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    3數(shù)學概念教學中引入情境的創(chuàng)設

    2021-12-06 12:08:20馬茂年
    教學月刊·中學版(教學參考) 2021年11期
    關鍵詞:情境設計數(shù)學概念

    馬茂年

    摘 ? ?要:合理的教學情境設計能促使學生主動構(gòu)建數(shù)學新知,是促進概念生成的一種有效方式.教師在教學前,一定要研究教材并理解教材的設計意圖,然后采取相關策略,即“以數(shù)學概念與現(xiàn)實的關聯(lián)性為依據(jù)、以數(shù)學概念發(fā)展的歷史脈絡為線索、以對數(shù)學概念本質(zhì)的理解為出發(fā)點、以數(shù)學概念在教材中的邏輯順序、以對數(shù)學概念的認知沖突為突破口”等創(chuàng)設情境,幫助學生更有效地學,從而達成數(shù)學課程目標的要求.

    關鍵詞:數(shù)學概念;情境設計;函數(shù)的零點與方程的解

    教師在進行課堂教學設計前,必須研究教材,理解教材的設計意圖,這樣才能用好教材,使教學設計不偏離方向.教學設計的出發(fā)點是研究學生,即分析學生已有的認知情況,了解學生在當前思維發(fā)展過程中最需要的是什么、學習情感上最迫切的需求是什么,從而使教學設計合乎學生的認知發(fā)展規(guī)律.其中,學生的學情信息是確定教學設計基調(diào)的決定性因素.因此,教師在進行教學設計時,不能斷章取義,更不能強加式地武斷主觀,應時刻提醒自己:把握好教材,使教學合乎學生的學習情感態(tài)度、體現(xiàn)學生的本位思想.

    合理的概念教學情境引入方式,能吸引學生的注意力,激發(fā)學生的思維運作,促使學生主動構(gòu)建數(shù)學新知.它是促進概念生成的一種有效方式.一線教師對此深有體會.也正因此,造成了許多為情境而捏造情境、為生成而假作生成的不當行為.這容易引發(fā)知識上的概念泛化,甚至造成概念混淆,使學生產(chǎn)生課堂倦怠心理,導致教師教學設計思路的僵化與定式. 以下,筆者結(jié)合在我校開展的青年教師“同課異構(gòu)”講課比賽,及其他教師的課堂實踐,針對概念教學情境引入設計中應注意的一些問題,以人教A版(2019)普通高中教科書《數(shù)學》(以下簡稱“新教材”)必修第一冊第四單元第五節(jié)第一目“函數(shù)的零點與方程的解”為例,談談如何進行情境設計.

    一、以數(shù)學概念與現(xiàn)實的關聯(lián)性為依據(jù)創(chuàng)設情境

    數(shù)學不是無源之水、無本之木,而是與現(xiàn)實生活存在著千絲萬縷的聯(lián)系.數(shù)學概念是對生活現(xiàn)象與經(jīng)驗的直接套用或間接抽象,很多數(shù)學概念都能在現(xiàn)實生活中找到“原型”.因此,以數(shù)學概念與現(xiàn)實的關聯(lián)性為依據(jù)去創(chuàng)設數(shù)學概念引入的情境,不僅能夠讓學生感受到數(shù)學與生活的密切聯(lián)系,而且能夠發(fā)展學生用數(shù)學的眼光去觀察世界、用數(shù)學的思維去思考世界、用數(shù)學的語言去表達世界的能力.

    【案例1】

    1.觀察圖象片段(如圖1,時刻0~t0之間的氣溫變化圖),請你將其補充成完整的函數(shù)圖象.

    2.追問:是否有某時刻的溫度為0°C?為什么?

    3.再問:你認為函數(shù)存在零點應滿足什么條件?

    巧妙運用這樣一幅函數(shù)圖象,即可引導學生聯(lián)系生活,歸納并生成“零點存在性”定理.當然,設置生活情境必須把握好度,所創(chuàng)設的情境必須與當前學習任務密切相關,并能夠從中概括出當前學習內(nèi)容的本質(zhì).否則,此情境非但不能為學生理解教學內(nèi)容提供支持,反而會干擾甚至混淆學生的數(shù)學理解.

    【錯誤案例】

    如果把函數(shù)比作一部電影,那么函數(shù)的零點就像是電影的一個瞬間,一個鏡頭. 有時我們會忽略一些鏡頭……現(xiàn)有兩組鏡頭(如圖2),哪一組能說明他的行程一定曾渡過河?

    這樣的情境創(chuàng)設缺乏數(shù)學知識的依托,它不僅干擾了目標的實現(xiàn)(以至于有學生提出小孩可以跳過河的想法),而且使簡單問題復雜化,導致學生對函數(shù)概念理解的混淆.

    二、以數(shù)學概念發(fā)展的歷史脈絡為線索創(chuàng)設情境

    大數(shù)學家龐加萊曾指出:“如果我們想要預見數(shù)學的將來,適當?shù)耐緩绞茄芯窟@門科學的歷史與現(xiàn)狀.”歷史是人類最寶貴的精神財富,“以史為鑒,可以明得失”,以數(shù)學史為鑒,可以讓學生讀懂數(shù)學.所以教師應仔細研究、體味數(shù)學知識的歷史發(fā)展脈絡,并以此為線索創(chuàng)設數(shù)學概念的引入情境.

    例如,以方程的發(fā)展史為鑒引入新課.

    【案例2】

    中國:公元1世紀編成的《九章算術(shù)》,以算法形式給出了求一次方程、二次方程和正系數(shù)三次方程根的具體方法;7世紀,隋唐數(shù)學家王孝通找出了求三次方程正根的數(shù)值解法;11世紀,北宋數(shù)學家賈憲在《黃帝九章算法細草》中提出了解三次或三次以上的高次方程式的解法;13世紀,南宋數(shù)學家秦九韶提出了可以求出任意次代數(shù)方程正根的算法.

    西方:9世紀,阿拉伯數(shù)學家花拉子米給出了一次方程、二次方程的一般解法;1541年,意大利數(shù)學家塔爾塔利亞給出了三次方程的一般解法;1545年,意大利數(shù)學家卡當在其名著《大術(shù)》一書中,把塔爾塔利亞的解法加以發(fā)展,并記載了費拉里(卡當?shù)膶W生)的四次方程的一般解法;1778年,法國數(shù)學大師拉格朗日提出了五次方程根式解不存在的猜想;1824年,年僅19歲的挪威年輕數(shù)學家阿貝爾成功地證明了五次以上一般方程沒有根式解.

    三、以對數(shù)學概念本質(zhì)的理解為出發(fā)點創(chuàng)設情境

    相比于2007年版教材,新教材更加注重數(shù)學知識的背景呈現(xiàn)和實際應用,這使得數(shù)學知識的形成、發(fā)展更具趣味性和探索性,教材更具親和力和人文關懷.教師在進行教學設計時,應仔細體味教材的用意,充分挖掘課本素材的教育教學功能,讓數(shù)學概念的形成成為學生學習的內(nèi)在需要.然而,現(xiàn)實是許多教師往往撇開現(xiàn)成的素材而不顧,自主開發(fā),主觀設計.這樣,不僅造成了資源的浪費,甚至還曲解了概念的本質(zhì).

    “與二次函數(shù)的零點一樣,對于一般函數(shù)y=f(x),我們把使f(x)=0的實數(shù)x叫作函數(shù)y=f(x)的零點.” 對于零點的概念,新教材在定義之前先鋪墊了“二次函數(shù)的零點”,進而提升到“函數(shù)的零點”,接著又提供了大量的素材,讓函數(shù)的零點這一概念的引入合情合理,不僅體現(xiàn)了“函數(shù)的零點”這一概念的本質(zhì)特征,更蘊含著數(shù)學思維得以進一步發(fā)展的背景.

    在這個定理的教學中,可先設計如下問題讓學生辨析:

    【案例3】

    1.零點不是一個點,而是交點的橫坐標,是一個值.

    2.①從方程的角度看,零點是相應方程f(x)=0的實數(shù)解;②從形的角度看,零點是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標;③從函數(shù)值與自變量的值對應的角度看,零點是使函數(shù)值為0的對應的自變量x的值.

    3.函數(shù)的零點為方程的求解提供便利.通過引入零點,對于不能用公式法求解的方程來說,我們可以把它與函數(shù)聯(lián)系起來,并利用函數(shù)的性質(zhì)找出函數(shù)的零點,從而求出方程的解.

    然后進一步設計如下四個問題,推進辨析:

    4.零點存在性定理是否說明區(qū)間(a,b)內(nèi)的零點有多少個?

    5.函數(shù)y=f(x)的圖象必須是閉區(qū)間[a,b]上的一條連續(xù)不斷的曲線嗎?

    6.若f(a)f(b)>0,零點情況如何?

    7.若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,且函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點,則有f(a)f(b)<0成立嗎?

    在進行教學設計時,只要抓住函數(shù)的零點概念,通過合理的鋪墊和設問,引導學生思考,便可以讓學生對概念有深刻的理解,并在教學過程中使學生形成數(shù)學學習的能力.

    四、以數(shù)學概念在教材中的邏輯順序去創(chuàng)設情境

    和2007年版教材相比,新教材在內(nèi)容的編排上更注重體現(xiàn)教學的思想性和整體性. 新教材強調(diào)過程與聯(lián)系,注重數(shù)學概念的發(fā)生、發(fā)展過程.在“函數(shù)的零點與方程的解”教材內(nèi)容中,教材的設計意圖主要是通過教學,為后續(xù)內(nèi)容“用二分法求方程的近似解”的學習做好知識與思想方法上的準備. 教材中對函數(shù)的零點進行定義時還指出:“一般地,對于不能用公式求解的方程[f(x)=0],我們可以把它與相應的函數(shù)[y=f(x)]聯(lián)系起來,利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)找出零點,從而得到方程的解.”對于教材的這些描述,筆者認為可以這樣來理解和把握:函數(shù)的零點定義的前綴詞是函數(shù)[y=f(x)],強調(diào)的是函數(shù)在特定狀態(tài)下(函數(shù)值為0)的x的值,它是從函數(shù)的圖象中派生出來的一個數(shù)學稱謂,體現(xiàn)了“形”的特點(以形顯數(shù)). 同時,利用函數(shù)的零點求出方程的解,體現(xiàn)了函數(shù)零點的應用功能,也就是說,求函數(shù)的零點的意義在于進一步求得方程的解.因此,從知識結(jié)構(gòu)的順序上,應該是先產(chǎn)生零點,進一步利用函數(shù)的零點來探求方程的解,而不是通過求方程的解來得到函數(shù)的零點,更不能用求解的方法替代對函數(shù)零點的討論.

    基于這種理解,不可如此設計概念情境引入:

    【錯誤案例】

    問題1:求方程x2-2x-3=0的實數(shù)解,并畫出函數(shù)y=x2-2x-3的圖象.(方程x2-2x-3=0的實數(shù)解為-1,3. 函數(shù)的圖象略)

    問題2:觀察形式上函數(shù)y=x2-2x-3與相應方程x2-2x-3=0的聯(lián)系.(函數(shù)y=0時的表達式就是方程x2-2x-3=0)

    問題3:由于形式上的聯(lián)系,方程x2-2x-3=0的實數(shù)解在函數(shù)y=x2-2x-3的圖象中如何體現(xiàn)?(方程的實數(shù)解就是y=x2-2x-3的圖象與x軸的交點的橫坐標)

    初步提出零點的概念:-1,3既是方程x2-2x-3=0的解,又是函數(shù)y=x2-2x-3圖象與x軸交點的橫坐標.-1,3在方程中稱為實數(shù)解,在函數(shù)中稱為零點.

    在這個設計中,傳達了這樣一種信息:先求出方程的解,然后由方程的解引出函數(shù)的零點. 這正與“先得到函數(shù)的零點,再得到方程的解”的結(jié)構(gòu)順序相反,是“以形顯數(shù)”的逆過程,違背了“利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)找出零點,從而得到方程的解”的基本線索.

    新教材在提出函數(shù)的零點的定義后,又進一步解釋:“方程f(x)=0有實數(shù)解 函數(shù)y=f(x)有零點函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有公共點.”故此,教師在教學前一定要仔細研讀教材,把握教材意圖,厘清結(jié)構(gòu)順序.

    五、以對數(shù)學概念的認知沖突為突破口創(chuàng)設情境

    在數(shù)學概念教學中,情境的引入應尊重學生已有的認知基礎,對于一些抽象的數(shù)學概念,教學設計中應做適當?shù)匿亯|,比如設置合理的問題鏈,讓學生在探索的過程中,形成認知差異,還原概念的形象特征,并進一步歸納生成對概念的系統(tǒng)認知.

    某教師設想直接拿對一元二次方程與相應二次函數(shù)關系的探究,來引入函數(shù)的零點的概念.筆者覺得這種方法存在兩方面的疑點.疑點一:二次方程與二次函數(shù)的關系對大部分高一學生來說,是一種形象直觀、呼之欲出的數(shù)學知識,是否有必要讓學生經(jīng)歷從具體到一般的探索過程?疑點二:學生能在第一時間明白教師的設計意圖嗎?其實,高中學生對函數(shù)的零點概念并不會覺得抽象,更何況它本身就是從圖形中抽象出來的(學生容易產(chǎn)生誤解的是“零點是點”,教學中要注意糾偏),若僅為引出零點概念而設計鋪墊,倒不如直接給出定義.學習零點的概念,目的是用來解決一些不能用求解法求解的方程,為下一節(jié)內(nèi)容的教學做好知識與方法層面的儲備,以及讓學生在學的過程中體會數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)、方程之間的轉(zhuǎn)化思想.因此,若設計一個學生不能立刻解決,或者過程比較麻煩甚至無法解決的方程,作為概念教學的情境引入,則更易引起學生的思維沖突,使其增強思辨意識,進而產(chǎn)生主動接納新知的需要.

    鑒于此,筆者指導某教師采用以下方法來引入:讓學生在較短的時間內(nèi)求出方程2007x2-2008x+1=0的解,進而求解方程3x5+6x-1=0的實數(shù)解. 或許學生對前一個方程還想利用一般方法求解,但在解題的過程中,隨著思考的深入,這道題必然會促使學生思考特定解法:直接找實數(shù)解.而后面的方程,學生自然感到無一般性解法,用方程的思想方法來解必將走入死胡同.當學生經(jīng)歷認知沖突后,就會產(chǎn)生問題轉(zhuǎn)化的愿望.此時,教師適時進行引導:可否借助函數(shù)的圖象來解決.然后從二次函數(shù)的圖象與二次方程的解的關系入手,引出函數(shù)零點的概念.

    情境引入的設計,要讓學生體會到自身原有的知識和經(jīng)驗與導入問題的解決之間存在溝壑,讓學生經(jīng)歷認知沖突,產(chǎn)生主動構(gòu)建新知的愿望,從而實現(xiàn)知識的正向遷移. 此外,讓學生領會教師的設計意圖也是很重要的,這樣才能有效而快速地激活學生的思維,讓學生真正做到主動構(gòu)建數(shù)學知識.

    六、結(jié)語

    數(shù)學概念教學中情境的設計,有時需要教師改變定理的條件或者定理的結(jié)論,以得到一些新的命題.教師還要引導學生從正面、反面、側(cè)面等不同的角度重新審視教學內(nèi)容.但所有引申和改變,都應該與課程目標有關,教師要認認真真、切切實實地把握好“度”.數(shù)學教學的根本,是幫助學生更有效地學、更有效地達成數(shù)學課程目標.追求教學內(nèi)容與數(shù)學課程目標的一致,認真解構(gòu)每一節(jié)課相關數(shù)學概念的內(nèi)涵與外延,把教學內(nèi)容講準、講對、講透、講深,應該成為我們數(shù)學教師的專業(yè)自覺。

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