三角矩陣環(huán)上的廣義Gorenstein投射模

關(guān)菡青， 楊 剛

蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，蘭州 730070

Gorenstein同調(diào)代數(shù)起源于20世紀(jì)60年代，是由Auslander和Bridger等人的相關(guān)研究成果發(fā)展而來(lái)．作為有限生成模的推廣，文獻(xiàn)[1]引入了雙邊Noether環(huán)上G-維數(shù)為0的模．20世紀(jì)90年代，文獻(xiàn)[2]推廣了Auslander和Bridger的結(jié)果，引入了任意環(huán)上Gorenstein投(內(nèi))射模和Gorenstein平坦模的概念．2010年，文獻(xiàn)[3]引入了環(huán)R上X-Gorenstein投射模的概念，其中X是指包含所有投射左R-模的模類，統(tǒng)一了環(huán)R上的一些Gorenstein同調(diào)模類．

受上述結(jié)論的啟發(fā)，本文引入了三角矩陣環(huán)上的Φ(X，Y)-模類，其中X是包含所有投射左A-模的模類，Y是包含所有投射左B-模的模類．由此給出了Φ(X，Y)-Gorenstein投射模的刻畫，推廣和統(tǒng)一了三角矩陣環(huán)上的許多廣義Gorenstein同調(diào)模類，如投射模類、Gorenstein投射模類、Ding投射模類及其性質(zhì)刻畫等．

1 準(zhǔn)備知識(shí)

設(shè)A是環(huán)．本文以A-Mod表示左A-模范疇．無(wú)特別聲明，所有的模均指左模．

定義1[7]設(shè)A是環(huán)．如果P是正合序列

其中每個(gè)Pi是投射A-模，并且對(duì)任意投射A-模P′，HomA(P，P′)是正合序列，則稱序列P為完全A-投射分解．如果存在完全投射分解P使得M?Kerd0，則稱A-模M是Gorenstein投射模．

定義2[8-9]設(shè)A是環(huán)．如果存在A-模的正合序列

定義3[3]設(shè)X是A-模構(gòu)成的類，且包含所有的投射A-模．如果存在A-模的正合序列

定義4設(shè)M是A-模，X是包含所有投射A-模的類．定義M的X-分解維數(shù)為

注意到，若pdAM<∞，則有X-pdAM<∞．

2 Φ(X，Y)-Gorenstein投射模

定義5設(shè)X是包含所有投射A-模的類，Y是包含所有投射B-模的類．令

顯然Φ(X，Y)是包含所有投射Λ-模的類．由定義4，如果存在Λ-模的正合列

定義6[6]定義以下函子：

顯然p和q是伴隨對(duì)．

注1以下結(jié)論成立：

定義7設(shè)M是A-B雙模．如果M滿足以下兩個(gè)條件：

(W1) 若Q′是投射B-模的正合列，則M?BQ′正合；

(W2) 對(duì)任意Y∈Y，X-pdA(M?BY)<∞．

則稱M是強(qiáng)相容的．

引理1設(shè)M是A-B雙模．以下結(jié)論等價(jià)：

證?設(shè)序列P是A-模的X-完全投射分解

則對(duì)任意X∈X，HomA(P，X)是正合序列．由知，存在A-模的正合列

其中Xi∈X，0≤i≤n．用HomA(P，-)作用得到正合列

因?yàn)镠omA(P，Xi)正合，故HomA(P，M?BY)正合．

是A-模的復(fù)形，即有以下列正合的交換圖

特別地，中間行正合當(dāng)且僅當(dāng)上行正合．

證?設(shè)則存在Λ-模的正合列

其中Y?Kerd′0．同時(shí)有A-模的正合序列

強(qiáng)相容，易知M?BQ正合，因此P正合．于是有列正合的交換圖

用HomΛ(L，-)作用后得到正合列

其中每個(gè)Qi投射，Y?Kerd′0，并且對(duì)任意Y′∈Y，HomB(Q′，Y′)是正合序列．而M是強(qiáng)相容的，可得M?BQ′正合．特別地得到正合列

由于Cokerφ∈G(X)，故有A-模的正合序列

其中每個(gè)Pi投射，Cokerφ?Kerd0，并且對(duì)任意X′∈X，HomA(P′，X′)是正合序列．因此有正合列

對(duì)偶地可以得到以下行正合的交換圖

綜上所述，可以得到投射Λ-模的正合列

由定理1容易得到以下結(jié)論：

推論1[5-6]