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    講好學生的“故事”,提升運算能力的著力點

    2021-12-06 23:28:50錢大林葉立軍
    教學月刊·中學版(教學參考) 2021年11期
    關鍵詞:數(shù)學運算故事

    錢大林 葉立軍

    摘 ? ?要:一元二次函數(shù)是基本初等函數(shù),是遷移學習其他多項式函數(shù)的基礎. 為幫助學生實現(xiàn)從“知其然”到“何由以知其所以然”的理性思維的跨越,教師應立足教材和學情,通過問題驅(qū)動、特值導引、設定基本量、整體代換、關注結(jié)構(gòu)、學以致用等環(huán)節(jié),循著學生思維發(fā)生、發(fā)展的“故事”,讓學生親歷對運算對象的理解過程,調(diào)動學生參與運算的積極性,從而提升其數(shù)學運算能力.

    關鍵詞:函數(shù)求值;學生的“故事”;數(shù)學運算

    運算能力是高中生應該具備的一種重要能力,也是數(shù)學運算核心素養(yǎng)中的關鍵內(nèi)容.在運算方面,學生的“故事”就是運算思維的具體呈現(xiàn),是對運算對象的理解過程,也是對運算法則的使用和展開過程.要講好學生運算方面的“故事”,就是要講好優(yōu)秀運算思路的形成過程;就是要通過驅(qū)動性“問題鏈”,幫助學生自主辨析、獨立思考的過程;就是要發(fā)掘運算成果的“因子”,調(diào)動學生參與運算的積極性,培養(yǎng)數(shù)學運算素養(yǎng)的過程.當前針對數(shù)學運算方面問題的講評,缺少“對焦”學生的“真學情”“真水平”,忽視學生思維發(fā)生、發(fā)展的“故事”,難以實現(xiàn)從“知其然”到“何由以知其所以然”的理性思維的跨越.下面筆者以一道函數(shù)求值題的教學為例,立足講好學生的“故事”,從教學準備、教學實施及教學思考三方面談談經(jīng)驗.

    一、教材及學情分析

    (一)教材分析

    本節(jié)課是人教A版(2019)普通高中教科書《數(shù)學》必修第一冊第二章第三節(jié)《二次函數(shù)與一元二次方程、不等式》的習題課.主要展示一道有關高次多項式函數(shù)的拓展探索題的解題過程.這既是對二次函數(shù)學習的鞏固,又是對一元二次函數(shù)學習的拓展遷移,還能對后續(xù)內(nèi)容(其他的函數(shù)、方程以及不等式)的學習起到承上啟下的作用.目的是讓學生在確保解答正確的基礎上,對代數(shù)式進行變形轉(zhuǎn)化,簡化運算,提升運算能力.

    (二)學情分析

    在本節(jié)課教學前,學生已經(jīng)會解答類題:已知[f(x)=ax2+bx+c ?(a<0)],其中[a],[b],[c]為常數(shù).若[f(-1)=f(3)=0],解不等式:[bx2+cx+a>0].學生能指出該題中“-1,3是關于[x]的方程[f(x)=0]的兩個根”,并且得到[f(x)=a(x+1)][(x-3)] ,從而獲得原不等式的解集.學生初步有了通過“同構(gòu)式”去構(gòu)造函數(shù)的活動體驗.當把問題拓展到四次多項式函數(shù),并考查學生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)時,筆者發(fā)現(xiàn)學生僅停留于代入消元的解題層次,對整體代換以及利用“同構(gòu)式”去構(gòu)造新函數(shù)的方法則使不上勁.檢測結(jié)果顯示該題的難度系數(shù)為0.21左右,學生的表現(xiàn)比預期要差許多.

    (三)教學目標

    1.能依據(jù)代數(shù)式的具體特征,合理變形轉(zhuǎn)化,優(yōu)化運算方法.

    2.借助一道函數(shù)求值題的解題過程,體會問題解決的化歸思想和函數(shù)方程思想.

    (四)教學重、難點

    重點:運用“基本量”表示和利用“同構(gòu)式”構(gòu)造函數(shù)兩種方法求函數(shù)值.

    難點:理解并掌握利用“同構(gòu)式”構(gòu)造函數(shù)的方法求函數(shù)值.

    二、教學實施

    (一) 問題驅(qū)動,引發(fā)學生深度思考

    問題1 ? 設[f(x)=x4+ax3+bx2+cx+d,]其中[a],[b],[c],[d]為常數(shù).如果[f(1)=10],[f(2)=20], [f(3)=30],求[14[f(4)+f(0)]]的值.

    學生根據(jù)條件[f(1)=10f(2)=20f(3)=30] ,容易得到間接條件[a+b+c+d=9? ? ? (1)8a+4b+2c+d=4 ? ? ? ?(2)27a+9b+3c+d=-51 ?(3)],理解目標式[14[f(4)+f(0)]=][14(256+64a+16b+4c+2d)].接下來,學生只需要利用變形轉(zhuǎn)化,就可以實現(xiàn)目標對接.

    教學說明:通過審題發(fā)現(xiàn),本題需要打通兩個節(jié)點:第一,如何破解只提供三個方程四個未知數(shù)的方程組問題;第二,如何從二次多項式函數(shù)的交點式遷移到四次多項式函數(shù)的交點式,實現(xiàn)快速求值.通過問題驅(qū)動,引發(fā)學生深度思考.

    (二) 特值導引,探尋運算路徑

    問題2 ? 根據(jù)“問題1”中學生得到的間接條件(1)(2)(3),如何求64a+[16b+4c+2d]的值?

    基于初中解方程組的經(jīng)驗,學生知道,通過三個方程是無法逐一確定四個未知量的具體值的.有學生說,可以用特值代入的方法嘗試:令[a=0],通過代入消元,解得[b=-25],[c=70],[d=-36],得到目標式[14[f(4)+f(0)]=][14(256+64a+16b+4c+2d)=16].

    問題3 ? 我們總得有理由,為什么可以令[a=0]?類比之下,我們是否也可以令[a],[b],[c],[d]四個量當中任何一個為特殊值0或1?如令[b=1],請大家動手試試,結(jié)果又是如何?

    通過計算,學生發(fā)現(xiàn)結(jié)果仍然為16.

    教學說明:“道而弗牽,強而弗抑,開而弗達.”即教師要創(chuàng)設問題情境,通過追問,啟發(fā)學生積極思考,讓學生自主發(fā)現(xiàn)解題的線索,決不把最終結(jié)果端出來.在本題中,就是如何設定基本量、探尋降元路徑,幫助學生突破“四個未知數(shù),只有三個方程”的認知難點.

    (三)設定基本量,探尋降元路徑

    問題4 ? 誰能揭示上述運算背后的道理?

    由于多了一個未知量,多數(shù)學生認為要去掉一個為好,但不明白令[a=0]的真正原因.但令人高興的是,還是有學生發(fā)現(xiàn)該方程組[a+b+c+d=98a+4b+2c+d=427a+9b+3c+d=-51]不可能窮盡未知量所有的具體值,于是想到了把[a]當作基本量,通過降元,把原方程組轉(zhuǎn)化為三個未知量的方程組,解得[b=-25-6ac=70+11ad=-36-6a],所以[14[f(4)+f(0)]=] [14(256+64a+16b+4c+2d)=16].

    問題5 ? 請大家思考上述兩種不同的運算方法,你能發(fā)現(xiàn)這兩種運算路徑存在著的某種聯(lián)系嗎?

    學生經(jīng)過比較后發(fā)現(xiàn):令[a=0]的求值依據(jù)隱藏在[b=-25-6ac=70+11ad=-36-6a]步驟中.因此,用[a],[b],[c]等基本量表示是一條普適性的運算路徑.

    教學說明:從特值代入,到為了降元設定基本量“[a]”,學生領悟到了[a],[b],[c],[d]任意三個未知量均可以用第四個量來表示的理性認識.設定基本量可以讓所有的元素都聯(lián)系起來,實現(xiàn)了化簡求值的目的.如此,可讓學生的思維從具體理性走向一般理性.

    (四)整體代換,力求整體化解決問題

    問題6 ? 本題的求值運算,你還有補充的方法嗎?

    經(jīng)過思考,學生想起了一道以前做過的類題:已知[f(x)=ax2+c],且[-4≤f(1)≤-1],

    [-1≤f(2)≤5],求[f(3)]的值.把[f(3)]整體表示為[f(3)=][83f(2)-53f(1)],于是類比:令[f(4)+f(0)=][mf(1)+nf(2)+kf(3)](m,n,k為常數(shù)),但發(fā)現(xiàn)待定的m,n,k的值找不到.

    問題7 ? 在嘗試解決問題時,如果我們能聯(lián)想到更為簡單的類題,可以說離成功就不遠了.大家動手試一試,看看能否絕處逢生?

    筆者與學生一起觀察,幫助其進一步理解運算對象:[f(4)+f(0)=256+64a+16b+4c+2d],學生發(fā)現(xiàn)[64a+16b+4c+2d]是影響上述代數(shù)式取值的關鍵量.于是,令[64a+16b+4c+2d=][mf(1)+nf(2)+kf(3)](m,n,k為常數(shù)),學生很快通過比較系數(shù)的方法得到m=4,n=-6,k=4,所以[64a+16b+4c+2d ][=][4f(1)-]

    [6f(2)+4f(3)=64],即[14[f(4)+f(0)]=16].

    教學說明:學生領悟了用新的基本量[f(1)], [f(2)], [f(3)]表示目標式的合理性,鞏固并提升了學生用基本量進行多元表征的能力.

    (五)關注結(jié)構(gòu),探尋同構(gòu)化路徑

    問題8 ? 請大家觀察下面兩組函數(shù)值,你能用一個等式來概括它們嗎?

    (1)若[f(1)=1],[f(2)=2],[f(3)=3],則[f(x)=]_______________.

    (2)若[f(1)=10],[f(2)=20],[f(3)=30],則[f(x)=]______________.

    學生理解了題意, 并分別寫出:

    (1)[f(x)=x,x∈1, 2, 3];(2)[f(x)=10x, x∈1, 2, 3]

    問題9 ? 等式[f(x)=10x, x∈1, 2, 3],好像在說什么話,大家能否換一種新的表達方式?

    學生回答:1,2,3分別是關于x方程“同構(gòu)式”的三個不同實根.

    問題10 ? 這一新的具體發(fā)現(xiàn)有何利用價值呢?

    通過啟發(fā)并類比了一元二次函數(shù)的交點式,令[f(x)-10x=][(x-1)(x-2)(x-3)(x-t)]([t]為方程的第四個根),則[f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-t)+10x],所以[f(4)=64-6t], [f(0)=6t],代入得:原式=16.

    教學說明:教師可以順勢揭示這些奇妙構(gòu)思的源頭,是基于相同結(jié)構(gòu)的式子[f(1)=10],[f(2)=20],[f(3)=30],我們稱之為“同構(gòu)式”,并指出利用“同構(gòu)式”構(gòu)造函數(shù)的方法有利于解答一些復雜的問題.

    (六)拓展思考,學以致用

    問題11 ? 設[f(x)=x4+ax3+bx2+cx+d],其中[a],[b],[c],[d]為常數(shù).如果[f(-1)=f(3)=0],則[9(a+b)-3c+5d]的值為_________.

    學生都能很快地理解題意,從同構(gòu)的角度,指出“-1,3是關于[x]的方程[f(x)=0]的兩個根”.于是將高次的代數(shù)式分解為兩個低次代數(shù)式的乘積,即[x4+ax3+bx2+cx+d=] [(x2-2x-3)(x2+mx+n)][(m, n∈R)],展開后比較系數(shù)得[a=m-2,] [b=n-2m-3],[c=-2n]

    [-3m],[d=-3n],達到了[a],[b],[c],[d]都用基本量m,n表示的目的,解得[9(a+b)-3c+5d=-45].

    教學說明:教師應該至少有一兩次不僅要教會學生怎樣更簡便地解題,還要指出如何能從答案本身中去找出指向一個更簡便解法的線索[1].關注過程教學,堅持學為中心、自然生成[2]、學用結(jié)合的教學思路,有利于調(diào)動學生積極參與運算的熱情.

    三、教學反思

    (一)為什么要講好學生的“故事”

    涉及學生現(xiàn)實問題的“故事”的學習一定是生動的學習.本節(jié)課通過引導學生求值運算思路發(fā)生、發(fā)展的“故事”,幫助學生親歷了運算對象[f(4)+f(0)]的理解過程,使其運算思路經(jīng)歷特值代入—基本量表示—整體化處理—同構(gòu)化構(gòu)造的優(yōu)化過程,生動、自然地化解了學生的學習困難,幫助學生領悟了數(shù)學算理,較好地提升了學生的數(shù)學運算能力.

    (二)講好學生的什么“故事”

    在數(shù)學運算方面,學生的“故事”就是學生對一個個運算對象和算理的理解過程,是學生對一個個運算法則使用的過程,也是學生對一個個運算思維進行優(yōu)化的過程.本節(jié)課以運用“基本量”表示和利用“同構(gòu)式”構(gòu)造函數(shù)兩種方法求函數(shù)值的學習為主線,以領悟化歸思想和函數(shù)方程思想為暗線,講了學生運算思維自然發(fā)生、發(fā)展的“故事”,學習了有關“基本量”表示和利用“同構(gòu)式”構(gòu)造函數(shù)的新方法,化解了學生在理解運算方法上的受阻點,突破了學生在求異思維上的理解難點,以幫助學生養(yǎng)成一絲不茍、嚴謹求實的運算習慣.

    (三)怎么講好學生的“故事”

    講好學生的“故事”,首先教師需要創(chuàng)設合適的教學情境,讓學生在情境中理解數(shù)學概念和運算法則,感悟數(shù)學命題的構(gòu)建過程,感悟問題的本原和數(shù)學表達的意義[3].數(shù)學中的數(shù)與式,因其符號的抽象性、概括性,往往給學生帶來比較大的“距離”感.本節(jié)課立足于學生的真實問題情境,為了把握方程組所蘊含的數(shù)學意義,從教學開始就順應“特值代入”的求值思路,經(jīng)歷從具體到抽象、從特殊到一般的思維過程,幫助學生領悟“變形轉(zhuǎn)化”背后的方程思想.

    其次,遵循“最近發(fā)展區(qū)”的原理,創(chuàng)設驅(qū)動性“問題鏈”.創(chuàng)設驅(qū)動性“問題鏈”,能有效激發(fā)學生參與數(shù)學運算的熱情.本節(jié)課通過“問題4”,幫助學生初步掌握了“基本量”表示的策略,即目標式[64a+16b+4c+2d]既可以用[a](或[b],[c])等基本量表示,又可以用[f(1)],[f(2)],[f(3)]等基本量表示,深刻體會“基本量”法是數(shù)學運算中一條普適性的路徑.

    再次,要發(fā)掘?qū)W生的成果“因子”,調(diào)動學生參與運算的積極性.針對解題技能和數(shù)學思想方法的教學,不能急于求成.教師要有足夠的耐心,給足學生思考的時間和空間.本節(jié)課,筆者從順應學生“特值代入”的思路開始,當學生在“想”與“算”的環(huán)節(jié)上有不完整甚至錯誤時,仍然肯定學生思維的成果“因子”,并且留足時間,通過追問,循序漸進地幫助學生抽象、概括“基本量”表示和利用“同構(gòu)式”構(gòu)造函數(shù)求值的方法.學生則用心、用情體驗了一系列運算思路的自然發(fā)現(xiàn)過程,感悟了運算路徑的自然加工過程、優(yōu)秀運算思路的自然生成過程.由此,筆者也順利調(diào)動了廣大學生參與運算的積極性.

    學生的“故事”是鮮活的、寶貴的教學資源.教師應講好學生的“故事”,立足學生的真實問題情境,循著學生的思維發(fā)生、發(fā)展,診斷學生對運算對象的理解過程、運算思路的選擇優(yōu)化過程、錯誤思維的糾偏過程,幫助學生經(jīng)歷“想”與“算”的過程,深入理解算理,走出認知困境,形成數(shù)學思想和方法,讓數(shù)學運算成為學生的基本學習能力.

    參考文獻:

    [1] G.波利亞.怎樣解題:數(shù)學思維的新方法 [M].上海:上??萍冀逃霭嫔?,2007:54.

    [2] 葉立軍.培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析能力 ? 發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)[J].中學數(shù)學教學參考,2020(11):71.

    [3] 史寧中.數(shù)學基本思想18講[M].北京:北京師范大學出版社,2018:10.

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