含有積分測量和時滯的T-S模糊系統(tǒng)的H∞故障診斷

孔 旭，封學欣，王友清

(山東科技大學 電氣與自動化工程學院，山東 青島 266590)

在現(xiàn)代工業(yè)系統(tǒng)中，控制系統(tǒng)的可靠和安全具有十分重要的意義。設備和組件的復雜性不斷增加，且對各種意外故障越來越敏感，這些都會導致系統(tǒng)性能降低，故障檢測與診斷受到了越來越多的關注。故障檢測與診斷方法一般可分為兩大類，即基于系統(tǒng)模型的方法和不依賴系統(tǒng)模型的方法[1]。其中，不依賴系統(tǒng)模型的方法如主元分析(principal component analysis，PCA)方法已被廣泛應用于工業(yè)過程故障檢測[2-3]?；谙到y(tǒng)模型的方法中，故障診斷主要研究如何對系統(tǒng)中出現(xiàn)的故障進行檢測、分離和辨識,即判斷故障是否發(fā)生,定位故障發(fā)生的部位和種類,確定故障大小和發(fā)生時間等[4]。故障檢測的主要思想是構造殘差，與設定的閾值進行比較，以判斷故障是否發(fā)生[5-6]。文獻[7]根據空間幾何理論推導出車間距的殘差發(fā)生器，設計了自適應閾值的殘差決策模塊來分隔故障，從而達到車隊故障檢測與隔離的效果。對于具有多執(zhí)行器的系統(tǒng)，故障發(fā)生后，對故障執(zhí)行器進行定位，可為后續(xù)容錯控制提供必要的故障信息[8]。文獻[9]在復雜網絡模型中引入系統(tǒng)非線性以及耦合發(fā)生概率的不確定性，并考慮常見的傳感器故障類型，應用增廣狀態(tài)方法對得到的增廣系統(tǒng)設計基于觀測器的分布式估計器，實現(xiàn)在線故障估計。故障估計可以提供故障大小和方向等信息[10]，現(xiàn)有的故障估計方法主要包括自適應觀測器方法[11-13]、高增益觀測器方法[14]、干擾觀測器技術和滑模觀測器[15-17]等。

在大多數(shù)故障診斷研究中，通常假定測量輸出取決于當前時間步長的系統(tǒng)狀態(tài)。實際上，由于數(shù)據收集和實時信號處理可能會受到延遲的影響，因此在給定時間段內，系統(tǒng)測量值可能與系統(tǒng)狀態(tài)的積分成比例關系，這種現(xiàn)象稱為積分測量，積分測量現(xiàn)象通常發(fā)生在化學過程和核反應過程等工程應用中。在對化學過程中的質量和變量(例如濃度)進行測量時，因為采樣較少，并且所涉及的分析時間較長，因此會存在延遲。此外，由于化學樣品某些質量和變量的測量是一段時間內組合物狀態(tài)的函數(shù)，依賴于過去某個時刻的狀態(tài)，延遲測量還可以是過去一定時間段內狀態(tài)積分的函數(shù)，這就是積分測量在化學過程中的體現(xiàn)。

在網絡通信中，時滯問題主要存在于信息從傳感器到控制器和從控制器到執(zhí)行器的過程中，受時滯問題的影響，系統(tǒng)的性能會變差甚至不穩(wěn)定。文獻[18]將時滯建模為馬爾科夫鏈，研究了帶有時滯影響的網絡化控制系統(tǒng)的H∞濾波問題，再通過求解線性矩陣不等式得出濾波器的充分條件。文獻[19]討論了一類具有混合隨機時滯和數(shù)據丟包的新型網絡化非線性系統(tǒng)，并研究了此類系統(tǒng)的H∞濾波問題，提出了濾波器存在的充分條件，確保系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的并且滿足H∞性能。文獻[20]討論了含有分布式時變時滯的隨機系統(tǒng)的魯棒L-/L∞濾波問題，目的是設計一個全階濾波器，使得所產生的濾波誤差系統(tǒng)在滿足L-/L∞性能的情況下是漸近穩(wěn)定的，最后通過求解線性矩陣不等式，獲得濾波器的增益矩陣。文獻[21]主要研究了具有隨機時滯的線性離散時變系統(tǒng)的故障檢測問題，通過將數(shù)據信息結合到濾波器中，作為殘差生成器進行故障檢測。文獻[22]研究了含有不確定時變時滯的網絡控制系統(tǒng)的故障檢測，將不確定時變時滯轉換為隨時間變化的多變量不確定性，極大地方便了殘差產生器的設計，再通過殘差與設定閾值的比較，判斷系統(tǒng)是否發(fā)生故障。文獻[23]研究了含有時變時滯和執(zhí)行器故障的非線性離散系統(tǒng)的故障估計和容錯控制問題，將此非線性系統(tǒng)用T-S模糊模型表示，并在子模型中添加非線性函數(shù)，用更少的模糊規(guī)則和計算量來設計觀測器和控制器。隨著網絡通信技術的快速發(fā)展和廣泛應用，時滯問題也變得越來越復雜，在復雜網絡化環(huán)境下，在T-S模糊模型的基礎上考慮時滯問題進行故障診斷的研究成果相對較少，仍需繼續(xù)研究。

文獻[24]研究了時滯和積分測量相結合的狀態(tài)估計問題，針對如何處理測量中包含的積分特性這一難點問題，通過將含有延遲和積分測量的實際過程重新構造為等效的變維系統(tǒng)來解決，在新模型基礎上，提出一種變維無跡卡爾曼濾波器(variable dimension unscented Kalman filter，VD-UKF)來估計狀態(tài)；由于傳統(tǒng)無跡卡爾曼濾波器(UKF)方法中雅可比矩陣可逆性的假設對于 VD-UKF不再有效，作者提出了VD-UKF穩(wěn)定性的重要判別條件。文獻[25]研究了具有部分解耦干擾和積分測量的離散系統(tǒng)的狀態(tài)估計和故障重構問題，所考慮的積分測量值(在一段時間內作為系統(tǒng)狀態(tài)的函數(shù))反映了樣本采集與實時信號處理之間的時間間隔。

實際的工業(yè)系統(tǒng)中更多的是非線性系統(tǒng)，而T-S模糊模型可以近似甚至代替一般非線性系統(tǒng)，基于此，可將一般的非線性系統(tǒng)故障診斷問題轉化為T-S模糊系統(tǒng)的故障診斷問題[26]。T-S模糊模型通過隸屬度函數(shù)將復雜的非線性系統(tǒng)轉化為線性系統(tǒng)的組合，再利用傳統(tǒng)的線性系統(tǒng)理論對系統(tǒng)進行分析處理，該模型結構簡單，數(shù)學描述方便，有利于系統(tǒng)分析和控制器設計。T-S模糊模型系統(tǒng)的H∞跟蹤控制、非脆弱濾波控制、魯棒耗散控制、故障檢測[27]等各種問題得到廣泛研究。T-S模糊模型作為將非線性系統(tǒng)轉化為線性系統(tǒng)組合的強有力工具，對T-S模糊系統(tǒng)進行故障診斷具有重要的理論和實際意義。

本研究針對含有積分測量、時滯、執(zhí)行器故障和傳感器故障的T-S模糊模型，建立H∞觀測器進行故障估計。將傳感器故障與狀態(tài)合并為擴維狀態(tài)向量，來實現(xiàn)對傳感器故障的估計。利用H∞觀測器對執(zhí)行器故障進行估計，在估計狀態(tài)的同時估計執(zhí)行器故障和傳感器故障。對含有時滯的系統(tǒng)，選取李雅普諾夫函數(shù)，并對線性矩陣不等式求解可得觀測器的增益矩陣，使得系統(tǒng)滿足H∞性能。

1 問題描述

考慮帶有積分測量、時滯、執(zhí)行器和傳感器故障的離散T-S模糊模型。模糊模型的第i條規(guī)則具有以下形式：

(1)

假設1v(k)∈l2，

(2)

假設2假設執(zhí)行器故障信號是平滑且有界的，并且采樣周期T足夠短，對于所有k∈N，執(zhí)行器故障滿足0≈fa(k+1)-fa(k)，即執(zhí)行器故障是恒定和變化緩慢的。

(3)

通過對積分測量一項的處理，將T-S模糊系統(tǒng)(1)轉化為常見的系統(tǒng)形式，從而方便對該系統(tǒng)進行進一步分析。

2 H∞觀測器的建立和穩(wěn)定性分析

為了對狀態(tài)和傳感器故障進行估計，針對T-S模糊系統(tǒng)(3)，建立觀測器

(4)

引理1[25]存在矩陣H∈R(s+1)n+e)×m，G∈R((s+1)n+e)×n，使得

(5)

狀態(tài)估計誤差e(k)可以被定義為：

(6)

考慮式(4)和式(6)，可以獲得k+1時刻的狀態(tài)誤差公式為：

(7)

GAi-NiGE-L1iC=0。

(8)

通過式(8)，可以對觀測器的參數(shù)矩陣Ni和L1i進行設計，得到

Ni=GAi-KiC，Ki=NiH+L1i，

(9)

其中Ki為未知矩陣，在引理1中通過求解線性矩陣不等式(17)可以求得。

因此，狀態(tài)估計誤差(7)可以重新被寫為：

(10)

根據式(3)和式(4)，可以獲得：

(11)

那么執(zhí)行器的故障誤差只與執(zhí)行器故障誤差、狀態(tài)誤差和噪聲有關。

(12)

(13)

為了后續(xù)計算方便，將式(13)簡化為：

(14)

這里，化簡后的參數(shù)矩陣為：

(15)

等價于

(16)

定理1如果存在對稱正定矩陣P1∈R(s+1)n+l，P2∈Rq，Q1∈R(s+1)n+l>0和Q2∈Rq>0，適維矩陣S1i和S2，使得下列矩陣不等式同時成立：

(17)

證明：系統(tǒng)滿足性能：

(18)

(19)

即當干擾為0，k趨向于無窮時，誤差為0；干擾不為0時誤差的范數(shù)可以被干擾的范數(shù)所包含。

針對含有時滯的T-S模糊系統(tǒng)，選取以下李雅普諾夫函數(shù)：

V(k)=V1(k)+V2(k)，

(20)

(21)

需要使李雅普諾夫函數(shù)滿足：

(22)

這里，ΔV(k)=V(k+1)-V(k)，λ>0。

如果v(k)≡0,k=0,…,∞，則式(22)被重寫為：

(23)

如果v(k) ?0,k=0,…,∞，則式(22)被重寫為：

(24)

式(24)可寫為：

(25)

因為e(0)=0，可以得到V(0)=0，進一步可得

(26)

并且

(27)

根據式(26)和式(27)，最終可以得到：

(28)

(29)

這里，

顯而易見，Ui必須為負定矩陣，并且矩陣Ui可以被重寫為下式：

(30)

利用引理2，可以將上式變換得到：

(31)

這里，由于P，Xi和Yi均為未知項，所以不等式(31)存在非線性項，不能對其進行求解。為此，需要進一步化解得到：

(32)

(33)

(34)

根據參數(shù)矩陣可進一步化簡得：

(35)

令S1i=P1Ki，S2=P2L2，可以進一步得到：

(36)

3 仿真驗證

為了驗證對含有時滯和積分測量的T-S模糊系統(tǒng)建立H∞觀測器方法的有效性，下面利用MATLAB進行數(shù)值仿真驗證?？紤]由兩個局部模型T-S模糊模型(r=2)表示的非線性系統(tǒng)

其T-S模糊系統(tǒng)的參數(shù)矩陣設定如下：

在MATLAB中利用求解線性矩陣不等式的工具箱，求得線性矩陣不等式有可行解，得到：

根據線性矩陣不等式的求解，可以進一步獲得觀測器的增益矩陣為：

L2=[-2.198 4 -2.496 0]。

這里設置控制輸入為u(k)=[0.5 0.7]T，選取=0.375。

使用本研究提出的方法對含有時滯和積分測量的T-S模糊進行仿真。系統(tǒng)的狀態(tài)向量的3個子狀態(tài)及觀測器對其的估計值如圖1、圖2和圖3所示。執(zhí)行器故障向量fa的軌跡及觀測器對執(zhí)行器故障的估計如圖4所示。傳感器故障向量fs的軌跡及其估計如圖5所示。通過觀測器對系統(tǒng)狀態(tài)x(t)、執(zhí)行器故障fa和傳感器故障fs的估計效果，來證明所提方法的有效性。

圖1 狀態(tài)向量 x1(t)及其估計值 Fig. 1 State vector x1(t) and its estimated value

圖2 狀態(tài)向量x2(t)及其估計值Fig. 2 State vector x2(t) and its estimated value

圖3 狀態(tài)向量x3(t)及其估計值Fig. 3 State vector x3(t) and its estimated value

圖4 狀態(tài)向量 fa(t)及其估計值

由圖4可見，根據仿真設定，在60到100 s時刻，系統(tǒng)發(fā)生執(zhí)行器故障，通過H∞觀測器對執(zhí)行器故障進行估計。在0到60 s時間段，H∞觀測器能夠快速實現(xiàn)并保持對執(zhí)行器故障的精確估計。當系統(tǒng)在60到100 s發(fā)生執(zhí)行器故障時，H∞觀測器對執(zhí)行器故障仍有著很好跟蹤能力；在100 s及以后，執(zhí)行器故障歸零，H∞觀測器對執(zhí)行器故障的估計值也快速更新為0，證明所設計H∞觀測器對執(zhí)行器故障有著很好的估計能力。根據仿真設定，系統(tǒng)在140到160 s時，系統(tǒng)發(fā)生傳感器故障，因為將傳感器故障與狀態(tài)擴維到一起，所以利用H∞觀測器對狀態(tài)進行估計也可以得到傳感器故障的估計值。從圖5中可以看出，在0到140 s時間段，觀測器能夠快速實現(xiàn)并保持對傳感器故障的精確估計。當系統(tǒng)在140到160 s發(fā)生傳感器故障時，H∞觀測器對傳感器故障仍然有著很好跟蹤能力，在160 s及以后，傳感器故障歸零，H∞觀測器對傳感器故障的估計值也快速更新為0，觀測器的估計值對傳感器故障有著很好的跟蹤能力，證明了所提方法的有效性。

圖5 狀態(tài)向量fs(t)及其估計值Fig. 5 State vector fs(t) and its estimated value

4 結論

T-S模糊模型是處理非線性系統(tǒng)的有力工具，所考慮的積分測量在過程工程中具有明顯的實際意義，且時滯在通信網絡中普遍存在，為了對執(zhí)行器故障和傳感器故障進行估計，首先將傳感器故障與狀態(tài)合并為擴維狀態(tài)向量，在構建H∞觀測器估計擴維狀態(tài)的同時估計執(zhí)行器故障，其中傳感器故障通過對狀態(tài)的估計得到。然后，通過設置李雅普諾夫函數(shù)并求解線性矩陣不等式，求得觀測器的相關參數(shù)矩陣，使系統(tǒng)滿足穩(wěn)定。最后通過數(shù)值仿真，對狀態(tài)和故障的實際曲線和估計曲線進行分析，H∞觀測器在系統(tǒng)未發(fā)生故障、發(fā)生執(zhí)行器故障、發(fā)生傳感器故障及故障消失等情況下，對系統(tǒng)狀態(tài)以及執(zhí)行器故障或傳感器故障具有很好的估計能力，驗證了該方法的有效性和準確性。由于網絡資源和帶寬的限制，事件觸發(fā)機制被引入到控制系統(tǒng)中，是最近國內外研究的一個熱點問題。并且通訊協(xié)議作為緩解網絡數(shù)據傳輸壓力的另一種有效手段，二者的有效結合具有很好的研究價值。對含有事件觸發(fā)機制和網絡通訊協(xié)議的T-S模糊系統(tǒng)進行故障診斷這一難題，值得后續(xù)進行深入研究。