2設(shè)式(2)成立，且

(9)

證明：定義函數(shù)

則

1) 若β≥α，則

即

則

(10)

2) 若α>β，則

而(r(t)(z′(t))α)′≤0，得到z″(t)≤0，z′(t)是減函數(shù)，有

z′(σ1(t))≥z′(t)。

又z′(t)是減函數(shù)，則對(duì)?t>T，有

則

(11)

綜上所述，令λ=min{α,β}，c=min{c1,c2}，則式(9)與式(10)合并寫成

(12)

將式(12)在[t,∞)上積分，得

即

(13)

(14)

即

則

(15)

上式與式(15)矛盾，因此，方程(1)振動(dòng)。

注：定理1中的ρ(t)∈C1([t0,∞),R+)需要根據(jù)具體的微分方程去構(gòu)造，而定理2沒有這個(gè)限制條件，定理2是定理1的補(bǔ)充。定理1是文獻(xiàn)[18]中定理2.1的推廣，定理2是文獻(xiàn)[18]中定理3.2的推廣。

為了說明所得主要結(jié)果的適用性，現(xiàn)通過例題來驗(yàn)證其結(jié)論。

例考慮下列二階微分方程

(16)

故滿足定理1條件，方程(16)振動(dòng)。

本研究在文獻(xiàn)[1-18]對(duì)二階和三階微分方程振動(dòng)性研究的基礎(chǔ)上，利用推廣的廣義Riccati變換和積分平均技巧，研究了一類二階半線性中立型微分方程(1)，得到了其振動(dòng)的充分條件，并給出例子說明所得結(jié)論的適用性。今后將Riccati變換和積分平均技巧應(yīng)用到更廣泛的非線性微分方程模型中。