基于雙憶阻混沌電路的分析及應用

袁延超，袁 方，李玉霞

(山東科技大學 電氣與自動化工程學院，山東 青島 266590)

憶阻器概念于1971年由Chua[1]提出，首次將電荷與磁通關系聯(lián)系起來。2008年，惠普實驗室工作人員使用納米技術基于摻雜的TiO2薄膜成功研制了具有憶阻器特性的實物器件，首次將真實器件與憶阻器概念聯(lián)系起來[2]。憶阻器是除電阻、電容和電感以外的第四種基本電路元件。文獻[3]提出憶阻器是一個具有二端口網(wǎng)絡的器件，憶阻器阻值的大小不只與加在其兩端的電壓極性、大小及加在其兩端電壓的持續(xù)時間長短有關，并且與加在它兩端電壓歷史值有關，即使斷電，憶阻器的阻值也不會消失。利用憶阻器的非易失性可以模擬人腦神經(jīng)網(wǎng)絡的功能，已被應用于人工神經(jīng)網(wǎng)絡領域[4-6]、人工智能[7-9]和電子工程[10]等領域。

目前憶阻器實際器件的實現(xiàn)難度和成本都比較大，尚未發(fā)展到商用階段，研究多集中在憶阻器的數(shù)學模型和憶阻器仿真器[11-14]方面。憶阻器作為一種新型非線性元件，引入電路后很容易實現(xiàn)電路的混沌振蕩，構(gòu)建基于憶阻器的混沌電路對研究憶阻器的應用及非線性動力學的發(fā)展具有重要意義。文獻[15]提出一種由實際器件組成的浮地憶阻器仿真器，用于模擬閾值型二進制憶阻器的動態(tài)特性。文獻[16]提出新的三相二極管橋式憶阻器記憶特性，通過數(shù)值仿真和電路仿真分析了v-i磁滯回線。通過將憶阻器應用到新的混沌電路，或者替換原有電路中的線性或非線性元件，可以生成動力學特性更為豐富的混沌吸引子[17-19]。文獻[20]提出一個局部有源憶阻器模型，基于該憶阻器模型設計一個混沌系統(tǒng)，該混沌系統(tǒng)具有復雜的分岔特性。文獻[21]將磁控憶阻器引入到多翼混沌系統(tǒng)中，深入分析在不同位置加入憶阻器對多翼超混沌系統(tǒng)的影響。研究表明，憶阻混沌系統(tǒng)具有復雜動力學行為，采用數(shù)值仿真、電路仿真和硬件電路實驗表明了系統(tǒng)暫態(tài)混沌[22]、隱藏吸引子、自激振蕩、倍周期分岔、超多穩(wěn)定性[23]、超混沌等一些復雜動力學特性。文獻[24]提出一種基于憶阻的文氏橋混沌電路，主要分析系統(tǒng)的共存吸引子和多穩(wěn)定性。憶阻混沌系統(tǒng)極端依賴憶阻的初始狀態(tài)，固定參數(shù)選取不同初值可以得到共存多吸引子。系統(tǒng)存在不同種類的吸引子，每一種吸引子是由不同初始狀態(tài)自激振蕩形成的。根據(jù)憶阻混沌系統(tǒng)具有復雜動力學行為這一優(yōu)勢，混沌系統(tǒng)可以應用在信息加密和保密通信領域。文獻[25]基于分數(shù)階憶阻混沌電路，采用一種新的圖片加密算法，實現(xiàn)圖像信息的加密。目前研究多憶阻高維混沌系統(tǒng)的相對較少，大多只進行數(shù)值仿真和電路仿真，研究硬件電路實現(xiàn)的較少。針對這一現(xiàn)狀，設計兩種憶阻器仿真器，并基于憶阻器設計一個新的五維混沌電路，對其進行Matlab數(shù)值仿真和動力學特性分析，并利用Multisim軟件對其進行電路仿真驗證。最后，用實際器件搭建系統(tǒng)硬件電路，并基于此電路設計一個隨機信號發(fā)生器。

1 磁控憶阻器與荷控憶阻器

1.1 磁控憶阻器模型及對應的仿真器

根據(jù)磁控憶阻器的定義[26]，一個n階磁控憶阻器模型的定義式為：

(1)

其中：W表示憶阻器憶導值，x表示n階磁控憶阻器模型的內(nèi)部狀態(tài)變量，im和vm分別表示通過憶阻器的電流和電壓。本研究磁控憶阻器模型[12]的表達式為：

(2)

其中，am、bn、A、B、C是憶阻器模型的參數(shù)，φ為磁控憶阻器的磁通。根據(jù)磁控憶阻器模型的數(shù)學表達式設計的憶阻器仿真器由運算放大器、乘法器、電阻、電容及電壓源組成，如圖1所示。

圖1 磁控憶阻器仿真器Fig. 1 Flux-controlled memristor emulator

(3)

(4)

通過對式(2)～(4)整理，磁控憶阻器仿真器的表達式可以寫為：

(5)

當在磁控憶阻器仿真器兩端輸入不同頻率正弦電壓源信號vm= sin(2πf)時，其v-i磁滯回線如圖2所示?？梢钥闯鰒-i特性曲線是一條閉合的緊磁滯回線，這些磁滯回線在v-i平面上都經(jīng)過原點，且在原點處相交，滿足憶阻器的零點相交性。隨著激勵信號源頻率的增加，憶阻器的磁滯回線所包含區(qū)域面積逐漸減少，當頻率趨于無窮大時，憶阻器的磁滯回線最終會退化為一條直線。

圖2 磁控憶阻器仿真器在不同頻率下v-i磁滯回線Fig. 2 The v-i hysteresis loops of flux-controlled memristor emulator with different frequencies

1.2 有源荷控憶阻器模型及對應的仿真器

根據(jù)荷控憶阻器的定義[26]，一個n階荷控憶阻器模型的定義為：

(6)

其中，M表示荷控憶阻器的憶阻值，x表示n階荷控憶阻器模型的內(nèi)部狀態(tài)變量。本研究提出的荷控憶阻器模型的表達式為：

(7)

其中q表示荷控憶阻器模型的電荷。根據(jù)荷控憶阻器模型的表達式構(gòu)建其仿真器如圖3所示，此荷控憶阻器仿真器由乘法器、運算放大器、電阻、電容組成。

在圖3中，v0是運算放大器U1A的輸出電壓，通過計算得到其表達式v0=R13R16im/(2R9+R13)。由于R13= 10 Ω，相對R9= 1 kΩ很小，R13可以忽略不計，故v0≈R13R16im/(2R9)。令ε=R13R16/(2R9)，v0經(jīng)過反相器輸出U1D= -v0q2，由R17、R14、R21、運算放大器U1C構(gòu)成反相加法器，U1C的輸出為vm，可以推導出vm與im的關系為：

圖3 荷控憶阻器仿真器Fig. 3 Charge-controlled memristor emulator

(8)

由R22、C2、U2A組成的積分電路可以得到U2A的輸出，如式(9)所示。

(9)

由此，可以推導出荷控憶阻器仿真器的表達式：

(10)

其中，m= -εR17/R14,n=εR17/R21。當在荷控憶阻器仿真器兩端施加不同頻率正弦交流源信號im=sin(2πf)時，其磁滯回線如圖4所示。從圖中可以看出這些磁滯回線在v-i平面上都經(jīng)過原點，滿足憶阻器的零點相交性。其磁滯回線都在第二、四象限，表明此荷控憶阻器是有源的。隨著激勵信號頻率的增加，憶阻器的磁滯回線呈壓縮狀態(tài)；當頻率進一步增大，憶阻器的磁滯回線會逐漸變成一條單值曲線，這表明憶阻器具有頻率依賴性。

圖4 有源荷控憶阻器仿真器在不同頻率下v-i磁滯回線Fig. 4 The v-i hysteresis loops of active charge-controlled memristor emulator with different frequencies f

2 基于雙憶阻的混沌系統(tǒng)分析

2.1 基于雙憶阻的混沌電路

基于雙憶阻的混沌電路系統(tǒng)的簡圖如圖5所示。此混沌電路由一個磁控憶阻器、一個有源荷控憶阻器、兩個電容、一個電感及一個電阻經(jīng)過串并聯(lián)構(gòu)成，各支路電流方向及電壓參考方向在圖5中標出。

圖5 雙憶阻的混沌電路設計Fig. 5 Chaotic circuit design of dual memristors

取電容C1兩端的電壓為v1，電容C2兩端的電壓為v2，磁控憶阻器W(φ)的憶導為W，φ為磁控憶阻器的磁通，荷控憶阻器模型M(q)的憶阻為M，荷控憶阻器的電荷為q，分別對應的5個狀態(tài)變量為v1、v2、im、φ和q?；?個狀態(tài)變量，由基爾霍夫電流、電壓定律及電路元件的本構(gòu)關系，可建立系統(tǒng)的狀態(tài)方程：

(11)

令x=v1,y=v2,z=im,w=φ,v=q,a=1/C1,g=1/C2,b=1/L,R=1，則式(11)可以進一步改寫為：

(12)

選擇系統(tǒng)參數(shù)：a=8.7，g=30，b=0.6，am=0.3，bn=0.1，m=-1，n=30，A=4，B=10，C=-0.1。使用Jacobian方法計算Lyapunov指數(shù)，得到LE1=0.237 7，LE2=-0.000 7，LE3=-0.561 1，LE4=-2.577 6，LE5=-38.327 7，其中最大Lyapunov指數(shù)大于0，系統(tǒng)處于混沌態(tài)。令初值為(0.01, 0.01, 0.01, 0.01, 0.01)，采用龍格-庫塔ODE45算法進行Matlab數(shù)值仿真，系統(tǒng)電路產(chǎn)生的吸引子相圖如圖6(a)、6(b)、6(c)、6(d)所示。截面z=-0.5截面上的Poincaré映射在x-y平面的投影如圖6(e)所示，該憶阻混沌系統(tǒng)5個狀態(tài)變量的時域波形如圖6(f)所示，由此可見該系統(tǒng)的運動軌跡具有貌似隨機性、非周期性。由系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)、吸引子圖、Poincaré映射圖及時域波形圖可知，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

圖6 吸引子相圖、Poincaré映射圖及各狀態(tài)變量的時域波形圖Fig. 6 Phase diagrams of the chaotic attractor, Poincaré map, and time-domain waves with different state variables

2.2 平衡點分析

(13)

進一步化簡式(13)，可得到系統(tǒng)的平衡點集為E= {(x,y,z,w,v)|x=y=z=0,w=C/B=0.01,v=v0}，其中v0為任意實數(shù)。將a=8.7，g=30，b=0.6，am=0.3，bn=0.1，m=-1，n=30，A=4，B=10，C=-0.1代入式(12)，將式(12)在平衡點處線性化后，可得Jacobian矩陣：

(14)

將Jacobian矩陣J代入det(λE-J)=0，得其特征根方程：

(15)

進一步化簡得到：

a0λ5+a1λ4+a2λ3+a3λ2+a4λ=0 。

(16)

其中：

(17)

由Routh-Hurwitz判據(jù)可知，當

(18)

時，系統(tǒng)的特征值(或特征值的實部)均為負，此時系統(tǒng)穩(wěn)定。為使式(12)產(chǎn)生混沌，則至少有1個特征值(或特征值的實部)為正，所以式(18)中各項應不全為正。例如，將v0=1時代入式(18)，Δ1=65.2>0,Δ2=1×105>0,Δ3=2.43×109>0,Δ4=-8.16×1012,Δ5=0，此時系統(tǒng)平衡點不穩(wěn)定，符合產(chǎn)生混沌的平衡點穩(wěn)定性條件。

2.3 參數(shù)a對動力學行為的影響

隨著系統(tǒng)參數(shù)的變化，系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性也會隨之變化，導致系統(tǒng)軌道處于不同狀態(tài)。在初始條件(0.01, 0.01, 0.01, 0.01, 0.01)下，固定系統(tǒng)參數(shù)g=30，b=0.6，am=0.3，bn=0.1，m=-1，n=30，A=4，B=10，C=-0.1。當a在[7, 12]范圍變化時，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜如圖7(a)所示，由于第4根與第5根Lyapunov指數(shù)為更小的負數(shù)，為了圖示清晰，LE4、LE5未畫出；狀態(tài)變量x隨參數(shù)a變化的分岔圖如圖7(b)所示。

圖7 系統(tǒng)狀態(tài)隨參數(shù)a變化的Lyapunov譜圖(a)與x隨參數(shù)a變化的分岔圖(b)Fig. 7 Lyapunov exponent spectra of system state varying with a (a) and bifurcation diagram of x varying with a (b)

由圖7可知，當a∈[7, 12]時，系統(tǒng)由周期軌道出發(fā)經(jīng)過短暫的倍周期快速跳到混沌狀態(tài)，然后經(jīng)過一段混沌狀態(tài)直接切換到倍周期，再從倍周期變?yōu)槎啻沃芷谂c混沌相互切換狀態(tài)。當a∈[7, 8.01]時，系統(tǒng)一直處于倍周期；當a∈(8.01, 9.05]時，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)；當a∈(9.05, 9.99]時，系統(tǒng)處于倍周期；當a∈(9.99, 12]時，系統(tǒng)經(jīng)歷了多次倍周期與混沌切換狀態(tài)。從圖中可以看出分岔圖是對稱分岔的，這是由于吸引子相圖對稱導致。選取不同的參數(shù)a，狀態(tài)變量x隨變量w變化的幾種相圖如圖8所示。

圖8 系統(tǒng)在參數(shù)a不同情況下的w-x平面相圖Fig. 8 Phase diagrams of system in w-x plane varying with a

2.4 共存分岔現(xiàn)象與共存吸引子

選擇系統(tǒng)參數(shù)a=8.7，g=30，am=0.3，bn=0.1，m=-1，n=30，A=4，B=10，C=-0.1，狀態(tài)變量x隨參數(shù)b在[0.05, 0.8]的變化由圖9(a)Lyapunov指數(shù)譜可知，在初值(0.1, 0.1, 0.1, 0, 0)條件下，隨著參數(shù)b的不斷增大，系統(tǒng)開始從周期經(jīng)過短暫的混沌再到倍周期，再經(jīng)過多次倍周期與混沌切換狀態(tài)變到混沌，再由混沌快速變?yōu)楸吨芷冢購谋吨芷谧優(yōu)榛煦?，最終再由混沌從倍周期演變?yōu)閱沃芷?。隨著參數(shù)b的變化，當b∈(0.05, 0.107]時，系統(tǒng)開始進入倍周期；當b∈(0.107, 0.125]時，系統(tǒng)由周期軌變?yōu)榛煦鐮顟B(tài)；當b∈(0.125, 0.215]時，系統(tǒng)由混沌狀態(tài)變?yōu)楸吨芷?；當b∈(0.215, 0.516]時，系統(tǒng)經(jīng)歷多次混沌與倍周期切換狀態(tài)；當b∈(0.516, 0.59]時，系統(tǒng)處于倍周期；當b∈(0.59, 0.695]時，系統(tǒng)由倍周期變?yōu)榛煦鐮顟B(tài)；當b∈(0.695, 0.8]時，系統(tǒng)從倍周期逐漸變?yōu)閱沃芷凇?/p>

圖9 系統(tǒng)狀態(tài)x隨參數(shù)b變化的Lyapunov指數(shù)譜圖與在不同初始條件下隨參數(shù)b變化的共存分岔圖Fig. 9 Lyapunov exponent spectra of system state x varying with b and coexistence bifurcation diagram varying with b at different initial conditions

共存分岔現(xiàn)象[27]是分岔現(xiàn)象的新特性，是指在初始條件不同的情況下，系統(tǒng)隨參數(shù)的變化出現(xiàn)不同分岔的現(xiàn)象。共存吸引子是指在系統(tǒng)參數(shù)相同而初始條件不同的情況下，系統(tǒng)所產(chǎn)生不同的吸引子。分岔圖如圖9(b)所示，其中紅色部分初始條件是(0.1, 0.1, 0.1, 0, 0)，藍色部分的初始條件是(-1, -1, 0, 0, 0)。固定參數(shù)a=8.7，g=30，am=0.3，bn=0.1，m=-1，n=30，A=4，B=10，C=-0.1，改變b的參數(shù)，其共存吸引子相圖如圖10所示。

圖10 系統(tǒng)隨b變化時，w-x平面共存吸引子相圖Fig. 10 Phase diagrams of w-x plane coexistence attractors varying with b

圖10中紅色軌跡和藍色軌跡表示的初始條件同圖9，在w-x平面顯示的共存吸引子相圖。當b∈[0.59, 0.8]時，隨著參數(shù)b的不斷增大，由不同初值系統(tǒng)產(chǎn)生的共存吸引子歷經(jīng)共存混沌吸引子狀態(tài)、共存倍周期狀態(tài)、共存單周期狀態(tài)。

2.5 多穩(wěn)定性

如果系統(tǒng)具有不同幅值、不同頻率或不同位置的相同拓撲結(jié)構(gòu)的共存吸引子，那么系統(tǒng)具有多穩(wěn)定性[19]。選擇混沌系統(tǒng)參數(shù)為a=8.7，g=30，b=0.6，am=0.3，bn=0.1，m=-1，n=30，A=4，B=10，C=-0.1，系統(tǒng)初始狀態(tài)(x(0), 0.01, 0.01, 0.01, 0.01)，其中變量x(0)在[-10, 10]之間變化時，可以得到隨初值x(0)變化的Lyapunov指數(shù)譜圖與分岔圖，如圖11所示。由圖11可知，系統(tǒng)存在多次周期與混沌切換狀態(tài)，表明系統(tǒng)存在不同的軌線。

圖11 系統(tǒng)隨初始狀態(tài)x(0)變化的Lyapunov指數(shù)譜圖與初始隨狀態(tài)x(0)變化的分岔圖Fig. 11 Lyapunov exponent spectra diagram varying with the initial state variable x(0) and bifurcation diagram varying with initial state variable x(0)

隨著初始狀態(tài)x(0)的變化，系統(tǒng)存在多種形狀不同的共存吸引子，如圖12所示，顯示了系統(tǒng)隨著初始狀態(tài)分量x(0)逐漸增加的幾種典型共存吸引子相圖，x(0)∈[-10, 10]。因為這些共存吸引子相圖在w-x平面是重疊的，為將每個吸引子相圖均勻排開，需將各個吸引子相圖沿w軸向右均勻平移一段距離。進而，各個吸引子相圖可以在w-x平面一同顯示。從圖中可以看出系統(tǒng)具有多種不同類型的共存吸引子，說明該系統(tǒng)具有多穩(wěn)定性。

圖12 系統(tǒng)隨初始狀態(tài)x(0)變化的幾種典型共存吸引子Fig. 12 Typical coexistence attractors varying with initial state variable x(0)

3 電路仿真與電路實現(xiàn)

3.1 電路仿真

對式(12)做時間尺度變換，令τ=Kt，K為時間尺度變換因子。時間尺度變換因子的大小影響系統(tǒng)時域演變的快慢和相軌跡稀疏稠密程度。時間尺度變換因子K越大，系統(tǒng)時域演變的越快，系統(tǒng)的混沌吸引子相圖軌線越密集；反之，系統(tǒng)時域演變的越慢，系統(tǒng)的混沌吸引子相圖軌線越稀疏。K往往要根據(jù)系統(tǒng)所需進行設置，所以K的取值不固定。為了便于后期電路實現(xiàn)，使得電阻和電容取值大小合適，取系統(tǒng)時間尺度變換因子K= 1 000，將電路參數(shù)及憶阻器參數(shù)a=8.7，g=30，b=0.6，am=0.3，bn=0.1，m=-1，n=30，A=4，B=10，C=-0.1代入，得到：

(19)

根據(jù)狀態(tài)方程式(19)，運用反相比例模塊、反相加法模塊、反向積分模塊及乘法器構(gòu)成混沌系統(tǒng)的仿真電路，如圖13所示。

圖13 Multisim仿真電路Fig. 13 Multisim emulator circuit

根據(jù)圖13列寫方程，得到狀態(tài)方程：

(20)

根據(jù)式(19)與式(20)對應系數(shù)相等，可得：

(21)

取電容C1=C2=C3=C4=C5= 10nF，每個電容的初始電壓值為0.01 V，將各電容值代入式(21)，求得各電阻值如圖13所示。Multisim電路仿真結(jié)果如圖14所示，與Matlab數(shù)值仿真結(jié)果圖6混沌吸引子相圖對比，可知兩者相圖是大體一致的，由此Multisim電路仿真驗證了理論分析的正確性。

圖14 Multisim仿真混沌吸引子圖Fig. 14 Chaotic attractors obtained by Multisim software simulation

3.2 電路實現(xiàn)

為了進行電路實驗，用實際器件在面包板上實現(xiàn)電路，并在示波器上獲得相應的吸引子相圖，如圖15所示。從示波器中可以看出搭建的實際電路的吸引子相圖驗證了Matlab數(shù)值仿真結(jié)果與Multisim電路仿真的正確性。

圖15 電路實現(xiàn)與吸引子圖Fig. 15 Circuit implementation and chaotic attractors

基于電路實現(xiàn)設計了一個隨機信號發(fā)生器[18]如圖16所示，隨機信號發(fā)生器由電壓比較器U1與比例運算放大器U2組成。當隨機信號發(fā)生器的輸入信號比參考電壓高時，電壓比較器U1輸出正飽和電壓，反之U1輸出負飽和電壓。U1輸出的飽和電壓作為比例運算放大器U2的輸入，U2的輸出可以獲得合適的邏輯電壓。隨機信號發(fā)生器參考電壓取0時，其輸入信號可以是系統(tǒng)的5個狀態(tài)變量(x,y,z,w,v)的任意一個狀態(tài)變量。通過實驗得出系統(tǒng)狀態(tài)變量z具有良好的隨機性，故選取系統(tǒng)狀態(tài)變量z作為隨機信號發(fā)生器輸入，Vout作為隨機信號發(fā)生器的輸出，通過Multisim電路仿真結(jié)果如圖16(b)，硬件實現(xiàn)在示波器得出波形如圖16(c)所示。

圖16 隨機信號發(fā)生器電路圖及Multisim仿真圖與示波器圖Fig. 16 Circuit of random sequence generator and Multisim simulation & hardware circuit

4 結(jié)論

本研究提出磁控與有源荷控憶阻器模型兩種新的憶阻器模型，并分別設計了對應的憶阻器仿真器，結(jié)合憶阻器與電感串聯(lián)、電容并聯(lián)的電路接法構(gòu)建了一個新的五維混沌系統(tǒng)，該系統(tǒng)具有一個平衡點集，并進行了平衡點分析；分析在不同初值條件下隨參數(shù)變化的共存分岔與共存吸引子，共存分岔現(xiàn)象使得加密密鑰空間更大，更適合應用在加密領域中。分析了系統(tǒng)隨初值變化的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖，系統(tǒng)具有多種共存吸引子，表明該系統(tǒng)具有多穩(wěn)定性。該混沌系統(tǒng)對初值具有極端靈敏性，可以產(chǎn)生穩(wěn)定、連續(xù)的混沌偽隨機序列信號，可以應用到信息加密及保密通信等領域。設計了一個Multisim仿真電路，其仿真結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果具有一致性；在面包板上用實際器件搭建了硬件電路，實驗結(jié)果驗證了數(shù)值仿真與電路仿真的正確性。最后，在硬件電路實現(xiàn)的基礎上設計了一個隨機信號發(fā)生器，實驗結(jié)果驗證了系統(tǒng)的物理可實現(xiàn)性。隨機信號發(fā)生器電路設計比較簡單，電壓輸出可調(diào)，生成的隨機序列比從數(shù)字平臺獲取的序列更隨機，更適合用在加密領域中。